图论中常见不变量与性质全集（带严格数学公式）

英文名称	中文名称	严格数学定义 & 公式	典型例子	备注 / 计算复杂度
Acyclic	无环图	不存在长度 ≥3 的圈 ⇔ 图是森林	任意树、森林	O(n+m)
Algebraic Connectivity	代数连通度	λ₂(L)：拉普拉斯矩阵 L = D − A 的第二小特征值	完全图 Kn：λ₂ = n 路径 Pn：λ₂ = 2−2cos(π/n	数值计算 O(n³)
Average Degree	平均度	d̄ = 2m / n （m 为边数，n 为顶点数）	3-正则图：d̄ = 3	O(1)
Bipartite	二部图	可将 V 分成 X∪Y，X∩Y=∅，每条边都连接 X 和 Y ⇔ 所有圈长为偶数 ⇔ χ(G)≤2	完全二部图 Km,n、偶圈 C_{2k}	可在 O(n+m) 内判定
Chromatic Index	边色数	χ'(G) = 最小 k 使边 k-可着色 Vizing 定理：Δ ≤ χ'(G) ≤ Δ+1	奇数阶完全图：χ' = n 二部图：χ' = Δ	NP-hard（判定是否为 Δ）
Chromatic Number	（顶点）色数	χ(G) = 最小 k 使存在 k-正常顶点着色	Kn：χ=n 奇圈 C_{2k+1}：χ=3 二部图：χ=2	NP-hard
Circumference	周长	最大圈的长度（无圈图通常定义为 0 或 ∞）	Petersen 图：10 超立方体 Qn：2ⁿ	NP-hard
Claw-Free	无爪图	不含 K_{1,3} 作为诱导子图	线图、完全图	---
Clique Number	团数	ω(G) = 最大团的顶点数	Kn：ω=n 二部图：ω≤2	NP-hard
Connected	连通图	任意两点间存在路径	完全图、树	O(n+m)
Density	密度	ρ(G) = m / \binom{n}{2} = 2m / [n(n−1)]	完全图：ρ=1 树：ρ≈2/n	O(1)
Diameter	直径	diam(G) = max_{u,v} d(u,v)	完全图：1 Petersen 图：2 路径 Pn：n−1	可在 O(n(n+m)) 内计算
Domination Number	支配数	γ(G) = 最小支配集大小 S 支配集 ⇔ V ⊆ N[S]	Kn：γ=1 路径 Pn：γ=⌈n/3⌉	NP-hard
Edge Connectivity	边连通度	λ(G) = 最小割边集大小 ⇔ max-flow min-cut	Kn：λ=n−1 圈 Cn：λ=2	多项式（最大流）
Eulerian	欧拉图	存在欧拉回路 ⇔ 连通且 ∀v deg(v) 为偶数	所有顶点偶数度的连通图	O(n+m)
Genus	亏格	γ(G) = 图能无交叉嵌入的最小曲面亏格	平面图：0 K7：1（环面）	计算极难
Girth	围长	g(G) = 最小圈的长度（无圈图定义为 ∞）	三角形：3 Petersen 图：5 Moore 笼图研究最小 g	NP-hard
Hamiltonian	哈密顿图	存在经过所有顶点的圈	完全图、Dirac 图（δ≥n/2）	NP-complete
Hypohamiltonian	次哈密顿图	G 本身非哈密顿，但 ∀v∈V，G−v 是哈密顿的	Petersen 图（10 顶点）	极少，研究稀有
Independence Number	独立数	α(G) = 最大独立集大小	Kn：α=1 空图：α=n 二部图 α≥n/2	NP-hard
Index (Spectral radius)	谱半径	λ₁(A) = 邻接矩阵 A 的最大特征值	k-正则图：λ₁ = k	数值计算 O(n³)
Laplacian Largest Eigenvalue	拉普拉斯最大特征值	μ₁(L) = L 的最大特征值 = max_{		x
Longest Induced Cycle / Path	最长诱导圈/路径	最大长度 ≥4 的弦圈或诱导路径	弦图中无 ≥4 的诱导圈	NP-hard
Matching Number	匹配数	ν(G) = 最大匹配的边数	二部图：König 定理 ν=顶点覆盖数	二部图多项式，general NP-hard
Maximum / Minimum Degree	最大/最小度	Δ(G) = max deg(v), δ(G) = min deg(v)	星图：Δ=n−1, δ=1	O(n)
Number of Components	连通分支数	k = 连通分量个数	森林：k = n − m	O(n+m)
Number of Spanning Trees	生成树个数	κ(G) = Kirchhoff 矩阵任意余子式的值	Kn：n^{n−2} Cn：n	多项式（矩阵树定理）
Number of Triangles	三角形个数	tr(A³)/6	K4：4 个三角形	O(n³) 或更快算法
Number of Vertex Orbits	顶点轨道数	图自同构群 Aut(G) 对 V 的轨道数	完全图：1 路径 P3：2	与自同构群计算难度相当
Planar	平面图	可画在平面上边不相交 ⇔ 不含 K5、K_{3,3} 的细分（Kuratowski 定理）	K4 是平面，K5 非平面	O(n)（线性时间算法存在）
Radius	半径	r(G) = min_v ecc(v) = min_v max_u d(v,u)	完全图：1 中心在中间的星图：2	O(n(n+m))
Regular	正则图	∃k 使 ∀v deg(v)=k	完全图、Petersen 图（3-正则）	---
Second Largest Eigenvalue	邻接矩阵第二大特征值	λ₂(A)（绝对值第二大）	强正则图中有精确公式	扩展器图中 λ₂ 越小越好
Smallest Eigenvalue	邻接矩阵最小特征值	λ_n(A)	k-正则图：λ_n ≥ −k（对称谱）	---
Traceable	可迹图	存在哈密顿路径	几乎所有连通图都是（极少数例外）	---
Treewidth	树宽	最小树分解的宽度 −1	树：1 系列-平行图：≤2 k-团：k−1	固定 k 时多项式，general NP-hard
Vertex Connectivity	点连通度	κ(G) = 最小割点集大小 ⇔ Menger 定理	Kn：κ=n−1 圈 Cn：κ=2	多项式（最大流）