一、问题目标
给定一条 Bezier 曲线 r(t) = (x(t), y(t))，t ∈ 0, 1，其曲率定义为：
κ(t) ＝ | x′(t)·y″(t) − y′(t)·x″(t) | ÷ x′(t)² ＋ y′(t)² ^(3⁄2)
目标：在 t ∈ 0, 1 内找到使 κ(t) 取得最大值或最小值的参数 t*。
由于 κ(t) 通常无解析极值点，且可能不可导（因含绝对值），可采用黄金分割法 进行数值优化------前提是 κ(t) 在搜索区间内是单峰函数（即只有一个极大值或极小值）。
二、黄金分割法简介
黄金分割法是一种无需导数的一维搜索算法，适用于单峰函数的极值求解。
定义黄金比例常数：
ρ ＝ (√5 − 1) ÷ 2 ≈ 0.6180339887
设当前搜索区间为 a, b，构造两个内点：
t₁ ＝ b − ρ·(b − a)
t₂ ＝ a + ρ·(b − a)
比较函数值 f(t₁) 与 f(t₂)，逐步缩小区间，直到区间长度小于预设精度 ε（如 1×10⁻⁶）。
-
若求最大值 ：
若 f(t₁) < f(t₂)，则极值点在 t₁, b，令 a ← t₁
否则，极值点在 a, t₂，令 b ← t₂
-
若求最小值 ：
若 f(t₁) > f(t₂)，则极值点在 t₁, b，令 a ← t₁
否则，极值点在 a, t₂，令 b ← t₂
重复迭代，直至 |b − a| < ε。最终极值点近似为 t* ＝ (a ＋ b) ÷ 2。
三、Bezier 曲线曲率函数的构建（以三次为例）
设三次 Bezier 曲线由四个控制点 P₀, P₁, P₂, P₃ 定义（每个 Pi = (xi, yi)）。
1. 一阶导数（速度向量）：
v(t) ＝ r′(t) ＝ 3·(1−t)²·(P₁−P₀) ＋ 2·(1−t)·t·(P₂−P₁) ＋ t²·(P₃−P₂)
记 v(t) ＝ (vx(t), vy(t))
2. 二阶导数（加速度向量）：
a(t) ＝ r″(t) ＝ 6·(1−t)·(P₂ − 2·P₁ ＋ P₀) ＋ t·(P₃ − 2·P₂ ＋ P₁)
记 a(t) ＝ (ax(t), ay(t))
3. 曲率分子（叉积）：
N(t) ＝ vx(t)·ay(t) − vy(t)·ax(t)
4. 速度模平方：
S(t) ＝ vx(t)² ＋ vy(t)²
5. 曲率函数：
κ(t) ＝ |N(t)| ÷ S(t)^(3⁄2) ，当 S(t) > 0；
若 S(t) ＝ 0（曲线驻点），定义 κ(t) ＝ 0 或跳过该点。
实际计算中，为避免除零，可设 S(t) ≥ δ（如 δ ＝ 1×10⁻¹²）。
四、完整计算流程
-
预处理 ：
对 t ∈ 0, 1 均匀采样（如 100 个点），计算 κ(t)，观察是否存在多个峰值。
若存在多个局部极值，将 0, 1 分割为若干疑似单峰子区间（如相邻采样点中 κ 先增后减的区域）。
-
对每个单峰子区间 a, b ：
应用黄金分割法最大化（或最小化）κ(t)：
• 初始化 a, b
• 设置精度 ε（如 1×10⁻⁶）
• 迭代更新 t₁, t₂ 和区间，直到收敛
• 记录该区间内的极值点 t* 和 κ(t*)
-
全局比较 ：
比较所有子区间及端点 t＝0、t＝1 处的 κ 值，取最大（或最小）者作为全局曲率极值。
五、注意事项
- 黄金分割法仅适用于单峰区间。若 κ(t) 在 a, b 上多峰，结果可能陷入局部极值。
- 曲率函数在速度为零处（S(t)＝0）不光滑，应避开或特殊处理。
- 对于二次 Bezier 曲线，曲率函数更平滑，通常在 0,1 上至多一个极值，可直接在整个区间应用黄金分割法。