树的基本概念与特性
- 定义：树是n（n≥0）个结点的有限集合。n=0时为空树；非空树有且仅有一个根结点，其余结点分为m个互不相交的子树。
- 术语 ：
- 度：结点拥有的子树数。度为0的结点称为叶结点，否则为分支结点。
- 树的度：树中所有结点的最大度数。
- 深度/高度：根结点为第1层，向下逐层递增。
二叉树及其特性
- 定义：二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构，子树分左、右且顺序不可颠倒。
- 特殊类型 ：
- 斜树：所有结点只有左子树（左斜树）或右子树（右斜树）。
- 满二叉树：所有分支结点均有左右子树，且叶结点在同一层。
- 完全二叉树：结点位置与同深度的满二叉树编号完全一致。
- 性质 ：
- 第i层最多有 (2^{i-1}) 个结点（i≥1）。
- 深度为k的树最多有 (2^k - 1) 个结点。
- 对于任意二叉树，叶结点数 (n_0 = n_2 + 1)（(n_2)为度数为2的结点数）。
- 完全二叉树的深度为 (\lfloor \log_2 n \rfloor + 1)。
树的遍历方式
- 层序遍历（广度优先）：按层次从上到下、从左到右访问结点。
- 深度优先遍历 ：
- 前序：根→左→右。
- 中序：左→根→右。
- 后序：左→右→根。
哈希表（Hash Table）
- 核心思想：通过哈希函数 (f(key)) 计算存储位置，实现快速插入和查询（理想情况下O(1)）。
- 哈希函数设计 ：
- 直接定址法、平方取中法、折叠法、求余法等。
- 目标：计算简单、分布均匀。
- 冲突解决 ：
- 线性探测：冲突后顺序查找下一个空位（+1, +2, ...）。
- 二次探测：交替尝试 (±1, ±4, ±9, ...)。
- 随机探测：基于随机数偏移。
哈希表ADT实现示例
c
复制代码
typedef int DATATYPE;
typedef struct {
DATATYPE* head;
int tlen;
} HS_TABLE;
// 创建哈希表
HS_TABLE* CreateHsTable(int len);
// 插入数据
int InsertHsTable(HS_TABLE* hs, DATATYPE* data);
// 查找数据
int SearchHsTable(HS_TABLE* hs, DATATYPE* data);
// 销毁哈希表
int DestroyHsTable(HS_TABLE* hs);
关键点总结
- 树与二叉树：层次结构明确，遍历方式多样，适用于动态数据存储与快速查找。
- 哈希表：通过哈希函数直接定位数据，冲突解决策略影响性能。
- 时间复杂度：理想情况下，哈希表操作接近O(1)，树操作通常为O(log n)。