代码随想录 279.完全平方数

思路：题目的意思为：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少个物品？

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）及其下标的含义：dpj表示和为j的完全平方数的最少数量为dpj。

2.确定递推公式：dpj可以由dpj - i \* i推出，dpj - i \* i + 1便可凑成dpj，要选择最小的dpj，所以递推公式为：dpj = min(dpj,dpj - i \* i + 1)。

3.dp数组如何初始化：

（1）dp0表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp0就一定为0（因为题目中说若干个完全平方数是1，4，9，...，没提到0）。dp0 = 0完全是为了递推公式。

（2）非0下标的dpj：从递推公式dpj = min(dpj，dpj - i \* i + 1)中可以看出每次dpj都要选最小的。所以非0下标的dpj一定要初始化为最大值，这样dpj在递推的时候才不会被初始值覆盖。

4.确定遍历顺序：

（1）本题是完全背包问题，内层循环正序遍历。

（2）本题既不是求排列数也不是求组合数，而是求最小数。因此本题中外层for循环遍历背包，内层for循环遍历物品；或者是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包都是可以的。

5.举例推导dp数组：以输入n = 5为例，dp状态图如下图所示。

附代码：

（一）先遍历物品，再遍历背包

class Solution {
    //先遍历物品，再遍历背包
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        for(int j = 0;j <= n;j++){
            dp[j] = max;
        }
        //当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        //遍历物品
        for(int i = 1;i*i <= n;i++){
            //遍历背包
            for(int j = i*i;j <= n;j++){
                //if(dp[j -i*i] != max){ 不需要这个if statement，因为本题不会有凑不成的情况发生（一定可以用"1"来组成任何一个n）
                    dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j - i*i] + 1);
                //}
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

（二）先遍历背包，再遍历物品

class Solution {
    //先遍历背包，再遍历物品
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        for(int j = 0;j <= n;j++){
            dp[j] = max;
        }
        dp[0] = 0;
        //遍历背包
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            //遍历物品
            for(int i = 1;i*i <= j;i++){
                dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j - i*i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}