1、基向量
基向量是描述向量空间的标尺（有方向）。在标准坐标系中，设定：
- 一个长度为1指向右边的向量，称作ihat，x方向的单位向量 i^\hat{i}i^
- 一个长度为1垂直向上的向量，称作jhat，y方向的单位向量 j^\hat{j}j^
i^=10,j^=01 \hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} i^=10,j^=01
i^\hat{i}i^ 和 j^\hat{j}j^ 这两个向量构成了坐标系的基。基向量是理解和测量向量世界的"基本单位"，任意二维向量 x,yx, yx,y 可写为：
xi^+yj^ x\hat{i} + y\hat{j} xi^+yj^
如一个向量是 2, -3 时，其含义是：将 i^\hat{i}i^拉伸为原来的 2 倍，将 j^\hat{j}j^拉伸为原来的 3 倍并反向，然后把这两个结果加起来。
可以设定不同的基向量。基不同，同一个向量的坐标就会不同。
2、线性组合
通过缩放一组向量，然后将它们相加，得到一个新的向量。
向量 v⃗\vec{v}v 和 w⃗\vec{w}w ，它们的线性组合 ：
av⃗+bw⃗ a\vec{v} + b\vec{w} av +bw
aaa 和 bbb 是标量。
示例，在二维空间中：
- 基向量 i^=1,0\hat{i} = 1, 0i^=1,0，j^=0,1\hat{j} = 0, 1j^=0,1
- 向量 2,−3=2i^+(−3)j^2, -3 = 2\hat{i} + (-3)\hat{j}2,−3=2i^+(−3)j^ 是它们的线性组合。
3、张成空间
- 给定一组向量，所有它们的线性组合所构成的向量集合，称为这组向量的张成空间。
- 这组向量所有可能的缩放与相加，其箭头尖端所能到达的所有点的集合。
在二维空间中，有下面三种情况：
- 两个不共线的向量：它们的张成空间是整个二维平面。通过缩放和相加到达平面上的任何一个点。
- 两个共线的向量：它们的张成空间只是一条直线。无论你怎么组合，箭头尖端都被限制在这条直线上。
- 零向量：零向量的张成空间只有一个点。
4、如何理解三者关系
基向量 i^\hat{i}i^、 j^\hat{j}j^ → 线性组合 (缩放与相加) → 张成空间 (整个二维平面)
基向量：类似积木基本模块。
线性组合： 用基本模块进行拼接和搭建的方法。
张成空间： 所有能搭建出来的东西的集合。
5、线性相关和线性无关
5.1 线性相关
如果一组向量中，至少有一个向量可以被表示为其它向量的线性组合，那么这组向量就是线性相关的。
这个向量没有为张成空间提供新的"维度"，它已经落在其它向量的张成空间里了。
5.2 线性无关
如果一组向量中，任何一个向量都无法通过其它向量的线性组合得到，那么这组向量就是线性无关的。
每个向量都提供了新的"方向"，共同张成了更大的空间。
| 向量组 | 相关性 | 张成空间 |
|---|---|---|
| 1,2,3,41,2, 3,41,2,3,4 | 线性无关 | 整个二维平面 |
| 1,2,2,41,2, 2,41,2,2,4 | 线性相关（共线） | 一条直线 |