线性规划核心知识点

一、线性规划的标准型：统一求解的"通用格式"

1. 标准型的4个核心特征

线性规划的标准型是求解所有线性规划问题的基础，必须满足以下条件：

目标函数 ：默认求极小值（若原问题是求极大值，可转化为 min (-f)）；
约束条件：全部为等式约束（不含不等式）；
右端常数 ：约束等式右端的 b_i ≥ 0（若 b_i < 0，等式两端乘 -1 调整）；
变量约束 ：所有决策变量 x_j ≥ 0（无取值无限制的变量）。

标准型数学表达式 （矩阵形式）：
min⁡f=cTxs.t.Ax=bx≥0 \min \quad f = \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{x} \\ \text{s.t.} \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \\ \quad \boldsymbol{x} \geq 0 minf=cTxs.t.Ax=bx≥0

其中：

c\boldsymbol{c}c 是目标函数系数向量（nnn 维）；
A\boldsymbol{A}A 是约束系数矩阵（m×nm \times nm×n 阶，m<nm < nm<n，秩为 mmm）；
b\boldsymbol{b}b 是约束右端常数向量（mmm 维，bi≥0b_i ≥ 0bi≥0）；
x\boldsymbol{x}x 是决策变量向量（nnn 维，xj≥0x_j ≥ 0xj≥0）。

2. 一般形式转化为标准型的5种场景

实际问题的约束可能是不等式、变量无约束等，需按以下规则转化为标准型：

原约束/目标函数类型	转化方法
目标函数求极大值（max⁡f\max fmaxf）	转化为 min⁡(−f)\min (-f)min(−f)（目标函数系数全部取反）
约束为"≤"（如 ∑aijxj≤bi\sum a_{ij}x_j ≤ b_i∑aijxj≤bi）	加松弛变量 xn+i≥0x_{n+i} ≥ 0xn+i≥0，变为 ∑aijxj+xn+i=bi\sum a_{ij}x_j + x_{n+i} = b_i∑aijxj+xn+i=bi
约束为"≥"（如 ∑aijxj≥bi\sum a_{ij}x_j ≥ b_i∑aijxj≥bi）	减剩余变量 xn+i≥0x_{n+i} ≥ 0xn+i≥0，变为 ∑aijxj−xn+i=bi\sum a_{ij}x_j - x_{n+i} = b_i∑aijxj−xn+i=bi
约束右端 bi<0b_i < 0bi<0	等式两端乘 −1-1−1，同时调整约束符号（如"≤"变"≥"）
变量 xjx_jxj 无取值限制	令 xj=xj′−xj′′x_j = x_j' - x_j''xj=xj′−xj′′（xj′≥0,xj′′≥0x_j' ≥ 0, x_j'' ≥ 0xj′≥0,xj′′≥0），代入目标函数和约束
变量 xj≤0x_j ≤ 0xj≤0	令 xj=−xj′x_j = -x_j'xj=−xj′（xj′≥0x_j' ≥ 0xj′≥0），替换原变量

示例：将 max⁡f=3x1+x2−2x3\max f = 3x_1 + x_2 - 2x_3maxf=3x1+x2−2x3（约束含 ≤、≥、等式，x2x_2x2 无约束，x3≤0x_3 ≤ 0x3≤0）转化为标准型：

目标函数：min⁡f′=−3x1−x2′+x2′′+2x3′\min f' = -3x_1 - x_2' + x_2'' + 2x_3'minf′=−3x1−x2′+x2′′+2x3′（x2=x2′−x2′′x_2 = x_2' - x_2''x2=x2′−x2′′，x3=−x3′x_3 = -x_3'x3=−x3′）；
约束转化：
- 2x1+3(x2′−x2′′)+4x3′+x4=122x_1 + 3(x_2' - x_2'') + 4x_3' + x_4 = 122x1+3(x2′−x2′′)+4x3′+x4=12（原 ≤ 加松弛变量 x4x_4x4）；
- 4x1+(x2′−x2′′)−2x3′−x5=84x_1 + (x_2' - x_2'') - 2x_3' - x_5 = 84x1+(x2′−x2′′)−2x3′−x5=8（原 ≥ 减剩余变量 x5x_5x5）；
- 3x1−(x2′−x2′′)−3x3′=63x_1 - (x_2' - x_2'') - 3x_3' = 63x1−(x2′−x2′′)−3x3′=6（原等式不变）；
变量约束：x1,x2′,x2′′,x3′,x4,x5≥0x_1, x_2', x_2'', x_3', x_4, x_5 ≥ 0x1,x2′,x2′′,x3′,x4,x5≥0。

二、线性规划的解：从可行解到最优解

1. 核心概念辨析

概念	定义与特点
可行解	满足所有约束条件（Ax=b\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b 且 x≥0\boldsymbol{x} ≥ 0x≥0）的 x\boldsymbol{x}x
可行域	所有可行解构成的集合（凸集，即任意两点连线仍在集合内）
基本解	从 A\boldsymbol{A}A 中选 mmm 个线性无关列构成基 B\boldsymbol{B}B，令非基变量为0，求解 BxB=b\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_B = \boldsymbol{b}BxB=b 得到的解（非基变量全为0，基变量可能为负）
基本可行解	满足 x≥0\boldsymbol{x} ≥ 0x≥0 的基本解（对应可行域的顶点，有限个，不超过 (nm)\binom{n}{m}(mn) 个）
退化基本可行解	基本可行解中存在至少一个基变量为0（多个基本解可能对应同一个顶点）
最优解	使目标函数达到最小值的可行解（若存在，必为某个基本可行解）

2. 解的4个核心性质（考试重点）

可行域是凸集：若存在可行解，可行域必为凸集（有限个闭半空间的交集）；
基本可行解 ↔ 可行域顶点 ：可行解是基本可行解，当且仅当其正分量对应的 A\boldsymbol{A}A 的列向量线性无关，且对应可行域的顶点；
最优解存在则在顶点：若线性规划有最优解，必存在一个基本可行解是最优解（无需遍历所有可行解，只需验证顶点）；
基本可行解有限 ：基本可行解个数不超过 (nm)\binom{n}{m}(mn)，保证单纯形法可在有限步内收敛。

三、单纯形法：求解线性规划的"通用算法"

单纯形法的核心思路是：从可行域的一个顶点（基本可行解）出发，迭代到相邻顶点，直到找到最优解，全程通过"单纯形表"完成计算。

1. 单纯形法的6个核心步骤

步骤1：构造初始单纯形表

前提：标准型中需存在单位矩阵作为初始基（若没有，需用人工变量法构造，见第四部分）；

表格结构 （以 mmm 个基变量、nnn 个变量为例）：

列名	含义
基（基变量）	当前基变量（初始为松弛变量/人工变量）
CBC_BCB	基变量在目标函数中的系数
bbb	基变量的取值（xB=B−1b\boldsymbol{x}_B = \boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{b}xB=B−1b）
变量列（x1,...,xnx_1,...,x_nx1,...,xn）	基变量列构成单位矩阵，非基变量列为 B−1Aj\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}_jB−1Aj
θ\thetaθ	确定出基变量的最小比值（θi=biaik\theta_i = \frac{b_i}{a_{ik}}θi=aikbi，aik>0a_{ik} > 0aik>0）
检验数 σj\sigma_jσj	判断是否最优（σj=cj−CBB−1Aj\sigma_j = c_j - \boldsymbol{C}_B\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}_jσj=cj−CBB−1Aj）

步骤2：最优性检验

判断标准 ：若所有非基变量的检验数 σj≤0\sigma_j ≤ 0σj≤0，当前基本可行解是最优解，停止迭代；
特殊情况 ：若存在 σj=0\sigma_j = 0σj=0 的非基变量，且能找到 θ>0\theta > 0θ>0，则有无穷多最优解。

步骤3：确定进基变量（换入变量）

规则：选择检验数最大的非基变量（σk=max⁡{σj∣σj>0}\sigma_k = \max\{\sigma_j \mid \sigma_j > 0\}σk=max{σj∣σj>0}），对应列为"主列"；
意义：该变量进基能使目标函数下降最快（极小化问题）。

步骤4：判断无界解

规则：若进基变量对应的主列中所有元素 aik≤0a_{ik} ≤ 0aik≤0，则目标函数可无限下降，存在无界解，停止迭代。

步骤5：确定出基变量（换出变量）

规则：计算主列中 aik>0a_{ik} > 0aik>0 对应的 θi=biaik\theta_i = \frac{b_i}{a_{ik}}θi=aikbi，选择最小 θ\thetaθ 对应的基变量为出基变量，对应行为"主行"；
主元素 ：主行与主列的交点元素 alka_{lk}alk（后续需通过行变换将其变为1，主列其他元素变为0）。

步骤6：迭代更新单纯形表（高斯消元）

行变换规则 ：
1. 主行：bl′=blalkb'l = \frac{b_l}{a{lk}}bl′=alkbl，alj′=aljalka'{lj} = \frac{a{lj}}{a_{lk}}alj′=alkalj（主元素变为1）；
2. 其他行：bi′=bi−aik⋅bl′b'i = b_i - a{ik} \cdot b'lbi′=bi−aik⋅bl′，aij′=aij−aik⋅alj′a'{ij} = a_{ij} - a_{ik} \cdot a'_{lj}aij′=aij−aik⋅alj′（主列其他元素变为0）；
更新后：进基变量替换出基变量，返回步骤2重新检验。

2. 示例：用单纯形法求解

问题：min⁡f=−3x1−5x2\min f = -3x_1 -5x_2minf=−3x1−5x2，约束 x1≤4x_1 ≤4x1≤4，2x2≤122x_2 ≤122x2≤12，3x1+2x2≤183x_1+2x_2 ≤183x1+2x2≤18，x1,x2≥0x_1,x_2 ≥0x1,x2≥0
步骤：

转化为标准型：加松弛变量 x3,x4,x5x_3,x_4,x_5x3,x4,x5，目标函数 min⁡f=−3x1−5x2+0x3+0x4+0x5\min f = -3x_1 -5x_2 +0x_3 +0x_4 +0x_5minf=−3x1−5x2+0x3+0x4+0x5，约束：
x1+x3=4, 2x2+x4=12, 3x1+2x2+x5=18, x1,...,x5≥0x_1 +x_3=4,\ 2x_2 +x_4=12,\ 3x_1+2x_2 +x_5=18,\ x_1,...,x_5 ≥0x1+x3=4, 2x2+x4=12, 3x1+2x2+x5=18, x1,...,x5≥0
初始基为 x3,x4,x5x_3,x_4,x_5x3,x4,x5（单位矩阵），构造初始单纯形表；
迭代过程：
- 第1次迭代：σ1=3\sigma_1=3σ1=3，σ2=5\sigma_2=5σ2=5（σ2\sigma_2σ2 最大，x2x_2x2 进基），θmin⁡=6\theta_{\min}=6θmin=6（x4x_4x4 出基），主元素为2；
- 第2次迭代：更新表后，σ1=−1\sigma_1=-1σ1=−1，σ3=0\sigma_3=0σ3=0，σ4=2.5\sigma_4=2.5σ4=2.5，σ5=0\sigma_5=0σ5=0（σ1\sigma_1σ1 最大，x1x_1x1 进基），θmin⁡=2\theta_{\min}=2θmin=2（x5x_5x5 出基）；
- 第3次迭代：所有 σj≤0\sigma_j ≤0σj≤0，最优解 x1=2,x2=6x_1=2,x_2=6x1=2,x2=6，f=−36f=-36f=−36。

四、人工变量法：处理无初始基的情况

当标准型中无单位矩阵（如约束含"≥"或等式），需添加人工变量构造初始基，常用两种方法：

1. 大M法：用"无穷大"惩罚人工变量

核心逻辑

人工变量 ：在无单位矩阵的约束中加人工变量 xn+i≥0x_{n+i} ≥0xn+i≥0（如 ∑aijxj−xn+i+xn+m+i=bi\sum a_{ij}x_j -x_{n+i} +x_{n+m+i}=b_i∑aijxj−xn+i+xn+m+i=bi）；
目标函数处理 ：极小化问题中，人工变量系数设为 MMM（无穷大正数）------ 若人工变量未出基（取值非0），目标函数会远大于0，说明无可行解；
迭代步骤 ：按单纯形法正常迭代，若最终基变量含人工变量且 fff 含 MMM，则原问题无可行解。

示例

问题：min⁡f=3x1−x3\min f=3x_1 -x_3minf=3x1−x3，约束 x1+x2+x3≤4x_1+x_2+x_3 ≤4x1+x2+x3≤4，−2x1+x2−x3≥1-2x_1+x_2 -x_3 ≥1−2x1+x2−x3≥1，3x2+x3=93x_2+x_3=93x2+x3=9
处理：

加松弛变量 x4x_4x4、剩余变量 x5x_5x5、人工变量 x6,x7x_6,x_7x6,x7；
目标函数：min⁡f=3x1+0x2−x3+0x4+0x5+Mx6+Mx7\min f=3x_1 +0x_2 -x_3 +0x_4 +0x_5 +Mx_6 +Mx_7minf=3x1+0x2−x3+0x4+0x5+Mx6+Mx7；
迭代后若 x6,x7x_6,x_7x6,x7 出基（取值0），则有可行解；若仍在基中，无可行解。

2. 两阶段法：分阶段消除人工变量

核心逻辑

第一阶段 ：构造辅助问题，目标函数 min⁡w=∑\min w = \summinw=∑ 人工变量，约束为原标准型（含人工变量）；
- 若辅助问题最优解 w=0w=0w=0：人工变量全为0，得到原问题的初始基本可行解，进入第二阶段；
- 若 w>0w>0w>0：原问题无可行解，停止。
第二阶段：删除辅助问题的目标函数和人工变量列，用原问题目标函数，以第一阶段的最终基为初始基，按单纯形法迭代。

优势

避免大M法中"无穷大"在计算机计算中的精度误差，更适合编程实现。

五、退化与修正单纯形法

1. 退化现象：基变量为0的问题

定义

基本可行解中存在基变量为0（如多个约束交于同一点，导致 θ\thetaθ 有多个最小值），可能引发循环迭代（多次迭代后回到原基本可行解，无法收敛）。

解决方法：摄动法

核心思想 ：对约束右端 b\boldsymbol{b}b 加微小扰动 b(ε)=b+ε+ε2+...+εm\boldsymbol{b}(\varepsilon) = \boldsymbol{b} + \varepsilon + \varepsilon^2 + ... + \varepsilon^mb(ε)=b+ε+ε2+...+εm（ε\varepsilonε 充分小），使所有基变量非0，避免退化；
计算技巧 ：无需实际代入 ε\varepsilonε，只需按"多项式字典序"比较 θ\thetaθ（先比常数项，再比 ε\varepsilonε 系数，以此类推），确定唯一出基变量。

2. 修正单纯形法：优化计算效率

核心改进

普通单纯形法迭代时会重复计算非基变量列，修正法仅需维护基的逆矩阵 B−1\boldsymbol{B}^{-1}B−1，减少计算量和内存占用。

计算步骤

初始基 ：设初始基为单位矩阵（B−1=I\boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{I}B−1=I），计算 xB=b\boldsymbol{x}_B = \boldsymbol{b}xB=b，CB\boldsymbol{C}_BCB；
检验数计算 ：σj=cj−CBB−1Aj\sigma_j = c_j - \boldsymbol{C}_B\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}_jσj=cj−CBB−1Aj，判断是否最优；
进基变量 ：选 σk=max⁡{σj>0}\sigma_k = \max\{\sigma_j >0\}σk=max{σj>0}，计算 yk=B−1Ak\boldsymbol{y}_k = \boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}_kyk=B−1Ak；
出基变量 ：计算 θmin⁡=min⁡{xBiyki∣yki>0}\theta_{\min} = \min\{\frac{x_{Bi}}{y_{ki}} \mid y_{ki} >0\}θmin=min{ykixBi∣yki>0}，确定出基变量对应行 rrr；
更新 B−1\boldsymbol{B}^{-1}B−1 ：构造初等矩阵 E\boldsymbol{E}E（仅第 rrr 行不同），B新−1=EB−1\boldsymbol{B}^{-1}_{\text{新}} = \boldsymbol{E}\boldsymbol{B}^{-1}B新−1=EB−1；
迭代：重复步骤2-5，直到最优。

优势

适合变量和约束较多的问题，是工业级求解器的核心算法之一。