1.7
练习题
- 设 u=[32−4]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{bmatrix}u= 32−4 , v=[−617]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -6 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix}v= −617 , w=[0−52]\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 2 \end{bmatrix}w= 0−52 , z=[37−5]\mathbf{z} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ -5 \end{bmatrix}z= 37−5 .
a. 集合 {u,v}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}{u,v}, {u,w}\{\mathbf{u}, \mathbf{w}\}{u,w}, {v,w}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\}{v,w}, {v,z}\{\mathbf{v}, \mathbf{z}\}{v,z} 和 {w,z}\{\mathbf{w}, \mathbf{z}\}{w,z} 都是线性无关的吗？为什么？
b. 上面（a）的答案是否蕴涵着 {u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}{u,v,w,z} 也线性无关？
c. 为确定 {u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}{u,v,w,z} 是否是线性相关，是否有必要验证 w\mathbf{w}w 是 u,v,z\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{z}u,v,z 的线性组合？
d. {u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}{u,v,w,z} 是否线性相关？
解答 ：
a. 两个向量线性无关当且仅当它们不成比例（即不存在标量 kkk 使得一个向量是另一个的 kkk 倍）。
- 对 {u,v}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}{u,v}：检查比例 u1/v1=3/(−6)=−0.5u_1/v_1 = 3/(-6) = -0.5u1/v1=3/(−6)=−0.5，u2/v2=2/1=2u_2/v_2 = 2/1 = 2u2/v2=2/1=2，u3/v3=−4/7≈−0.57u_3/v_3 = -4/7 \approx -0.57u3/v3=−4/7≈−0.57，比例不全等，故不成比例。
- 对 {u,w}\{\mathbf{u}, \mathbf{w}\}{u,w}：w1=0w_1 = 0w1=0，但 u1=3≠0u_1 = 3 \neq 0u1=3=0，若成比例则 u1u_1u1 必须为 0，矛盾，故不成比例。
- 对 {v,w}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\}{v,w}：v1/w1v_1/w_1v1/w1 未定义（w1=0w_1=0w1=0），但 v1=−6≠0v_1 = -6 \neq 0v1=−6=0，故不成比例。
- 对 {v,z}\{\mathbf{v}, \mathbf{z}\}{v,z}：v1/z1=−6/3=−2v_1/z_1 = -6/3 = -2v1/z1=−6/3=−2，v2/z2=1/7≈0.14v_2/z_2 = 1/7 \approx 0.14v2/z2=1/7≈0.14，比例不等，故不成比例。
- 对 {w,z}\{\mathbf{w}, \mathbf{z}\}{w,z}：w1/z1=0/3=0w_1/z_1 = 0/3 = 0w1/z1=0/3=0，w2/z2=−5/7≈−0.71w_2/z_2 = -5/7 \approx -0.71w2/z2=−5/7≈−0.71，比例不等，故不成比例。
因此，所有两向量集合均线性无关。
b. 线性无关的两向量集合不能保证整个集合线性无关。例如，u,v,w\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}u,v,w 可能共面（即线性相关），即使任意两向量线性无关。因此，(a) 的结果不蕴涵 {u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}{u,v,w,z} 线性无关。
c. 检验线性无关性时，验证某个特定向量是否是其他向量的线性组合不是必要步骤。因为即使没有单个向量是其他向量的线性组合，整个集合仍可能线性相关（如三个向量共面但无两向量相关）。本题中，w\mathbf{w}w 不是 u,v,z\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{z}u,v,z 的线性组合，但整体仍线性相关，故无需验证。
d. 所有向量属于 R3\mathbb{R}^3R3（三维空间），而向量个数为 4。由线性代数定理：在 Rn\mathbb{R}^nRn 中，若向量个数超过 nnn，则必线性相关。这里 4>34 > 34>3，故 {u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}{u,v,w,z} 线性相关。
!NOTE
在 Rn\mathbb{R}^nRn 中，若向量个数超过 nnn，则这些向量必线性相关。这一结论可以从以下几个角度进行严谨分析：
1. 向量空间的维数与基的性质
- 维数定义 ：Rn\mathbb{R}^nRn 是一个 nnn 维向量空间，其维数由标准基 {e1,e2,...,en}\{e_1, e_2, \dots, e_n\}{e1,e2,...,en} 的个数决定。
- 最大线性无关组 ：在 nnn 维空间中，任何线性无关的向量组最多包含 nnn 个向量。若向量个数 k>nk > nk>n，则无法构成线性无关组，必然存在非平凡的线性组合使得结果为零向量。
2. 矩阵秩的视角
- 将 kkk 个向量作为列向量组成 n×kn \times kn×k 矩阵 AAA。
- 矩阵秩的限制 ：矩阵 AAA 的秩 r(A)r(A)r(A) 满足 r(A)≤min(n,k)=nr(A) \leq \min(n, k) = nr(A)≤min(n,k)=n（因为行数为 nnn）。
- 列向量组的线性相关性 ：若列向量组线性无关，则秩应等于列数 kkk，但 r(A)≤n<kr(A) \leq n < kr(A)≤n<k，矛盾。因此，列向量组必线性相关。
3. 齐次线性方程组的解
- 考虑线性组合 c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0，这是一个包含 nnn 个方程、kkk 个未知数的齐次方程组。
- 自由变量的存在 ：当 k>nk > nk>n 时，系数矩阵的秩 r≤nr \leq nr≤n，自由变量个数为 k−r≥k−n>0k - r \geq k - n > 0k−r≥k−n>0，因此存在非零解（即不全为零的 cic_ici），说明向量组线性相关。
4. 几何直观
- 在 R2\mathbb{R}^2R2 中，任意三个向量必然共面（二维空间中无法容纳三个线性无关的向量）。
- 在 R3\mathbb{R}^3R3 中，四个向量必然共体（三维空间中无法容纳四个线性无关的向量）。
- 一般地，在 nnn 维空间中，超过 nnn 个向量必然"冗余"，存在依赖关系。
结论
综合上述分析，Rn\mathbb{R}^nRn 的维数为 nnn，任何超过 nnn 个向量的集合必然存在线性相关性。这是向量空间维数理论的核心结论之一，也是线性代数中秩、基和线性方程组理论的自然推论。
最终答案 ：
在 Rn\mathbb{R}^nRn 中，由于其维数为 nnn，任何超过 nnn 个向量的集合必然线性相关。这是因为 nnn 维空间中最大线性无关组的大小为 nnn，而矩阵秩的限制或齐次方程组的非零解存在性均证明了这一点。因此，若向量个数超过 nnn，则这些向量必线性相关 。
在 Rn 中，若向量个数超过 n，则这些向量必线性相关。 \boxed{\text{在 } \mathbb{R}^n \text{ 中，若向量个数超过 } n \text{，则这些向量必线性相关。}} 在 Rn 中，若向量个数超过 n，则这些向量必线性相关。
- 假设 {v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1,v2,v3} 是 Rn\mathbb{R}^nRn 中向量的线性相关集，并且 v4∈Rn\mathbf{v}_4 \in \mathbb{R}^nv4∈Rn。证明 {v1,v2,v3,v4}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}{v1,v2,v3,v4} 是线性相关集。
解答 ：
因为 {v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1,v2,v3} 线性相关，由线性相关定义，存在不全为零的标量 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3c1,c2,c3 使得：
c1v1+c2v2+c3v3=0 c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0} c1v1+c2v2+c3v3=0
考虑向量组 {v1,v2,v3,v4}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}{v1,v2,v3,v4}，构造线性组合：
c1v1+c2v2+c3v3+0⋅v4=0 c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 + 0 \cdot \mathbf{v}_4 = \mathbf{0} c1v1+c2v2+c3v3+0⋅v4=0
由于 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3c1,c2,c3 不全为零（而 c4=0c_4 = 0c4=0），系数 c1,c2,c3,c4c_1, c_2, c_3, c_4c1,c2,c3,c4 不全为零。因此，{v1,v2,v3,v4}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}{v1,v2,v3,v4} 满足线性相关集的定义。
结论 ：
{v1,v2,v3,v4}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}{v1,v2,v3,v4} 是线性相关集。
习题 1.7
- 确定向量组 [500],[72−6],[94−8]\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ -6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ -8 \end{bmatrix} 500 , 72−6 , 94−8 是否线性相关，给出理由。
解答 ：
使用增广矩阵研究 x1u+x2v+x3w=0x_1\mathbf{u} + x_2\mathbf{v} + x_3\mathbf{w} = \mathbf{0}x1u+x2v+x3w=0 的解集，其中 u,v,w\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}u,v,w 是给定的三个向量。
579002400−6−80\]∼\[579002400040\] \\begin{bmatrix} 5 \& 7 \& 9 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& 4 \& 0 \\\\ 0 \& -6 \& -8 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 5 \& 7 \& 9 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& 4 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 4 \& 0 \\end{bmatrix} 50072−694−8000 ∼ 500720944000 行变换后没有自由变量。 **结论** ： 齐次方程**只有平凡解，向量组线性无关**。 *** ** * ** *** > 2. 确定向量组 \[002\],\[05−8\],\[−341\]\\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 2 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 5 \\\\ -8 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -3 \\\\ 4 \\\\ 1 \\end{bmatrix} 002 , 05−8 , −341 是否线性相关，给出理由。 **解答** ： 使用增广矩阵研究 x1u+x2v+x3w=0x_1\\mathbf{u} + x_2\\mathbf{v} + x_3\\mathbf{w} = \\mathbf{0}x1u+x2v+x3w=0 的解集，其中 u,v,w\\mathbf{u}, \\mathbf{v}, \\mathbf{w}u,v,w 是给定的三个向量。 \[00−3005402−810\]∼\[2−810054000−30\] \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& -3 \& 0 \\\\ 0 \& 5 \& 4 \& 0 \\\\ 2 \& -8 \& 1 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 2 \& -8 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 5 \& 4 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& -3 \& 0 \\end{bmatrix} 00205−8−341000 ∼ 200−85014−3000 行变换后没有自由变量。 **结论** ： 齐次方程只有平凡解，向量组线性无关。 *** ** * ** *** > 3. 确定向量组 \[1−3\],\[−39\]\\begin{bmatrix} 1 \\\\ -3 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -3 \\\\ 9 \\end{bmatrix}\[1−3\],\[−39\] 是否线性相关，给出理由。 **解答** ： 使用例3的方法。通过比较向量的对应元素： \[−39\]=−3⋅\[1−3\] \\begin{bmatrix} -3 \\\\ 9 \\end{bmatrix} = -3 \\cdot \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -3 \\end{bmatrix} \[−39\]=−3⋅\[1−3
第二个向量是第一个向量的-3倍。
结论 ：
两个向量线性相关。
- 确定向量组 [−14],[−2−8]\begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -8 \end{bmatrix}[−14],[−2−8] 是否线性相关，给出理由。
解答 ：
检查是否存在标量 ccc 使得第二个向量是第一个向量的倍数：
- 从第一元素看：−2=2⋅(−1)-2 = 2 \cdot (-1)−2=2⋅(−1)
- 但从第二元素看：−8≠2⋅4-8 \neq 2 \cdot 4−8=2⋅4
存在符号问题，没有一个向量是另一个的倍数。
结论 ：
两个向量线性无关。
- 确定给定矩阵的各列是否构成线性无关集：[0−853−74−15−41−32]\begin{bmatrix} 0 & -8 & 5 \\ 3 & -7 & 4 \\ -1 & 5 & -4 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} 03−11−8−75−354−42
解答 ：
对 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的增广矩阵进行行变换：
0−8503−740−15−401−320\]∼\[1−3203−740−15−400−850\]∼\[1−32002−2002−200−850\]∼ \\begin{bmatrix} 0 \& -8 \& 5 \& 0 \\\\ 3 \& -7 \& 4 \& 0 \\\\ -1 \& 5 \& -4 \& 0 \\\\ 1 \& -3 \& 2 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 2 \& 0 \\\\ 3 \& -7 \& 4 \& 0 \\\\ -1 \& 5 \& -4 \& 0 \\\\ 0 \& -8 \& 5 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& -2 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& -2 \& 0 \\\\ 0 \& -8 \& 5 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim 03−11−8−75−354−420000 ∼ 13−10−3−75−824−450000 ∼ 1000−322−82−2−250000 ∼ \[1−32002−20000000−30\]∼\[1−32002−2000−300000\]∼\[1−32002−2000−300000\] \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& -2 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& -3 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& -2 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& -3 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& -2 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& -3 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 1000−32002−20−30000 ∼ 1000−32002−2−300000 ∼ 1000−32002−2−300000 行变换后没有自由变量。 **结论** ： 方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 只有平凡解，矩阵各列线性无关。 *** ** * ** *** > 6. 确定给定矩阵的各列是否构成线性无关集：\[−4−300−14103546\]\\begin{bmatrix} -4 \& -3 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 4 \\\\ 1 \& 0 \& 3 \\\\ 5 \& 4 \& 6 \\end{bmatrix} −4015−3−1040436 **解答** ： 对 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 的增广矩阵进行行变换： \[−4−3000−14010305460\]∼\[10300−140−4−3005460\]∼\[10300−1400−312004−90\]∼ \\begin{bmatrix} -4 \& -3 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 4 \& 0 \\\\ 1 \& 0 \& 3 \& 0 \\\\ 5 \& 4 \& 6 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 4 \& 0 \\\\ -4 \& -3 \& 0 \& 0 \\\\ 5 \& 4 \& 6 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 4 \& 0 \\\\ 0 \& -3 \& 12 \& 0 \\\\ 0 \& 4 \& -9 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim −4015−3−10404360000 ∼ 10−450−1−3434060000 ∼ 10000−1−343412−90000 ∼ \[10300−14000000070\]∼\[10300−14000700000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 4 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 7 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 4 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 7 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 10000−10034070000 ∼ 10000−10034700000 行变换后没有自由变量。 **结论** ： 方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 只有平凡解，矩阵各列线性无关。 *** ** * ** *** > 7. 确定给定矩阵的各列是否构成线性无关集：\[14−30−2−751−4−575\]\\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -3 \& 0 \\\\ -2 \& -7 \& 5 \& 1 \\\\ -4 \& -5 \& 7 \& 5 \\end{bmatrix} 1−2−44−7−5−357015 **解答** ： 研究方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0，对增广矩阵进行行变换： \[14−300−2−7510−4−5750\]∼\[14−30001−110011−550\]∼\[14−30001−110006−60\] \\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -3 \& 0 \& 0 \\\\ -2 \& -7 \& 5 \& 1 \& 0 \\\\ -4 \& -5 \& 7 \& 5 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -3 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -1 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 11 \& -5 \& 5 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -3 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -1 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 6 \& -6 \& 0 \\end{bmatrix} 1−2−44−7−5−357015000 ∼ 1004111−3−1−5015000 ∼ 100410−3−1601−6000 矩阵只有3行，最多有3个主元位置，但有4个变量。 **结论** ： 方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 有非平凡解，矩阵各列线性相关。 *** ** * ** *** > 8. 确定给定矩阵的各列是否构成线性无关集：\[1−33−2−37−1201−43\]\\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 3 \& -2 \\\\ -3 \& 7 \& -1 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \\end{bmatrix} 1−30−3713−1−4−223 **解答** ： 对增广矩阵进行行变换： \[1−33−20−37−12001−430\]∼\[1−33−200−28−4001−430\]∼\[1−33−200−28−4000010\] \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 3 \& -2 \& 0 \\\\ -3 \& 7 \& -1 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 3 \& -2 \& 0 \\\\ 0 \& -2 \& 8 \& -4 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 3 \& -2 \& 0 \\\\ 0 \& -2 \& 8 \& -4 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\end{bmatrix} 1−30−3713−1−4−223000 ∼ 100−3−2138−4−2−43000 ∼ 100−3−20380−2−41000 矩阵只有3行，最多有3个主元位置，但有4个变量。 **结论** ： 方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 有非平凡解，矩阵各列线性相关。 *** ** * ** *** > 9. (a) 对 hhh 的什么值，v3v_3v3 属于 Span{v1,v2}Span\\{v_1,v_2\\}Span{v1,v2}？(b) 对 hhh 的什么值，{v1,v2,v3}\\{v_1,v_2,v_3\\}{v1,v2,v3} 线性相关？ > 其中 v1=\[1−32\],v2=\[−39−6\],v3=\[5−7h\]v_1 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -3 \\\\ 2 \\end{bmatrix}, v_2 = \\begin{bmatrix} -3 \\\\ 9 \\\\ -6 \\end{bmatrix}, v_3 = \\begin{bmatrix} 5 \\\\ -7 \\\\ h \\end{bmatrix}v1= 1−32 ,v2= −39−6 ,v3= 5−7h **解答** ： (a) 将 \[v1 v2 v3\]\[v_1 \\ v_2 \\ v_3\]\[v1 v2 v3\] 作为增广矩阵行变换： \[1−35−39−72−6h\]∼\[1−3500800h−10\] \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 5 \\\\ -3 \& 9 \& -7 \\\\ 2 \& -6 \& h \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 5 \\\\ 0 \& 0 \& 8 \\\\ 0 \& 0 \& h-10 \\end{bmatrix} 1−32−39−65−7h ∼ 100−30058h−10 方程 0=80 = 80=8 表明原向量方程无解。 (b) 将 \[v1 v2 v3 0\]\[v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \\mathbf{0}\]\[v1 v2 v3 0\] 作为增广矩阵行变换： \[1−350−39−702−6h0\]∼\[1−350008000h−100\]∼\[1−35000800000\] \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 5 \& 0 \\\\ -3 \& 9 \& -7 \& 0 \\\\ 2 \& -6 \& h \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 5 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 8 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& h-10 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& 5 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 8 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 1−32−39−65−7h000 ∼ 100−30058h−10000 ∼ 100−300580000 对所有 hhh 值，x2x_2x2 都是自由变量。 **结论** ： (a) 对于任何 hhh 值，v3v_3v3 都不属于 Span{v1,v2}Span\\{v_1,v_2\\}Span{v1,v2}。 (b) 对所有 hhh 值，{v1,v2,v3}\\{v_1,v_2,v_3\\}{v1,v2,v3} 都是线性相关的。 *** ** * ** *** > 10. (a) 对 hhh 的什么值，v3v_3v3 属于 Span{v1,v2}Span\\{v_1,v_2\\}Span{v1,v2}？(b) 对 hhh 的什么值，{v1,v2,v3}\\{v_1,v_2,v_3\\}{v1,v2,v3} 线性相关？ > 其中 v1=\[1−5−3\],v2=\[−2106\],v3=\[2−9h\]v_1 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -5 \\\\ -3 \\end{bmatrix}, v_2 = \\begin{bmatrix} -2 \\\\ 10 \\\\ 6 \\end{bmatrix}, v_3 = \\begin{bmatrix} 2 \\\\ -9 \\\\ h \\end{bmatrix}v1= 1−5−3 ,v2= −2106 ,v3= 2−9h **解答** ： (a) 将 \[v1 v2 v3\]\[v_1 \\ v_2 \\ v_3\]\[v1 v2 v3\] 作为增广矩阵行变换： \[1−22−510−9−36h\]∼\[1−2200100h+6\] \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \& 2 \\\\ -5 \& 10 \& -9 \\\\ -3 \& 6 \& h \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \& 2 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& h+6 \\end{bmatrix} 1−5−3−21062−9h ∼ 100−20021h+6 方程 0=10 = 10=1 表明原向量方程无解。 (b) 将 \[v1 v2 v3 0\]\[v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \\mathbf{0}\]\[v1 v2 v3 0\] 作为增广矩阵行变换： \[1−220−510−90−36h0\]∼\[1−220001000h+60\]∼\[1−22000100000\] \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \& 2 \& 0 \\\\ -5 \& 10 \& -9 \& 0 \\\\ -3 \& 6 \& h \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& h+6 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 1−5−3−21062−9h000 ∼ 100−20021h+6000 ∼ 100−200210000 对所有 hhh 值，x2x_2x2 都是自由变量。 **结论** ： (a) 对于任何 hhh 值，v3v_3v3 都不属于 Span{v1,v2}Span\\{v_1,v_2\\}Span{v1,v2}。 (b) 对所有 hhh 值，{v1,v2,v3}\\{v_1,v_2,v_3\\}{v1,v2,v3} 都是线性相关的。 > 11. 求出 hhh 的值，使向量组 \[1−14\],\[3−57\],\[−15h\]\\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\\\ 4 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 3 \\\\ -5 \\\\ 7 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 5 \\\\ h \\end{bmatrix} 1−14 , 3−57 , −15h 线性相关。 **解答** ： 构造增广矩阵 \[v1 v2 v3 0\]\[\\mathbf{v}_1\\ \\mathbf{v}_2\\ \\mathbf{v}_3\\ \\mathbf{0}\]\[v1 v2 v3 0\] 并行变换： \[13−10−1−55047h0\]∼\[13−100−2400−5h+40\]∼\[13−100−24000h−60\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -1 \& 0 \\\\ -1 \& -5 \& 5 \& 0 \\\\ 4 \& 7 \& h \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -1 \& 0 \\\\ 0 \& -2 \& 4 \& 0 \\\\ 0 \& -5 \& h+4 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -1 \& 0 \\\\ 0 \& -2 \& 4 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& h-6 \& 0 \\end{bmatrix} 1−143−57−15h000 ∼ 1003−2−5−14h+4000 ∼ 1003−20−14h−6000 当 h−6=0h - 6 = 0h−6=0 时，方程 x1v1+x2v2+x3v3=0x_1\\mathbf{v}_1 + x_2\\mathbf{v}_2 + x_3\\mathbf{v}_3 = \\mathbf{0}x1v1+x2v2+x3v3=0 有非平凡解（对应 x3x_3x3 为自由变量）。 **结论** ： 向量组线性相关当且仅当 h=6h = 6h=6。 *** ** * ** *** > 12. 求出 hhh 的值，使向量组 \[2−41\],\[−67−3\],\[8h4\]\\begin{bmatrix} 2 \\\\ -4 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -6 \\\\ 7 \\\\ -3 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 8 \\\\ h \\\\ 4 \\end{bmatrix} 2−41 , −67−3 , 8h4 线性相关。 **解答** ： 构造增广矩阵 \[v1 v2 v3 0\]\[\\mathbf{v}_1\\ \\mathbf{v}_2\\ \\mathbf{v}_3\\ \\mathbf{0}\]\[v1 v2 v3 0\] 并行变换： \[2−680−47h01−340\]∼\[2−6800−5h+1600000\] \\begin{bmatrix} 2 \& -6 \& 8 \& 0 \\\\ -4 \& 7 \& h \& 0 \\\\ 1 \& -3 \& 4 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 2 \& -6 \& 8 \& 0 \\\\ 0 \& -5 \& h+16 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 2−41−67−38h4000 ∼ 200−6−508h+160000 行变换后第三行全零，说明方程恒有自由变量（无论 hhh 取何值）。 **结论** ： 对所有 hhh 值，向量组均线性相关。 *** ** * ** *** > 13. 求出 hhh 的值，使向量组 \[15−3\],\[−2−96\],\[3h−9\]\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 5 \\\\ -3 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -2 \\\\ -9 \\\\ 6 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 3 \\\\ h \\\\ -9 \\end{bmatrix} 15−3 , −2−96 , 3h−9 线性相关。 **解答** ： 构造增广矩阵 \[v1 v2 v3 0\]\[\\mathbf{v}_1\\ \\mathbf{v}_2\\ \\mathbf{v}_3\\ \\mathbf{0}\]\[v1 v2 v3 0\] 并行变换： \[1−2305−9h0−36−90\]∼\[1−23001h−1500000\] \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \& 3 \& 0 \\\\ 5 \& -9 \& h \& 0 \\\\ -3 \& 6 \& -9 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& h-15 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 15−3−2−963h−9000 ∼ 100−2103h−150000 行变换后第三行全零，说明方程恒有自由变量（无论 hhh 取何值）。 **结论** ： 对所有 hhh 值，向量组均线性相关。 *** ** * ** *** > 14. 求出 hhh 的值，使向量组 \[1−13\],\[−578\],\[11h\]\\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\\\ 3 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -5 \\\\ 7 \\\\ 8 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ h \\end{bmatrix} 1−13 , −578 , 11h 线性相关。 **解答** ： 构造增广矩阵 \[v1 v2 v3 0\]\[\\mathbf{v}_1\\ \\mathbf{v}_2\\ \\mathbf{v}_3\\ \\mathbf{0}\]\[v1 v2 v3 0\] 并行变换： \[1−510−171038h0\]∼\[1−5100220023h−30\]∼\[1−510022000h−260\] \\begin{bmatrix} 1 \& -5 \& 1 \& 0 \\\\ -1 \& 7 \& 1 \& 0 \\\\ 3 \& 8 \& h \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -5 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 23 \& h-3 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -5 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& h-26 \& 0 \\end{bmatrix} 1−13−57811h000 ∼ 100−522312h−3000 ∼ 100−52012h−26000 当 h−26=0h - 26 = 0h−26=0 时，方程有非平凡解（对应 x3x_3x3 为自由变量）。 **结论** ： 向量组线性相关当且仅当 h=26h = 26h=26。 *** ** * ** *** > 15. 通过观察判断向量组 \[51\],\[28\],\[13\],\[−17\]\\begin{bmatrix} 5 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 2 \\\\ 8 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 3 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 7 \\end{bmatrix}\[51\],\[28\],\[13\],\[−17\] 是否线性无关。 **解答** ： 向量组包含 4 个二维向量。根据定理 8，**当向量个数超过向量空间维数时，向量组必然线性相关**。 **结论** ： 向量组线性相关。 *** ** * ** *** > 16. 通过观察判断向量组 \[4−26\],\[6−39\]\\begin{bmatrix} 4 \\\\ -2 \\\\ 6 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 6 \\\\ -3 \\\\ 9 \\end{bmatrix} 4−26 , 6−39 是否线性无关。 **解答** ： 第二个向量是第一个向量的 32\\frac{3}{2}23 倍： \[6−39\]=32\[4−26\] \\begin{bmatrix} 6 \\\\ -3 \\\\ 9 \\end{bmatrix} = \\frac{3}{2} \\begin{bmatrix} 4 \\\\ -2 \\\\ 6 \\end{bmatrix} 6−39 =23 4−26 存在非平凡线性组合等于零向量。 **结论** ： 向量组线性相关。 *** ** * ** *** > 17. 通过观察判断向量组 \[35−1\],\[000\],\[−654\]\\begin{bmatrix} 3 \\\\ 5 \\\\ -1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -6 \\\\ 5 \\\\ 4 \\end{bmatrix} 35−1 , 000 , −654 是否线性无关。 **解答** ： 向量组包含零向量。根据定理 9，**包含零向量的向量组必然线性相关**。 **结论** ： 向量组线性相关。 *** ** * ** *** > 18. 通过观察判断向量组 \[44\],\[−13\],\[25\],\[81\]\\begin{bmatrix} 4 \\\\ 4 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 3 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 2 \\\\ 5 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 8 \\\\ 1 \\end{bmatrix}\[44\],\[−13\],\[25\],\[81\] 是否线性无关。 **解答** ： 向量组包含 4 个二维向量。根据定理 8，**当向量个数超过向量空间维数时，向量组必然线性相关**。 **结论** ： 向量组线性相关。 *** ** * ** *** > 19. 通过观察判断向量组 \[−812−4\],\[2−3−1\]\\begin{bmatrix} -8 \\\\ 12 \\\\ -4 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 2 \\\\ -3 \\\\ -1 \\end{bmatrix} −812−4 , 2−3−1 是否线性无关。 **解答** ： 检查是否存在标量 ccc 使两向量成比例： * 前两个分量满足 −8=−4×2-8 = -4 \\times 2−8=−4×2，12=−4×(−3)12 = -4 \\times (-3)12=−4×(−3)，但第三分量 −4≠−4×(−1)-4 \\neq -4 \\times (-1)−4=−4×(−1)。 * 无统一标量 ccc 使两向量成比例。 **结论** ： 向量组线性无关。 *** ** * ** *** > 20. 通过观察判断向量组 \[14−7\],\[−253\],\[000\]\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 4 \\\\ -7 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -2 \\\\ 5 \\\\ 3 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} 14−7 , −253 , 000 是否线性无关。 **解答** ： 向量组包含零向量。根据定理 9，**包含零向量的向量组必然线性相关**。 **结论** ： 向量组线性相关。