- 设 x=[x1x2]x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}x=[x1x2], v1=[−25]v_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix}v1=[−25], v2=[7−3]v_2 = \begin{bmatrix} 7 \\ -3 \end{bmatrix}v2=[7−3]; T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 是线性变换，把 xxx 映射为 x1v1+x2v2x_1v_1 + x_2v_2x1v1+x2v2。求矩阵 AAA，使得对每个 xxx，T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax。
解答 ：
根据线性变换的定义：
T(x)=x1v1+x2v2=[v1v2][x1x2]T(x) = x_1v_1 + x_2v_2 = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=x1v1+x2v2=[v1v2][x1x2]
将 v1v_1v1 和 v2v_2v2 作为矩阵 AAA 的列向量：
A=[v1v2]=[−275−3]A = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 7 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}A=[v1v2]=[−257−3]
验证：
T(x)=Ax=[−275−3][x1x2]=x1[−25]+x2[7−3]=x1v1+x2v2T(x) = Ax = \begin{bmatrix} -2 & 7 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 7 \\ -3 \end{bmatrix} = x_1v_1 + x_2v_2T(x)=Ax=[−257−3][x1x2]=x1[−25]+x2[7−3]=x1v1+x2v2
结论 ：
矩阵 A=[−275−3]A = \begin{bmatrix} -2 & 7 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}A=[−257−3]
- a. 线性变换是一种特殊的函数 。
b. 若 AAA 是 3×53 \times 53×5 矩阵，TTT 是由 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax 定义的，AAA 的定义域是 R3\mathbb{R}^3R3。
c. 若 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，则变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的值域是 Rm\mathbb{R}^mRm。
d. 所有线性变换都是矩阵变换。
e. 变换 TTT 是线性的，当且仅当对任意 TTT 的定义域中的 v1,v2v_1, v_2v1,v2 和所有标量 c1,c2c_1, c_2c1,c2 都有 T(c1v1+c2v2)=c1T(v1)+c2T(v2)T(c_1v_1 + c_2v_2) = c_1T(v_1) + c_2T(v_2)T(c1v1+c2v2)=c1T(v1)+c2T(v2)。
解答 ：
a. 线性变换是从 Rn\mathbb{R}^nRn 到 Rm\mathbb{R}^mRm 的函数，满足特定的线性性质（加法和标量乘法保持性）。
b. 对于 AAA 是 3×53 \times 53×5 矩阵，T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax 要求 xxx 有 5 个分量，因此定义域应为 R5\mathbb{R}^5R5，而非 R3\mathbb{R}^3R3。
c. 变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的值域是 AAA 的列向量的所有线性组合构成的子空间，而非整个 Rm\mathbb{R}^mRm。
d. 并非所有线性变换都是矩阵变换。只有当定义域和余定义域是有限维向量空间时，线性变换才可以用矩阵表示。
e. 线性变换的定义即为：对任意定义域中的向量 v1,v2v_1, v_2v1,v2 和标量 c1,c2c_1, c_2c1,c2，有 T(c1v1+c2v2)=c1T(v1)+c2T(v2)T(c_1v_1 + c_2v_2) = c_1T(v_1) + c_2T(v_2)T(c1v1+c2v2)=c1T(v1)+c2T(v2)。
结论 ：
a. True
b. False
c. False
d. False
e. True
- a. 所有矩阵变换都是线性变换。
b. 变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的余定义域是 AAA 的列的所有线性组合所构成的集合。
c. 若 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm 是线性变换，ccc 在 Rm\mathbb{R}^mRm 中，则唯一性问题是："c 是否在 T 的值域中？"
d. 线性变换保持向量加法和标量乘法运算。
e. 叠加原理是线性变换的物理描述。
解答 ：
a. 矩阵变换 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax 满足线性变换的定义：T(c1x1+c2x2)=c1T(x1)+c2T(x2)T(c_1x_1 + c_2x_2) = c_1T(x_1) + c_2T(x_2)T(c1x1+c2x2)=c1T(x1)+c2T(x2)。
b. 变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的余定义域 是 Rm\mathbb{R}^mRm，而值域 才是 AAA 的列向量的所有线性组合构成的集合。
c. "c 是否在 T 的值域中？" 是存在性问题（是否存在 xxx 使得 T(x)=cT(x) = cT(x)=c），而非唯一性问题。
d. 线性变换的基本性质是保持向量加法和标量乘法：T(u+v)=T(u)+T(v)T(u+v) = T(u) + T(v)T(u+v)=T(u)+T(v) 且 T(cu)=cT(u)T(cu) = cT(u)T(cu)=cT(u)。
e. 叠加原理指出系统对多个输入的总响应等于各输入单独响应的和，这正是线性变换的数学本质。
结论 ：
a. True
b. False
c. False
d. True
e. True
- 设 v1,...,vpv_1, \dots, v_pv1,...,vp 生成 Rn\mathbb{R}^nRn，T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm 是一线性变换，T(vi)=0T(v_i) = 0T(vi)=0，i=1,...,pi = 1, \dots, pi=1,...,p。证明 TTT 是零变换，即若 xxx 是 Rn\mathbb{R}^nRn 中的任一向量，则 T(x)=0T(x) = 0T(x)=0。
解答 ：
因为 v1,...,vpv_1, \dots, v_pv1,...,vp 生成 Rn\mathbb{R}^nRn，所以对任意 x∈Rnx \in \mathbb{R}^nx∈Rn，存在标量 c1,...,cpc_1, \dots, c_pc1,...,cp 使得：
x=c1v1+⋯+cpvpx = c_1v_1 + \cdots + c_pv_px=c1v1+⋯+cpvp
由于 TTT 是线性变换：
T(x)=T(c1v1+⋯+cpvp)=c1T(v1)+⋯+cpT(vp)T(x) = T(c_1v_1 + \cdots + c_pv_p) = c_1T(v_1) + \cdots + c_pT(v_p)T(x)=T(c1v1+⋯+cpvp)=c1T(v1)+⋯+cpT(vp)
已知 T(vi)=0T(v_i) = 0T(vi)=0 对所有 iii，所以：
T(x)=c1⋅0+⋯+cp⋅0=0T(x) = c_1 \cdot 0 + \cdots + c_p \cdot 0 = 0T(x)=c1⋅0+⋯+cp⋅0=0
结论 ：
TTT 是零变换，即对所有 x∈Rnx \in \mathbb{R}^nx∈Rn，T(x)=0T(x) = 0T(x)=0。
- 设 Rn\mathbb{R}^nRn 中向量 v≠0v \neq 0v=0 和 ppp，通过 ppp 方向为 vvv 的直线有参数方程 x=p+tvx = p + tvx=p+tv。证明线性变换 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm 把此直线映射到另一条直线或一点（称为退化直线）上。
解答 ：
考虑直线上任意点 x=p+tvx = p + tvx=p+tv，其中 t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R。
应用线性变换 TTT：
T(x)=T(p+tv)=T(p)+tT(v)T(x) = T(p + tv) = T(p) + tT(v)T(x)=T(p+tv)=T(p)+tT(v)
这是 Rm\mathbb{R}^mRm 中的一条参数方程。
- 如果 T(v)≠0T(v) \neq 0T(v)=0，则这是方向为 T(v)T(v)T(v)、通过点 T(p)T(p)T(p) 的直线。
- 如果 T(v)=0T(v) = 0T(v)=0，则 T(x)=T(p)T(x) = T(p)T(x)=T(p) 对所有 ttt 成立，即映射为单点 T(p)T(p)T(p)。
结论 ：
线性变换将直线映射为直线（当 T(v)≠0T(v) \neq 0T(v)=0）或单点（当 T(v)=0T(v) = 0T(v)=0）。
- 设 u,vu, vu,v 为 Rn\mathbb{R}^nRn 中的线性无关非零向量，PPP 是通过 u,vu, vu,v 和 000 的平面，PPP 的参数方程为 x=su+tvx = su + tvx=su+tv (s,ts, ts,t 为实数)。证明任何线性变换 T:Rn→R3T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^3T:Rn→R3 把 PPP 映射到通过 000 的一个平面，或通过 000 的一条直线，或仅是 R3\mathbb{R}^3R3 中的原点。为了使平面 PPP 的像是平面，T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 应满足什么条件？
解答 ：
对平面 PPP 上任意点 x=su+tvx = su + tvx=su+tv，应用线性变换：
T(x)=sT(u)+tT(v)T(x) = sT(u) + tT(v)T(x)=sT(u)+tT(v)
这是 R3\mathbb{R}^3R3 中的参数方程，表示 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 的所有线性组合。
- 如果 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 线性无关，则像为通过原点的平面。
- 如果 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 线性相关但不同时为零，则像为通过原点的直线。
- 如果 T(u)=T(v)=0T(u) = T(v) = 0T(u)=T(v)=0，则像仅为原点。
结论 ：
线性变换 TTT 将平面 PPP 映射为：
- 通过原点的平面（当 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 线性无关）
- 通过原点的直线（当 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 线性相关但不同时为零）
- 仅原点（当 T(u)=T(v)=0T(u) = T(v) = 0T(u)=T(v)=0）
为了使平面 PPP 的像是平面，T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 必须线性无关。
a. 证明通过 Rn\mathbb{R}^nRn 中向量 ppp 和 qqq 的直线可写成参数方程 x=(1−t)p+tqx = (1-t)p + tqx=(1−t)p+tq。
b. 由 ppp 到 qqq 的线段可表示为所有形如 (1−t)p+tq(1-t)p + tq(1−t)p+tq (0≤t≤10 \leq t \leq 10≤t≤1) 的点的集合。证明任意一个线性变换 TTT 把此线段映射为一条线段或一个单独的点。
解答 ：
a. 考虑参数方程 x=p+t(q−p)x = p + t(q-p)x=p+t(q−p)，其中 t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R。
x=p+t(q−p)=(1−t)p+tqx = p + t(q-p) = (1-t)p + tqx=p+t(q−p)=(1−t)p+tq
当 t=0t = 0t=0 时，x=px = px=p；当 t=1t = 1t=1 时，x=qx = qx=q。
对任意 t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R，这表示通过 ppp 和 qqq 的直线。
b. 对线段上任意点 x=(1−t)p+tqx = (1-t)p + tqx=(1−t)p+tq，其中 0≤t≤10 \leq t \leq 10≤t≤1，应用线性变换：
T(x)=T((1−t)p+tq)=(1−t)T(p)+tT(q)T(x) = T((1-t)p + tq) = (1-t)T(p) + tT(q)T(x)=T((1−t)p+tq)=(1−t)T(p)+tT(q)
- 如果 T(p)≠T(q)T(p) \neq T(q)T(p)=T(q)，则这是从 T(p)T(p)T(p) 到 T(q)T(q)T(q) 的线段。
- 如果 T(p)=T(q)T(p) = T(q)T(p)=T(q)，则 T(x)=T(p)T(x) = T(p)T(x)=T(p) 对所有 ttt 成立，即映射为单点。
结论 ：
a. 通过 ppp 和 qqq 的直线可表示为 x=(1−t)p+tqx = (1-t)p + tqx=(1−t)p+tq，t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R。
b. 线性变换将线段映射为线段（当 T(p)≠T(q)T(p) \neq T(q)T(p)=T(q)）或单点（当 T(p)=T(q)T(p) = T(q)T(p)=T(q)）。
- 设 uuu 和 vvv 是 Rn\mathbb{R}^nRn 中的向量，可以证明，由 uuu 和 vvv 所确定的平行四边形内所有点的集 PPP 可表示为 au+bvau + bvau+bv，0≤a≤10 \leq a \leq 10≤a≤1，0≤b≤10 \leq b \leq 10≤b≤1。设 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm 为线性变换，说明为什么 PPP 内一点在 TTT 下的像是在由 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 确定的平行四边形内。
解答：
- 设 xxx 是 PPP 中任意一点，则 xxx 可表示为：
x=au+bv,0≤a≤1,0≤b≤1 x = au + bv, \quad 0 \leq a \leq 1, \quad 0 \leq b \leq 1 x=au+bv,0≤a≤1,0≤b≤1
- 由于 TTT 是线性变换，满足线性性质：
T(x)=T(au+bv)=aT(u)+bT(v) T(x) = T(au + bv) = aT(u) + bT(v) T(x)=T(au+bv)=aT(u)+bT(v)
- 此时 aaa 和 bbb 仍满足 0≤a≤10 \leq a \leq 10≤a≤1，0≤b≤10 \leq b \leq 10≤b≤1，因此 T(x)T(x)T(x) 的形式与 PPP 中点的参数表示一致，只是将 uuu 和 vvv 替换为 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v)。
- 由定义，由 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 确定的平行四边形内所有点的集合为：
{aT(u)+bT(v)∣0≤a≤1, 0≤b≤1} \{ aT(u) + bT(v) \mid 0 \leq a \leq 1, \; 0 \leq b \leq 1 \} {aT(u)+bT(v)∣0≤a≤1,0≤b≤1}
- 因此，T(x)T(x)T(x) 显然属于该集合。
结论 ：
PPP 内任意一点在 TTT 下的像 aT(u)+bT(v)aT(u) + bT(v)aT(u)+bT(v) 满足 0≤a,b≤10 \leq a, b \leq 10≤a,b≤1，故位于由 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 确定的平行四边形内。
- 定义R→R为f(x)=mx+b\mathbb{R} \to \mathbb{R}为 f(x) = mx +bR→R为f(x)=mx+b
a. 证明当 b=0b = 0b=0 时，fff 是线性变换。
解答 ：
当 b=0b = 0b=0 时，f(x)=mxf(x) = mxf(x)=mx。对任意 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}x,y∈R 和标量 c,dc, dc,d，
f(cx+dy)=m(cx+dy)=mcx+mdy=c(mx)+d(my)=cf(x)+df(y) f(cx + dy) = m(cx + dy) = mcx + mdy = c(mx) + d(my) = cf(x) + df(y) f(cx+dy)=m(cx+dy)=mcx+mdy=c(mx)+d(my)=cf(x)+df(y)
这表明 fff 满足线性变换的定义。
结论 ：
当 b=0b = 0b=0 时，fff 是线性变换。
b. 求出线性变换的一个性质，使得当 b≠0b \neq 0b=0 时，fff 不满足该性质。
解答 ：
线性变换必须满足 T(0)=0T(0) = 0T(0)=0。当 b≠0b \neq 0b=0 时，
f(0)=m⋅0+b=b≠0 f(0) = m \cdot 0 + b = b \neq 0 f(0)=m⋅0+b=b=0
因此，fff 不满足线性变换的零向量映射性质。
结论 ：
当 b≠0b \neq 0b=0 时，f(0)≠0f(0) \neq 0f(0)=0，不满足线性变换的必要条件。
c. 为什么称 fff 为线性函数？
解答 ：
在微积分中，函数 f(x)=mx+bf(x) = mx + bf(x)=mx+b 被称为"线性函数"，因为其图像是一条直线。尽管当 b≠0b \neq 0b=0 时它不是线性变换（在向量空间意义下），但因其图形为直线，故保留"线性"这一名称。
结论 ：
因图像为直线，故称为线性函数。
- 仿射变换 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm 有形式 T(x)=Ax+bT(x) = Ax + bT(x)=Ax+b，AAA 为 m×nm \times nm×n 矩阵，bbb 属于 Rm\mathbb{R}^mRm，证明当 b≠0b \neq 0b=0 时，TTT 不是线性变换。
解答 ：
线性变换必须满足 T(0)=0T(0) = 0T(0)=0。当 b≠0b \neq 0b=0 时，
T(0)=A⋅0+b=b≠0 T(0) = A \cdot 0 + b = b \neq 0 T(0)=A⋅0+b=b=0
此外，验证标量乘法性质：
T(2x)=A(2x)+b=2Ax+b,2T(x)=2(Ax+b)=2Ax+2b T(2x) = A(2x) + b = 2Ax + b, \quad 2T(x) = 2(Ax + b) = 2Ax + 2b T(2x)=A(2x)+b=2Ax+b,2T(x)=2(Ax+b)=2Ax+2b
当 b≠0b \neq 0b=0 时，T(2x)≠2T(x)T(2x) \neq 2T(x)T(2x)=2T(x)，不满足线性变换的标量乘法保持性。
结论 ：
当 b≠0b \neq 0b=0 时，TTT 不是线性变换。
- 设 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm 为线性变换，设 {v1,v2,v3}\{v_1, v_2, v_3\}{v1,v2,v3} 为 Rn\mathbb{R}^nRn 中线性相关集，说明为什么集 {T(v1),T(v2),T(v3)}\{T(v_1), T(v_2), T(v_3)\}{T(v1),T(v2),T(v3)} 线性相关。
解答 ：
由于 {v1,v2,v3}\{v_1, v_2, v_3\}{v1,v2,v3} 是线性相关集，根据线性相关性的定义，存在不全为零的标量 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3c1,c2,c3 使得：
c1v1+c2v2+c3v3=0 c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0 c1v1+c2v2+c3v3=0
因为 TTT 是线性变换，满足以下性质：
- T(c1v1+c2v2+c3v3)=c1T(v1)+c2T(v2)+c3T(v3)T(c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3) = c_1T(v_1) + c_2T(v_2) + c_3T(v_3)T(c1v1+c2v2+c3v3)=c1T(v1)+c2T(v2)+c3T(v3)（线性性）
- T(0)=0T(0) = 0T(0)=0（线性变换将零向量映射为零向量）
将上述等式两边应用 TTT：
T(c1v1+c2v2+c3v3)=T(0) ⟹ c1T(v1)+c2T(v2)+c3T(v3)=0 T(c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3) = T(0) \implies c_1T(v_1) + c_2T(v_2) + c_3T(v_3) = 0 T(c1v1+c2v2+c3v3)=T(0)⟹c1T(v1)+c2T(v2)+c3T(v3)=0
由于 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3c1,c2,c3 不全为零，这表明 {T(v1),T(v2),T(v3)}\{T(v_1), T(v_2), T(v_3)\}{T(v1),T(v2),T(v3)} 存在一个非平凡的线性组合等于零向量。
结论 ：
根据线性相关集的定义，{T(v1),T(v2),T(v3)}\{T(v_1), T(v_2), T(v_3)\}{T(v1),T(v2),T(v3)} 是线性相关集。
- 证明由 T(x1,x2)=(4x1−2x2,3∣x1∣)T(x_1, x_2) = (4x_1 - 2x_2, 3|x_1|)T(x1,x2)=(4x1−2x2,3∣x1∣) 定义的变换 TTT 不是线性的。
解答 ：
线性变换需满足 T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)T(cu + dv) = cT(u) + dT(v)T(cu+dv)=cT(u)+dT(v) 对所有向量 u,vu, vu,v 和标量 c,dc, dc,d 成立。
取 u=[10]u = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}u=[10]，则 T(u)=[43]T(u) = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}T(u)=[43]。
考虑标量 c=−1c = -1c=−1：
T(−u)=T([−10])=[−43],−T(u)=−[43]=[−4−3] T(-u) = T\left(\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad -T(u) = -\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ -3 \end{bmatrix} T(−u)=T([−10])=[−43],−T(u)=−[43]=[−4−3]
由于 T(−u)≠−T(u)T(-u) \neq -T(u)T(−u)=−T(u)，标量乘法性质不成立。
结论 ：
TTT 不是线性变换。
- 证明由 T(x1,x2)=(2x1−3x2,x1+4,5x2)T(x_1, x_2) = (2x_1 - 3x_2, x_1 + 4, 5x_2)T(x1,x2)=(2x1−3x2,x1+4,5x2) 定义的变换 TTT 不是线性的。
解答 ：
线性变换必须满足 T(0)=0T(0) = 0T(0)=0。
计算 T(0,0)T(0, 0)T(0,0)：
T([00])=[040]≠[000] T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} T([00])= 040 = 000
余定义域中 T(0)≠0T(0) \neq 0T(0)=0，违反线性变换的基本性质。
结论 ：
TTT 不是线性变换。
- 设 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm 为线性变换。证明：若 TTT 把两个线性无关向量映射为线性相关集，则方程 T(x)=0T(x) = 0T(x)=0 有非平凡解。
解答 ：
设 u,v∈Rnu, v \in \mathbb{R}^nu,v∈Rn 线性无关，但 T(u),T(v)T(u), T(v)T(u),T(v) 线性相关。
由线性相关性，存在不全为零的标量 c1,c2c_1, c_2c1,c2 使得：
c1T(u)+c2T(v)=0 c_1T(u) + c_2T(v) = 0 c1T(u)+c2T(v)=0
由 TTT 的线性性：
T(c1u+c2v)=c1T(u)+c2T(v)=0 T(c_1u + c_2v) = c_1T(u) + c_2T(v) = 0 T(c1u+c2v)=c1T(u)+c2T(v)=0
由于 u,vu, vu,v 线性无关，c1u+c2v≠0c_1u + c_2v \neq 0c1u+c2v=0（否则 c1=c2=0c_1 = c_2 = 0c1=c2=0），故 x=c1u+c2vx = c_1u + c_2vx=c1u+c2v 是 T(x)=0T(x) = 0T(x)=0 的非平凡解。
结论 ：
方程 T(x)=0T(x) = 0T(x)=0 有非平凡解。
- 设 T:R3→R3T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3T:R3→R3 为一变换，它将向量 x=(x1,x2,x3)x = (x_1, x_2, x_3)x=(x1,x2,x3) 映射为关于平面 x3=0x_3 = 0x3=0 对称的点 T(x)=(x1,x2,−x3)T(x) = (x_1, x_2, -x_3)T(x)=(x1,x2,−x3)，证明 TTT 是一线性变换。
解答 ：
设 u=(u1,u2,u3)u = (u_1, u_2, u_3)u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3)v = (v_1, v_2, v_3)v=(v1,v2,v3)，标量 c,dc, dc,d。
计算 T(cu+dv)T(cu + dv)T(cu+dv)：
T(cu+dv)=T([cu1+dv1cu2+dv2cu3+dv3])=[cu1+dv1cu2+dv2−(cu3+dv3)] T(cu + dv) = T\left( \begin{bmatrix} cu_1 + dv_1 \\ cu_2 + dv_2 \\ cu_3 + dv_3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} cu_1 + dv_1 \\ cu_2 + dv_2 \\ -(cu_3 + dv_3) \end{bmatrix} T(cu+dv)=T cu1+dv1cu2+dv2cu3+dv3 = cu1+dv1cu2+dv2−(cu3+dv3)
计算 cT(u)+dT(v)cT(u) + dT(v)cT(u)+dT(v)：
cT(u)+dT(v)=c[u1u2−u3]+d[v1v2−v3]=[cu1+dv1cu2+dv2−cu3−dv3] cT(u) + dT(v) = c\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ -u_3 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cu_1 + dv_1 \\ cu_2 + dv_2 \\ -cu_3 - dv_3 \end{bmatrix} cT(u)+dT(v)=c u1u2−u3 +d v1v2−v3 = cu1+dv1cu2+dv2−cu3−dv3
两者相等，满足线性变换定义。
结论 ：
TTT 是线性变换。
- 设 T:R3→R3T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3T:R3→R3 为一变换，它将向量 x=(x1,x2,x3)x = (x_1, x_2, x_3)x=(x1,x2,x3) 映射到平面 x2=0x_2 = 0x2=0 上，即 T(x)=(x1,0,x3)T(x) = (x_1, 0, x_3)T(x)=(x1,0,x3)，证明 TTT 是一线性变换。
解答 ：
设 u=(u1,u2,u3)u = (u_1, u_2, u_3)u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3)v = (v_1, v_2, v_3)v=(v1,v2,v3)，标量 c,dc, dc,d。
计算 T(cu+dv)T(cu + dv)T(cu+dv)：
T(cu+dv)=T([cu1+dv1cu2+dv2cu3+dv3])=[cu1+dv10cu3+dv3] T(cu + dv) = T\left( \begin{bmatrix} cu_1 + dv_1 \\ cu_2 + dv_2 \\ cu_3 + dv_3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} cu_1 + dv_1 \\ 0 \\ cu_3 + dv_3 \end{bmatrix} T(cu+dv)=T cu1+dv1cu2+dv2cu3+dv3 = cu1+dv10cu3+dv3
计算 cT(u)+dT(v)cT(u) + dT(v)cT(u)+dT(v)：
cT(u)+dT(v)=c[u10u3]+d[v10v3]=[cu1+dv10cu3+dv3] cT(u) + dT(v) = c\begin{bmatrix} u_1 \\ 0 \\ u_3 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} v_1 \\ 0 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cu_1 + dv_1 \\ 0 \\ cu_3 + dv_3 \end{bmatrix} cT(u)+dT(v)=c u10u3 +d v10v3 = cu1+dv10cu3+dv3
两者相等，满足线性变换定义。
结论 ：
TTT 是线性变换。
!CAUTION
线性变换的定义与性质整理
一、线性变换的定义
设 T 是向量空间 V 到向量空间 W 的变换（或映射） 。若 T 满足以下两个条件，则称 T 为线性变换：
加法保持性
对 T 的定义域中任意两个向量 \\boldsymbol{u}, \\boldsymbol{v} ，有：
T(u+v)=T(u)+T(v)T(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = T(\boldsymbol{u}) + T(\boldsymbol{v})T(u+v)=T(u)+T(v)
含义：先将向量相加再变换，等价于先分别变换再相加。标量乘法保持性
对 T 的定义域中任意向量 \\boldsymbol{u} 和任意标量 c ，有：
T(cu)=cT(u)T(c\boldsymbol{u}) = cT(\boldsymbol{u})T(cu)=cT(u)
含义：先对标量乘向量再变换，等价于先变换再对标量乘结果。二、线性变换的性质
由上述定义可直接推出以下核心性质：
零向量的像为零向量
T(0)=0T(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0}T(0)=0
推导 ：令 \\boldsymbol{u} = \\boldsymbol{0} ，由标量乘法保持性：
T(0⋅u)=0⋅T(u) ⟹ T(0)=0T(0 \cdot \boldsymbol{u}) = 0 \cdot T(\boldsymbol{u}) \implies T(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0}T(0⋅u)=0⋅T(u)⟹T(0)=0线性组合的保持性
对定义域中任意向量 \\boldsymbol{u}, \\boldsymbol{v} 和任意标量 c, d ，有：
T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)T(c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v}) = cT(\boldsymbol{u}) + dT(\boldsymbol{v})T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)
推导 ：结合加法保持性与标量乘法保持性：
T(cu+dv)=T(cu)+T(dv)=cT(u)+dT(v)T(c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v}) = T(c\boldsymbol{u}) + T(d\boldsymbol{v}) = cT(\boldsymbol{u}) + dT(\boldsymbol{v})T(cu+dv)=T(cu)+T(dv)=cT(u)+dT(v)三、补充说明
- 矩阵变换是线性变换的特例 ：所有形如 T(\\boldsymbol{x}) = A\\boldsymbol{x} （（（ A 为矩阵）的变换都是线性变换，但线性变换不局限于矩阵变换（非矩阵变换的线性变换在后续章节讨论）。
- 核心本质 ：线性变换严格保持向量的加法与标量乘法运算，即变换与运算的顺序可交换。