剑指offer-48、不使⽤加减乘除实现加法

题⽬描述

写⼀个函数，求两个整数之和，要求在函数体内不得使⽤ + 、 - 、 * 、 / 四则运算符号。

示例1 输⼊：1,2 返回值：3

思路及解答

位运算迭代法（推荐）

将加法分解为「无进位和」+「进位值」，循环直到进位为0

位运算加法的数学原理：

异或运算 (^) ：实现无进位加法
- 0^0=0, 0^1=1, 1^0=1, 1^1=0（进位丢失）
与运算 (&) ：检测需要进位的位置
- 只有1&1=1，其他情况都为0
左移运算 (<<)：将进位值移到正确位置

java 复制代码

public class Solution {
    public int add(int a, int b) {
        // 循环直到进位为0
        while (b != 0) {
            // 计算无进位和：异或运算相当于无进位加法
            // 例如：5^3=6 (101^011=110)
            int sum = a ^ b;
            
            // 计算进位值：与运算后左移1位得到进位
            // 例如：(5&3)<<1=2 (101&011=001, 左移1位=010)
            int carry = (a & b) << 1;
            
            // 更新a为无进位和，b为进位值
            a = sum;
            b = carry;
            
            // 继续下一轮计算，直到进位为0
        }
        return a;
    }
}

时间复杂度：O(1) - 最多循环32次（整数位数）
空间复杂度：O(1) - 只使用常数空间

位运算递归法

将迭代过程转为递归调用，基础案例是进位为0

java 复制代码

public class Solution {
    public int add(int a, int b) {
        // 递归终止条件：当进位为0时，直接返回无进位和
        if (b == 0) {
            return a;
        }
        
        // 递归过程：计算无进位和与进位值，继续递归相加
        return add(a ^ b, (a & b) << 1);
    }
}

时间复杂度：O(1) - 递归深度最多32层
空间复杂度：O(1) - 但递归栈有深度限制

递归案例：

text 复制代码

add(2, 3)
  → add(2^3, (2&3)<<1) = add(1, 2)
    → add(1^2, (1&2)<<1) = add(3, 0)
      → b=0, 返回3
最终结果：5

投机取巧

java 复制代码

import java.util.concurrent.atomic.AtomicInteger;

public class Solution {
    // 方法1：使用内置的加法方法
    public int add1(int a, int b) {
        return Integer.sum(a, b); // 内部实现还是用+，不符合要求
    }
    
    // 方法2：使用AtomicInteger（实际开发中更不实用）
    public int add2(int a, int b) {
        AtomicInteger ai = new AtomicInteger(a);
        return ai.addAndGet(b); // 内部使用CAS操作
    }
    
    // 方法3：使用BigDecimal（过度设计）
    public int add3(int a, int b) {
        // 需要创建对象，性能较差
        return BigDecimal.valueOf(a)
                .add(BigDecimal.valueOf(b))
                .intValue();
    }
}