线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.8 线性变换介绍(1)

练习题

1. 设 T:R5→R2,T(x)=Ax,AT: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^2, T(x) = Ax, AT:R5→R2,T(x)=Ax,A 为某个矩阵，xxx 属于 R5\mathbb{R}^5R5，AAA 应有几行几列？

解答 ：

对于线性变换 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm，若 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，则矩阵 AAA 必须是 m×nm \times nm×n 矩阵。

这里定义域是 R5\mathbb{R}^5R5，所以 n=5n = 5n=5；余定义域是 R2\mathbb{R}^2R2，所以 m=2m = 2m=2。
AAA 必须有 5 列，才能与 R5\mathbb{R}^5R5 中的向量 xxx 相乘；
AAA 必须有 2 行，才能使结果 AxAxAx 属于 R2\mathbb{R}^2R2。

结论 ：
AAA 应有 2 行 5 列。

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2. 设 A=100−1A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}A=100−1，给出变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的几何解释。

解答 ：

考虑向量 x=x1x2x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}x=x1x2，则：
Ax=100−1x1x2=x1−x2Ax = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ -x_2 \end{bmatrix}Ax=100−1x1x2=x1−x2

这意味着变换保持 x1x_1x1 坐标不变，而将 x2x_2x2 坐标取反。

例如，点 (4,1)(4, 1)(4,1) 经过变换后变为 (4,−1)(4, -1)(4,−1)。

结论 ：

变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 把点映射为它关于 x1x_1x1 轴（或 xxx 轴）的对称点。

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3. 由 0 到向量 uuu 的线段是形如 tututu 的点的集合，其中 0≤t≤10 \leq t \leq 10≤t≤1。证明线性变换 TTT 把这个线段变为 0 到 T(u)T(u)T(u) 的线段。

解答 ：

设线段上的任意一点为 x=tux = tux=tu，其中 0≤t≤10 \leq t \leq 10≤t≤1。

由于 TTT 是线性变换，根据线性变换的性质：
T(tu)=tT(u)T(tu) = tT(u)T(tu)=tT(u)

当 ttt 从 0 变化到 1 时，tT(u)tT(u)tT(u) 从 000（当 t=0t = 0t=0 时）变化到 T(u)T(u)T(u)（当 t=1t = 1t=1 时）。

因此，T(x)T(x)T(x) 的集合是连接 000 和 T(u)T(u)T(u) 的线段。

结论 ：

线性变换 TTT 把由 0 到 uuu 的线段变为 0 到 T(u)T(u)T(u) 的线段。

习题1.8

1. 设 A=2002A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}A=2002，定义 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 为 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出 u=1−3u = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}u=1−3 与 v=abv = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}v=ab 在 TTT 下的像。

解答 ：

计算 T(u)=AuT(u) = AuT(u)=Au：
T(u)=20021−3=2⋅1+0⋅(−3)0⋅1+2⋅(−3)=2−6 T(u) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-3) \\ 0 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \end{bmatrix} T(u)=20021−3=2⋅1+0⋅(−3)0⋅1+2⋅(−3)=2−6

计算 T(v)=AvT(v) = AvT(v)=Av：
T(v)=2002ab=2a2b T(v) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a \\ 2b \end{bmatrix} T(v)=2002ab=2a2b

结论 ：
T(u)=2−6T(u) = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \end{bmatrix}T(u)=2−6，T(v)=2a2bT(v) = \begin{bmatrix} 2a \\ 2b \end{bmatrix}T(v)=2a2b

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2. 设 A=120001200012A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}A= 210002100021 , u=10−4u = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix}u= 10−4 , v=abcv = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}v= abc ，定义 T:R3→R3T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3T:R3→R3 为 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v)。

解答 ：

计算 T(u)=AuT(u) = AuT(u)=Au：
T(u)=12000120001210−4=12⋅112⋅012⋅(−4)=120−2 T(u) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} T(u)= 210002100021 10−4 = 21⋅121⋅021⋅(−4) = 210−2

计算 T(v)=AvT(v) = AvT(v)=Av：
T(v)=120001200012abc=12a12b12c T(v) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}a \\ \frac{1}{2}b \\ \frac{1}{2}c \end{bmatrix} T(v)= 210002100021 abc = 21a21b21c

结论 ：
T(u)=120−2T(u) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}T(u)= 210−2 ，T(v)=12a12b12cT(v) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}a \\ \frac{1}{2}b \\ \frac{1}{2}c \end{bmatrix}T(v)= 21a21b21c

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3. 设 A=10−2−2163−2−5A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -2 & 1 & 6 \\ 3 & -2 & -5 \end{bmatrix}A= 1−2301−2−26−5 , b=−17−3b = \begin{bmatrix} -1 \\ 7 \\ -3 \end{bmatrix}b= −17−3 ，定义 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出向量 xxx 使 T(x)=bT(x) = bT(x)=b，并判断 xxx 是否唯一。

解答 ：

增广矩阵 A∣b=10−2−1−21673−2−5−3A \\mid b = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 6 & 7 \\ 3 & -2 & -5 & -3 \end{bmatrix}A∣b= 1−2301−2−26−5−17−3

行变换过程：

1. R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1，R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1R3←R3−3R1：10−2−101250−210\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} 10001−2−221−150
2. R3←R3+2R2R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2R3←R3+2R2：10−2−1012500510\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{bmatrix} 100010−225−1510
3. R3←15R3R_3 \leftarrow \frac{1}{5}R_3R3←51R3：10−2−101250012\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} 100010−221−152
4. R1←R1+2R3R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3R1←R1+2R3，R2←R2−2R3R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3R2←R2−2R3：100301010012\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} 100010001312

结论 ：
x=312x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}x= 312 ，解唯一

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4. 设 A=1−3201−43−5−9A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -4 \\ 3 & -5 & -9 \end{bmatrix}A= 103−31−52−4−9 , b=6−7−9b = \begin{bmatrix} 6 \\ -7 \\ -9 \end{bmatrix}b= 6−7−9 ，定义 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出向量 xxx 使 T(x)=bT(x) = bT(x)=b，并判断 xxx 是否唯一。

解答 ：

增广矩阵 A∣b=1−32601−4−73−5−9−9A \\mid b = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 3 & -5 & -9 & -9 \end{bmatrix}A∣b= 103−31−52−4−96−7−9

行变换过程：

1. R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1R3←R3−3R1：1−32601−4−704−15−27\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 4 & -15 & -27 \end{bmatrix} 100−3142−4−156−7−27
2. R3←R3−4R2R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2R3←R3−4R2：1−32601−4−70011\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100−3102−416−71
3. R1←R1+3R2R_1 \leftarrow R_1 + 3R_2R1←R1+3R2：10−10−1501−4−70011\begin{bmatrix} 1 & 0 & -10 & -15 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100010−10−41−15−71
4. R1←R1+10R3R_1 \leftarrow R_1 + 10R_3R1←R1+10R3，R2←R2+4R3R_2 \leftarrow R_2 + 4R_3R2←R2+4R3：100−5010−30011\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100010001−5−31

结论 ：
x=−5−31x = \begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}x= −5−31 ，解唯一

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5. 设 A=1−5−7−375A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 \\ -3 & 7 & 5 \end{bmatrix}A=1−3−57−75, b=−2−2b = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}b=−2−2，定义 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出向量 xxx 使 T(x)=bT(x) = bT(x)=b，并判断 xxx 是否唯一。

解答 ：

增广矩阵 A∣b=1−5−7−2−375−2A \\mid b = \begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 & -2 \\ -3 & 7 & 5 & -2 \end{bmatrix}A∣b=1−3−57−75−2−2

行变换过程：

1. R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1：1−5−7−20−8−16−8\begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 & -2 \\ 0 & -8 & -16 & -8 \end{bmatrix}10−5−8−7−16−2−8
2. R2←−18R2R_2 \leftarrow -\frac{1}{8}R_2R2←−81R2：1−5−7−20121\begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}10−51−72−21
3. R1←R1+5R2R_1 \leftarrow R_1 + 5R_2R1←R1+5R2：10330121\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}10013231

对应方程组：
{x1+3x3=3x2+2x3=1  ⟹  {x1=3−3x3x2=1−2x3 \begin{cases} x_1 + 3x_3 = 3 \\ x_2 + 2x_3 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = 3 - 3x_3 \\ x_2 = 1 - 2x_3 \end{cases} {x1+3x3=3x2+2x3=1⟹{x1=3−3x3x2=1−2x3

其中 x3x_3x3 为自由变量。

结论 ：

通解为 x=310+x3−3−21x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}x= 310 +x3 −3−21 （x3x_3x3 为任意实数），解不唯一

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6. 设 A=1−213−45011−35−4A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & -4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 5 & -4 \end{bmatrix}A= 130−3−2−415151−4 , b=193−6b = \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix}b= 193−6 ，定义 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出向量 xxx 使 T(x)=bT(x) = bT(x)=b，并判断 xxx 是否唯一。

解答 ：

增广矩阵 A∣b=1−2113−4590113−35−4−6A \\mid b = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 3 & -4 & 5 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ -3 & 5 & -4 & -6 \end{bmatrix}A∣b= 130−3−2−415151−4193−6

行变换过程：

1. R2←R2−3R1R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1R2←R2−3R1，R4←R4+3R1R_4 \leftarrow R_4 + 3R_1R4←R4+3R1：1−211022601130−1−1−3\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \end{bmatrix} 1000−221−1121−1163−3
2. R2←12R2R_2 \leftarrow \frac{1}{2}R_2R2←21R2：1−211011301130−1−1−3\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \end{bmatrix} 1000−211−1111−1133−3
3. R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2R3←R3−R2，R4←R4+R2R_4 \leftarrow R_4 + R_2R4←R4+R2：1−211011300000000\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000−210011001300
4. R1←R1+2R2R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2R1←R1+2R2：1037011300000000\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000010031007300

对应方程组：
{x1+3x3=7x2+x3=3  ⟹  {x1=7−3x3x2=3−x3 \begin{cases} x_1 + 3x_3 = 7 \\ x_2 + x_3 = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = 7 - 3x_3 \\ x_2 = 3 - x_3 \end{cases} {x1+3x3=7x2+x3=3⟹{x1=7−3x3x2=3−x3

其中 x3x_3x3 为自由变量。

结论 ：

通解为 x=730+x3−3−11x = \begin{bmatrix} 7 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}x= 730 +x3 −3−11 （x3x_3x3 为任意实数），解不唯一

7. 设 AAA 是 6×56 \times 56×5 矩阵，为了定义 T:Ra→RbT: \mathbb{R}^a \to \mathbb{R}^bT:Ra→Rb, T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，aaa 与 bbb 应为多少？

解答 ：

对于线性变换 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，向量 xxx 必须属于 Rn\mathbb{R}^nRn，其中 nnn 是矩阵 AAA 的列数，因此定义域 Ra\mathbb{R}^aRa 要求 a=na = na=n。

这里 AAA 是 6×56 \times 56×5 矩阵，列数为 5，故 a=5a = 5a=5。

结果 AxAxAx 的维度等于 AAA 的行数，因此余定义域 Rb\mathbb{R}^bRb 要求 bbb 等于 AAA 的行数。
AAA 的行数为 6，故 b=6b = 6b=6。

结论 ：
a=5a = 5a=5，b=6b = 6b=6

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8. 为了定义从 R4\mathbb{R}^4R4 到 R5\mathbb{R}^5R5 的映射 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，矩阵 AAA 应有几行几列？

解答 ：

定义域为 R4\mathbb{R}^4R4，说明输入向量 xxx 有 4 个分量，因此矩阵 AAA 必须有 4 列才能与 xxx 相乘（即 AAA 的列数等于定义域的维度）。

余定义域为 R5\mathbb{R}^5R5，说明输出向量 AxAxAx 有 5 个分量，因此矩阵 AAA 必须有 5 行（即 AAA 的行数等于余定义域的维度）。

结论 ：
AAA 应有 5 行 4 列

9. 设 A=1−47−501−432−66−4A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 \\ 0 & 1 & -4 & 3 \\ 2 & -6 & 6 & -4 \end{bmatrix}A= 102−41−67−46−53−4 ，求出 R4\mathbb{R}^4R4 中的所有 xxx，它在变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 下映射为零向量。

解答 ：

增广矩阵 A∣0A \\mid 0A∣0 为：
1−47−5001−4302−66−40 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \\ 2 & -6 & 6 & -4 & 0 \end{bmatrix} 102−41−67−46−53−4000

行变换过程：

1. R3←R3−2R1R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1R3←R3−2R1：

1−47−5001−43002−860 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 6 & 0 \end{bmatrix} 100−4127−4−8−536000

2. R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2：

1−47−5001−43000000 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100−4107−40−530000

3. R1←R1+4R2R_1 \leftarrow R_1 + 4R_2R1←R1+4R2（化为行最简形）：

10−97001−43000000 \begin{bmatrix} 1 & 0 & -9 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100010−9−40730000

对应方程组：
{x1−9x3+7x4=0x2−4x3+3x4=0  ⟹  {x1=9x3−7x4x2=4x3−3x4 \begin{cases} x_1 - 9x_3 + 7x_4 = 0 \\ x_2 - 4x_3 + 3x_4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = 9x_3 - 7x_4 \\ x_2 = 4x_3 - 3x_4 \end{cases} {x1−9x3+7x4=0x2−4x3+3x4=0⟹{x1=9x3−7x4x2=4x3−3x4

其中 x3,x4x_3, x_4x3,x4 为自由变量。

结论 ：

所有解为 x=s9410+t−7−301x = s \begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -7 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x=s 9410 +t −7−301 ，其中 s,t∈Rs, t \in \mathbb{R}s,t∈R。

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10. 设 A=1392103−40123−2305A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 \\ 1 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & 0 & 5 \end{bmatrix}A= 110−2301393202−435 ，求出 R4\mathbb{R}^4R4 中的所有 xxx，它在变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 下映射为零向量。

解答 ：

增广矩阵 A∣0A \\mid 0A∣0 为：
13920103−4001230−23050 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} 110−2301393202−4350000

行变换过程：

1. R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1R2←R2−R1，R4←R4+2R1R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1R4←R4+2R1：

139200−3−6−6001230091890 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & -6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 9 & 18 & 9 & 0 \end{bmatrix} 10003−3199−62182−6390000

2. R2↔R3R_2 \leftrightarrow R_3R2↔R3：

13920012300−3−6−60091890 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & -6 & 0 \\ 0 & 9 & 18 & 9 & 0 \end{bmatrix} 100031−3992−61823−690000

3. R3←R3+3R2R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2R3←R3+3R2，R4←R4−9R2R_4 \leftarrow R_4 - 9R_2R4←R4−9R2：

139200123000030000−180 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -18 & 0 \end{bmatrix} 100031009200233−180000

4. R4←R4+6R3R_4 \leftarrow R_4 + 6R_3R4←R4+6R3，R3←13R3R_3 \leftarrow \frac{1}{3}R_3R3←31R3：

13920012300001000000 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 10003100920023100000

5. R1←R1−2R3R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3R1←R1−2R3，R2←R2−3R3R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3R2←R2−3R3，R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2：

10300012000001000000 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 10000100320000100000

对应方程组：
{x1+3x3=0x2+2x3=0x4=0  ⟹  {x1=−3x3x2=−2x3x4=0 \begin{cases} x_1 + 3x_3 = 0 \\ x_2 + 2x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = -3x_3 \\ x_2 = -2x_3 \\ x_4 = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+3x3=0x2+2x3=0x4=0⟹⎩ ⎨ ⎧x1=−3x3x2=−2x3x4=0

其中 x3x_3x3 为自由变量。

结论 ：

所有解为 x=x3−3−210x = x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}x=x3 −3−210 ，其中 x3∈Rx_3 \in \mathbb{R}x3∈R。

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11. 设 b=−110b = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}b= −110 ，AAA 为习题 9 中的矩阵，bbb 是否属于线性变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的值域？为什么？

解答 ：

考虑增广矩阵 A∣bA \\mid bA∣b：
1−47−5−101−4312−66−40 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ 2 & -6 & 6 & -4 & 0 \end{bmatrix} 102−41−67−46−53−4−110

行变换过程：

1. R3←R3−2R1R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1R3←R3−2R1：

1−47−5−101−43102−862 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & -8 & 6 & 2 \end{bmatrix} 100−4127−4−8−536−112

2. R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2：

1−47−5−101−43100000 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100−4107−40−530−110

系统一致（无矛盾方程），因此方程 Ax=bAx = bAx=b 有解。

结论 ：
bbb 属于线性变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的值域，因为方程 Ax=bAx = bAx=b 有解。

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12. 设 b=−13−14b = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}b= −13−14 ，AAA 为习题 10 中的矩阵，bbb 是否属于线性变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的值域？为什么？

解答 ：

考虑增广矩阵 A∣bA \\mid bA∣b：
1392−1103−430123−1−23054 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 3 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ -2 & 3 & 0 & 5 & 4 \end{bmatrix} 110−2301393202−435−13−14

行变换过程：

1. R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1R2←R2−R1，R4←R4+2R1R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1R4←R4+2R1：

1392−10−3−6−640123−1091892 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & -6 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & 9 & 18 & 9 & 2 \end{bmatrix} 10003−3199−62182−639−14−12

2. R2↔R3R_2 \leftrightarrow R_3R2↔R3：

1392−10123−10−3−6−64091892 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & -6 & 4 \\ 0 & 9 & 18 & 9 & 2 \end{bmatrix} 100031−3992−61823−69−1−142

3. R3←R3+3R2R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2R3←R3+3R2，R4←R4−9R2R_4 \leftarrow R_4 - 9R_2R4←R4−9R2：

1392−10123−100031000−1811 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -18 & 11 \end{bmatrix} 100031009200233−18−1−1111

4. R4←R4+6R3R_4 \leftarrow R_4 + 6R_3R4←R4+6R3：

1392−10123−100031000017 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 17 \end{bmatrix} 1000310092002330−1−1117

最后一行表示 0=170 = 170=17，这是一个矛盾，因此系统不一致。

结论 ：
bbb 不属于线性变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的值域，因为方程 Ax=bAx = bAx=b 无解。

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13. T(x)=−100−1x1x2T(x) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=−100−1x1x2，标出 u=52u = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}u=52 与 v=−24v = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}v=−24 及其在 TTT 下的像，并给出几何描述。

解答 ：

计算变换后的像：
T(u)=−100−152=−5−2,T(v)=−100−1−24=2−4 T(u) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -2 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix} T(u)=−100−152=−5−2,T(v)=−100−1−24=2−4

在坐标系中，uuu 与 T(u)T(u)T(u)、vvv 与 T(v)T(v)T(v) 分别关于原点对称。

结论 ：

变换 TTT 是关于原点的反射（或旋转 π\piπ 弧度的旋转变换）。

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14. T(x)=120012x1x2T(x) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=210021x1x2，标出 u=52u = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}u=52 与 v=−24v = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}v=−24 及其在 TTT 下的像，并给出几何描述。

解答 ：

计算变换后的像：
T(u)=12001252=521,T(v)=120012−24=−12 T(u) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} \\ 1 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} T(u)=21002152=251,T(v)=210021−24=−12

在坐标系中，T(u)T(u)T(u) 与 T(v)T(v)T(v) 分别是 uuu 与 vvv 按比例缩小至原长的 12\frac{1}{2}21。

结论 ：

变换 TTT 是以原点为中心、缩放因子为 12\frac{1}{2}21 的均匀收缩变换。

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15. T(x)=0001x1x2T(x) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=0001x1x2，标出 u=52u = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}u=52 与 v=−24v = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}v=−24 及其在 TTT 下的像，并给出几何描述。

解答 ：

计算变换后的像：
T(u)=000152=02,T(v)=0001−24=04 T(u) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix} T(u)=000152=02,T(v)=0001−24=04

在坐标系中，T(u)T(u)T(u) 与 T(v)T(v)T(v) 的 x1x_1x1 分量均为 0，仅保留 x2x_2x2 分量。

结论 ：

变换 TTT 是将向量投影到 x2x_2x2 轴上的正交投影变换。

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16. T(x)=0110x1x2T(x) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=0110x1x2，标出 u=52u = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}u=52 与 v=−24v = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}v=−24 及其在 TTT 下的像，并给出几何描述。

解答 ：

计算变换后的像：
T(u)=011052=25,T(v)=0110−24=4−2 T(u) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} T(u)=011052=25,T(v)=0110−24=4−2

在坐标系中，T(u)T(u)T(u) 与 T(v)T(v)T(v) 分别是 uuu 与 vvv 关于直线 x1=x2x_1 = x_2x1=x2 的对称点。

结论 ：

变换 TTT 是关于直线 x1=x2x_1 = x_2x1=x2 的反射变换。

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17. 设 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 是线性变换，把 u=52u = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}u=52 变为 21\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}21，把 v=13v = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}v=13 变为 −13\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}−13。利用 TTT 是线性变换的事实求出向量 3u3u3u, 2v2v2v, 3u+2v3u+2v3u+2v 在 TTT 下的像。

解答 ：

由于 TTT 是线性变换，满足 T(cu)=cT(u)T(cu) = cT(u)T(cu)=cT(u) 和 T(u+v)=T(u)+T(v)T(u+v) = T(u) + T(v)T(u+v)=T(u)+T(v)。

计算 T(3u)T(3u)T(3u)：
T(3u)=3T(u)=321=63T(3u) = 3T(u) = 3\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}T(3u)=3T(u)=321=63

计算 T(2v)T(2v)T(2v)：
T(2v)=2T(v)=2−13=−26T(2v) = 2T(v) = 2\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix}T(2v)=2T(v)=2−13=−26

计算 T(3u+2v)T(3u+2v)T(3u+2v)：
T(3u+2v)=T(3u)+T(2v)=63+−26=49T(3u+2v) = T(3u) + T(2v) = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}T(3u+2v)=T(3u)+T(2v)=63+−26=49

结论 ：
T(3u)=63T(3u) = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}T(3u)=63，T(2v)=−26T(2v) = \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix}T(2v)=−26，T(3u+2v)=49T(3u+2v) = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}T(3u+2v)=49

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18. 下图给出向量 u,v,wu, v, wu,v,w 以及在线性变换 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 的作用下 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 的像。画出 T(w)T(w)T(w) 的像。（提示：首先将 www 写成 uuu 和 vvv 的线性组合。）

解答 ：

通过几何方法，画一条过 www 且平行于 vvv 的直线，以及一条过 www 且平行于 uuu 的直线，可估计 w=u+2vw = u + 2vw=u+2v。

由于 TTT 是线性变换，有 T(w)=T(u+2v)=T(u)+2T(v)T(w) = T(u + 2v) = T(u) + 2T(v)T(w)=T(u+2v)=T(u)+2T(v)。

在图像中定位 T(u)T(u)T(u) 和 2T(v)2T(v)2T(v)，并构造平行四边形来确定 T(w)T(w)T(w) 的位置。

结论 ：
T(w)T(w)T(w) 可通过构造以 T(u)T(u)T(u) 和 2T(v)2T(v)2T(v) 为邻边的平行四边形的对角线来确定。

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19. 设 e1=10e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}e1=10, e2=01e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}e2=01, y1=25y_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}y1=25, y2=−16y_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix}y2=−16; T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 是线性变换，把 e1e_1e1 变为 y1y_1y1，把 e2e_2e2 变为 y2y_2y2。求 5−3\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}5−3 和 x1x2\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}x1x2 的像。

解答 ：

首先，将 5−3\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}5−3 表示为 e1e_1e1 和 e2e_2e2 的线性组合：
5−3=5e1−3e2\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix} = 5e_1 - 3e_25−3=5e1−3e2

利用线性变换的性质：
T(5−3)=T(5e1−3e2)=5T(e1)−3T(e2)=5y1−3y2T\left(\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}\right) = T(5e_1 - 3e_2) = 5T(e_1) - 3T(e_2) = 5y_1 - 3y_2T(5−3)=T(5e1−3e2)=5T(e1)−3T(e2)=5y1−3y2
=525−3−16=10+325−18=137= 5\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10+3 \\ 25-18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 7 \end{bmatrix}=525−3−16=10+325−18=137

对于一般向量 x1x2\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}x1x2：
x1x2=x1e1+x2e2\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1e_1 + x_2e_2x1x2=x1e1+x2e2
T(x1x2)=T(x1e1+x2e2)=x1T(e1)+x2T(e2)=x1y1+x2y2T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = T(x_1e_1 + x_2e_2) = x_1T(e_1) + x_2T(e_2) = x_1y_1 + x_2y_2T(x1x2)=T(x1e1+x2e2)=x1T(e1)+x2T(e2)=x1y1+x2y2
=x125+x2−16=2x1−x25x1+6x2= x_1\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 - x_2 \\ 5x_1 + 6x_2 \end{bmatrix}=x125+x2−16=2x1−x25x1+6x2

结论 ：
T(5−3)=137T\left(\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 13 \\ 7 \end{bmatrix}T(5−3)=137，T(x1x2)=2x1−x25x1+6x2T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2x_1 - x_2 \\ 5x_1 + 6x_2 \end{bmatrix}T(x1x2)=2x1−x25x1+6x2