练习题
- 设 T:R5→R2,T(x)=Ax,AT: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^2, T(x) = Ax, AT:R5→R2,T(x)=Ax,A 为某个矩阵，xxx 属于 R5\mathbb{R}^5R5，AAA 应有几行几列？
解答 ：
对于线性变换 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm，若 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，则矩阵 AAA 必须是 m×nm \times nm×n 矩阵。
这里定义域是 R5\mathbb{R}^5R5，所以 n=5n = 5n=5；余定义域是 R2\mathbb{R}^2R2，所以 m=2m = 2m=2。
AAA 必须有 5 列，才能与 R5\mathbb{R}^5R5 中的向量 xxx 相乘；
AAA 必须有 2 行，才能使结果 AxAxAx 属于 R2\mathbb{R}^2R2。
结论 ：
AAA 应有 2 行 5 列。
- 设 A=[100−1]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}A=[100−1]，给出变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 的几何解释。
解答 ：
考虑向量 x=[x1x2]x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}x=[x1x2]，则：
Ax=[100−1][x1x2]=[x1−x2]Ax = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ -x_2 \end{bmatrix}Ax=[100−1][x1x2]=[x1−x2]
这意味着变换保持 x1x_1x1 坐标不变，而将 x2x_2x2 坐标取反。
例如，点 (4,1)(4, 1)(4,1) 经过变换后变为 (4,−1)(4, -1)(4,−1)。
结论 ：
变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 把点映射为它关于 x1x_1x1 轴（或 xxx 轴）的对称点。
- 由 0 到向量 uuu 的线段是形如 tututu 的点的集合，其中 0≤t≤10 \leq t \leq 10≤t≤1。证明线性变换 TTT 把这个线段变为 0 到 T(u)T(u)T(u) 的线段。
解答 ：
设线段上的任意一点为 x=tux = tux=tu，其中 0≤t≤10 \leq t \leq 10≤t≤1。
由于 TTT 是线性变换，根据线性变换的性质：
T(tu)=tT(u)T(tu) = tT(u)T(tu)=tT(u)
当 ttt 从 0 变化到 1 时，tT(u)tT(u)tT(u) 从 000（当 t=0t = 0t=0 时）变化到 T(u)T(u)T(u)（当 t=1t = 1t=1 时）。
因此，T(x)T(x)T(x) 的集合是连接 000 和 T(u)T(u)T(u) 的线段。
结论 ：
线性变换 TTT 把由 0 到 uuu 的线段变为 0 到 T(u)T(u)T(u) 的线段。
习题1.8
- 设 A=[2002]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}A=[2002]，定义 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 为 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出 u=[1−3]u = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}u=[1−3] 与 v=[ab]v = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}v=[ab] 在 TTT 下的像。
解答 ：
计算 T(u)=AuT(u) = AuT(u)=Au：
T(u)=[2002][1−3]=[2⋅1+0⋅(−3)0⋅1+2⋅(−3)]=[2−6] T(u) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-3) \\ 0 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \end{bmatrix} T(u)=[2002][1−3]=[2⋅1+0⋅(−3)0⋅1+2⋅(−3)]=[2−6]
计算 T(v)=AvT(v) = AvT(v)=Av：
T(v)=[2002][ab]=[2a2b] T(v) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a \\ 2b \end{bmatrix} T(v)=[2002][ab]=[2a2b]
结论 ：
T(u)=[2−6]T(u) = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \end{bmatrix}T(u)=[2−6]，T(v)=[2a2b]T(v) = \begin{bmatrix} 2a \\ 2b \end{bmatrix}T(v)=[2a2b]
- 设 A=[120001200012]A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}A= 210002100021 , u=[10−4]u = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix}u= 10−4 , v=[abc]v = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}v= abc ，定义 T:R3→R3T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3T:R3→R3 为 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v)。
解答 ：
计算 T(u)=AuT(u) = AuT(u)=Au：
T(u)=[120001200012][10−4]=[12⋅112⋅012⋅(−4)]=[120−2] T(u) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} T(u)= 210002100021 10−4 = 21⋅121⋅021⋅(−4) = 210−2
计算 T(v)=AvT(v) = AvT(v)=Av：
T(v)=[120001200012][abc]=[12a12b12c] T(v) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}a \\ \frac{1}{2}b \\ \frac{1}{2}c \end{bmatrix} T(v)= 210002100021 abc = 21a21b21c
结论 ：
T(u)=[120−2]T(u) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}T(u)= 210−2 ，T(v)=[12a12b12c]T(v) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}a \\ \frac{1}{2}b \\ \frac{1}{2}c \end{bmatrix}T(v)= 21a21b21c
- 设 A=[10−2−2163−2−5]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -2 & 1 & 6 \\ 3 & -2 & -5 \end{bmatrix}A= 1−2301−2−26−5 , b=[−17−3]b = \begin{bmatrix} -1 \\ 7 \\ -3 \end{bmatrix}b= −17−3 ，定义 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出向量 xxx 使 T(x)=bT(x) = bT(x)=b，并判断 xxx 是否唯一。
解答 ：
增广矩阵 [A∣b]=[10−2−1−21673−2−5−3][A \mid b] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 6 & 7 \\ 3 & -2 & -5 & -3 \end{bmatrix}[A∣b]= 1−2301−2−26−5−17−3
行变换过程：
- R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1，R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1R3←R3−3R1：[10−2−101250−210]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} 10001−2−221−150
- R3←R3+2R2R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2R3←R3+2R2：[10−2−1012500510]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{bmatrix} 100010−225−1510
- R3←15R3R_3 \leftarrow \frac{1}{5}R_3R3←51R3：[10−2−101250012]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} 100010−221−152
- R1←R1+2R3R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3R1←R1+2R3，R2←R2−2R3R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3R2←R2−2R3：[100301010012]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} 100010001312
结论 ：
x=[312]x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}x= 312 ，解唯一
- 设 A=[1−3201−43−5−9]A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -4 \\ 3 & -5 & -9 \end{bmatrix}A= 103−31−52−4−9 , b=[6−7−9]b = \begin{bmatrix} 6 \\ -7 \\ -9 \end{bmatrix}b= 6−7−9 ，定义 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出向量 xxx 使 T(x)=bT(x) = bT(x)=b，并判断 xxx 是否唯一。
解答 ：
增广矩阵 [A∣b]=[1−32601−4−73−5−9−9][A \mid b] = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 3 & -5 & -9 & -9 \end{bmatrix}[A∣b]= 103−31−52−4−96−7−9
行变换过程：
- R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1R3←R3−3R1：[1−32601−4−704−15−27]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 4 & -15 & -27 \end{bmatrix} 100−3142−4−156−7−27
- R3←R3−4R2R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2R3←R3−4R2：[1−32601−4−70011]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100−3102−416−71
- R1←R1+3R2R_1 \leftarrow R_1 + 3R_2R1←R1+3R2：[10−10−1501−4−70011]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -10 & -15 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100010−10−41−15−71
- R1←R1+10R3R_1 \leftarrow R_1 + 10R_3R1←R1+10R3，R2←R2+4R3R_2 \leftarrow R_2 + 4R_3R2←R2+4R3：[100−5010−30011]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100010001−5−31
结论 ：
x=[−5−31]x = \begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}x= −5−31 ，解唯一
- 设 A=[1−5−7−375]A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 \\ -3 & 7 & 5 \end{bmatrix}A=[1−3−57−75], b=[−2−2]b = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}b=[−2−2]，定义 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出向量 xxx 使 T(x)=bT(x) = bT(x)=b，并判断 xxx 是否唯一。
解答 ：
增广矩阵 [A∣b]=[1−5−7−2−375−2][A \mid b] = \begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 & -2 \\ -3 & 7 & 5 & -2 \end{bmatrix}[A∣b]=[1−3−57−75−2−2]
行变换过程：
- R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1：[1−5−7−20−8−16−8]\begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 & -2 \\ 0 & -8 & -16 & -8 \end{bmatrix}[10−5−8−7−16−2−8]
- R2←−18R2R_2 \leftarrow -\frac{1}{8}R_2R2←−81R2：[1−5−7−20121]\begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}[10−51−72−21]
- R1←R1+5R2R_1 \leftarrow R_1 + 5R_2R1←R1+5R2：[10330121]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}[10013231]
对应方程组：
{x1+3x3=3x2+2x3=1 ⟹ {x1=3−3x3x2=1−2x3 \begin{cases} x_1 + 3x_3 = 3 \\ x_2 + 2x_3 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = 3 - 3x_3 \\ x_2 = 1 - 2x_3 \end{cases} {x1+3x3=3x2+2x3=1⟹{x1=3−3x3x2=1−2x3
其中 x3x_3x3 为自由变量。
结论 ：
通解为 x=[310]+x3[−3−21]x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}x= 310 +x3 −3−21 （x3x_3x3 为任意实数），解不唯一
- 设 A=[1−213−45011−35−4]A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & -4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 5 & -4 \end{bmatrix}A= 130−3−2−415151−4 , b=[193−6]b = \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix}b= 193−6 ，定义 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，求出向量 xxx 使 T(x)=bT(x) = bT(x)=b，并判断 xxx 是否唯一。
解答 ：
增广矩阵 [A∣b]=[1−2113−4590113−35−4−6][A \mid b] = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 3 & -4 & 5 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ -3 & 5 & -4 & -6 \end{bmatrix}[A∣b]= 130−3−2−415151−4193−6
行变换过程：
- R2←R2−3R1R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1R2←R2−3R1，R4←R4+3R1R_4 \leftarrow R_4 + 3R_1R4←R4+3R1：[1−211022601130−1−1−3]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \end{bmatrix} 1000−221−1121−1163−3
- R2←12R2R_2 \leftarrow \frac{1}{2}R_2R2←21R2：[1−211011301130−1−1−3]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \end{bmatrix} 1000−211−1111−1133−3
- R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2R3←R3−R2，R4←R4+R2R_4 \leftarrow R_4 + R_2R4←R4+R2：[1−211011300000000]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000−210011001300
- R1←R1+2R2R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2R1←R1+2R2：[1037011300000000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000010031007300
对应方程组：
{x1+3x3=7x2+x3=3 ⟹ {x1=7−3x3x2=3−x3 \begin{cases} x_1 + 3x_3 = 7 \\ x_2 + x_3 = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = 7 - 3x_3 \\ x_2 = 3 - x_3 \end{cases} {x1+3x3=7x2+x3=3⟹{x1=7−3x3x2=3−x3
其中 x3x_3x3 为自由变量。
结论 ：
通解为 x=[730]+x3[−3−11]x = \begin{bmatrix} 7 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}x= 730 +x3 −3−11 （x3x_3x3 为任意实数），解不唯一
- 设 AAA 是 6×56 \times 56×5 矩阵，为了定义 T:Ra→RbT: \mathbb{R}^a \to \mathbb{R}^bT:Ra→Rb, T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，aaa 与 bbb 应为多少？
解答 ：
对于线性变换 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，向量 xxx 必须属于 Rn\mathbb{R}^nRn，其中 nnn 是矩阵 AAA 的列数，因此定义域 Ra\mathbb{R}^aRa 要求 a=na = na=n。
这里 AAA 是 6×56 \times 56×5 矩阵，列数为 5，故 a=5a = 5a=5。
结果 AxAxAx 的维度等于 AAA 的行数，因此余定义域 Rb\mathbb{R}^bRb 要求 bbb 等于 AAA 的行数。
AAA 的行数为 6，故 b=6b = 6b=6。
结论 ：
a=5a = 5a=5，b=6b = 6b=6
- 为了定义从 R4\mathbb{R}^4R4 到 R5\mathbb{R}^5R5 的映射 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，矩阵 AAA 应有几行几列？
解答 ：
定义域为 R4\mathbb{R}^4R4，说明输入向量 xxx 有 4 个分量，因此矩阵 AAA 必须有 4 列才能与 xxx 相乘（即 AAA 的列数等于定义域的维度）。
余定义域为 R5\mathbb{R}^5R5，说明输出向量 AxAxAx 有 5 个分量，因此矩阵 AAA 必须有 5 行（即 AAA 的行数等于余定义域的维度）。
结论 ：
AAA 应有 5 行 4 列
- 设 A=[1−47−501−432−66−4]A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 \\ 0 & 1 & -4 & 3 \\ 2 & -6 & 6 & -4 \end{bmatrix}A= 102−41−67−46−53−4 ，求出 R4\mathbb{R}^4R4 中的所有 xxx，它在变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 下映射为零向量。
解答 ：
增广矩阵 [A∣0][A \mid 0][A∣0] 为：
1−47−5001−4302−66−40\] \\begin{bmatrix} 1 \& -4 \& 7 \& -5 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \& 0 \\\\ 2 \& -6 \& 6 \& -4 \& 0 \\end{bmatrix} 102−41−67−46−53−4000 行变换过程： 1. R3←R3−2R1R_3 \\leftarrow R_3 - 2R_1R3←R3−2R1： \[1−47−5001−43002−860\] \\begin{bmatrix} 1 \& -4 \& 7 \& -5 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& -8 \& 6 \& 0 \\end{bmatrix} 100−4127−4−8−536000 2. R3←R3−2R2R_3 \\leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2： \[1−47−5001−43000000\] \\begin{bmatrix} 1 \& -4 \& 7 \& -5 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100−4107−40−530000 3. R1←R1+4R2R_1 \\leftarrow R_1 + 4R_2R1←R1+4R2（化为行最简形）： \[10−97001−43000000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& -9 \& 7 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100010−9−40730000 对应方程组： {x1−9x3+7x4=0x2−4x3+3x4=0 ⟹ {x1=9x3−7x4x2=4x3−3x4 \\begin{cases} x_1 - 9x_3 + 7x_4 = 0 \\\\ x_2 - 4x_3 + 3x_4 = 0 \\end{cases} \\implies \\begin{cases} x_1 = 9x_3 - 7x_4 \\\\ x_2 = 4x_3 - 3x_4 \\end{cases} {x1−9x3+7x4=0x2−4x3+3x4=0⟹{x1=9x3−7x4x2=4x3−3x4 其中 x3,x4x_3, x_4x3,x4 为自由变量。 **结论** ： 所有解为 x=s\[9410\]+t\[−7−301\]x = s \\begin{bmatrix} 9 \\\\ 4 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + t \\begin{bmatrix} -7 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}x=s 9410 +t −7−301 ，其中 s,t∈Rs, t \\in \\mathbb{R}s,t∈R。 *** ** * ** *** > 10. 设 A=\[1392103−40123−2305\]A = \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \\\\ 1 \& 0 \& 3 \& -4 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \\\\ -2 \& 3 \& 0 \& 5 \\end{bmatrix}A= 110−2301393202−435 ，求出 R4\\mathbb{R}\^4R4 中的所有 xxx，它在变换 x↦Axx \\mapsto Axx↦Ax 下映射为零向量。 **解答** ： 增广矩阵 \[A∣0\]\[A \\mid 0\]\[A∣0\] 为： \[13920103−4001230−23050\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& 0 \\\\ 1 \& 0 \& 3 \& -4 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& 0 \\\\ -2 \& 3 \& 0 \& 5 \& 0 \\end{bmatrix} 110−2301393202−4350000 行变换过程： 1. R2←R2−R1R_2 \\leftarrow R_2 - R_1R2←R2−R1，R4←R4+2R1R_4 \\leftarrow R_4 + 2R_1R4←R4+2R1： \[139200−3−6−6001230091890\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& -3 \& -6 \& -6 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& 9 \& 18 \& 9 \& 0 \\end{bmatrix} 10003−3199−62182−6390000 2. R2↔R3R_2 \\leftrightarrow R_3R2↔R3： \[13920012300−3−6−60091890\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& -3 \& -6 \& -6 \& 0 \\\\ 0 \& 9 \& 18 \& 9 \& 0 \\end{bmatrix} 100031−3992−61823−690000 3. R3←R3+3R2R_3 \\leftarrow R_3 + 3R_2R3←R3+3R2，R4←R4−9R2R_4 \\leftarrow R_4 - 9R_2R4←R4−9R2： \[139200123000030000−180\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& -18 \& 0 \\end{bmatrix} 100031009200233−180000 4. R4←R4+6R3R_4 \\leftarrow R_4 + 6R_3R4←R4+6R3，R3←13R3R_3 \\leftarrow \\frac{1}{3}R_3R3←31R3： \[13920012300001000000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 10003100920023100000 5. R1←R1−2R3R_1 \\leftarrow R_1 - 2R_3R1←R1−2R3，R2←R2−3R3R_2 \\leftarrow R_2 - 3R_3R2←R2−3R3，R1←R1−3R2R_1 \\leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2： \[10300012000001000000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 3 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 10000100320000100000 对应方程组： {x1+3x3=0x2+2x3=0x4=0 ⟹ {x1=−3x3x2=−2x3x4=0 \\begin{cases} x_1 + 3x_3 = 0 \\\\ x_2 + 2x_3 = 0 \\\\ x_4 = 0 \\end{cases} \\implies \\begin{cases} x_1 = -3x_3 \\\\ x_2 = -2x_3 \\\\ x_4 = 0 \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+3x3=0x2+2x3=0x4=0⟹⎩ ⎨ ⎧x1=−3x3x2=−2x3x4=0 其中 x3x_3x3 为自由变量。 **结论** ： 所有解为 x=x3\[−3−210\]x = x_3 \\begin{bmatrix} -3 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}x=x3 −3−210 ，其中 x3∈Rx_3 \\in \\mathbb{R}x3∈R。 *** ** * ** *** > 11. 设 b=\[−110\]b = \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}b= −110 ，AAA 为习题 9 中的矩阵，bbb 是否属于线性变换 x↦Axx \\mapsto Axx↦Ax 的值域？为什么？ **解答** ： 考虑增广矩阵 \[A∣b\]\[A \\mid b\]\[A∣b\]： \[1−47−5−101−4312−66−40\] \\begin{bmatrix} 1 \& -4 \& 7 \& -5 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \& 1 \\\\ 2 \& -6 \& 6 \& -4 \& 0 \\end{bmatrix} 102−41−67−46−53−4−110 行变换过程： 1. R3←R3−2R1R_3 \\leftarrow R_3 - 2R_1R3←R3−2R1： \[1−47−5−101−43102−862\] \\begin{bmatrix} 1 \& -4 \& 7 \& -5 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \& 1 \\\\ 0 \& 2 \& -8 \& 6 \& 2 \\end{bmatrix} 100−4127−4−8−536−112 2. R3←R3−2R2R_3 \\leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2： \[1−47−5−101−43100000\] \\begin{bmatrix} 1 \& -4 \& 7 \& -5 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 3 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100−4107−40−530−110 系统一致（无矛盾方程），因此方程 Ax=bAx = bAx=b 有解。 **结论** ： bbb 属于线性变换 x↦Axx \\mapsto Axx↦Ax 的值域，因为方程 Ax=bAx = bAx=b 有解。 *** ** * ** *** > 12. 设 b=\[−13−14\]b = \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ 4 \\end{bmatrix}b= −13−14 ，AAA 为习题 10 中的矩阵，bbb 是否属于线性变换 x↦Axx \\mapsto Axx↦Ax 的值域？为什么？ **解答** ： 考虑增广矩阵 \[A∣b\]\[A \\mid b\]\[A∣b\]： \[1392−1103−430123−1−23054\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& -1 \\\\ 1 \& 0 \& 3 \& -4 \& 3 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& -1 \\\\ -2 \& 3 \& 0 \& 5 \& 4 \\end{bmatrix} 110−2301393202−435−13−14 行变换过程： 1. R2←R2−R1R_2 \\leftarrow R_2 - R_1R2←R2−R1，R4←R4+2R1R_4 \\leftarrow R_4 + 2R_1R4←R4+2R1： \[1392−10−3−6−640123−1091892\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& -1 \\\\ 0 \& -3 \& -6 \& -6 \& 4 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& -1 \\\\ 0 \& 9 \& 18 \& 9 \& 2 \\end{bmatrix} 10003−3199−62182−639−14−12 2. R2↔R3R_2 \\leftrightarrow R_3R2↔R3： \[1392−10123−10−3−6−64091892\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& -1 \\\\ 0 \& -3 \& -6 \& -6 \& 4 \\\\ 0 \& 9 \& 18 \& 9 \& 2 \\end{bmatrix} 100031−3992−61823−69−1−142 3. R3←R3+3R2R_3 \\leftarrow R_3 + 3R_2R3←R3+3R2，R4←R4−9R2R_4 \\leftarrow R_4 - 9R_2R4←R4−9R2： \[1392−10123−100031000−1811\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& -1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 3 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& -18 \& 11 \\end{bmatrix} 100031009200233−18−1−1111 4. R4←R4+6R3R_4 \\leftarrow R_4 + 6R_3R4←R4+6R3： \[1392−10123−100031000017\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 9 \& 2 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \& -1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 3 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 17 \\end{bmatrix} 1000310092002330−1−1117 最后一行表示 0=170 = 170=17，这是一个矛盾，因此系统不一致。 **结论** ： bbb 不属于线性变换 x↦Axx \\mapsto Axx↦Ax 的值域，因为方程 Ax=bAx = bAx=b 无解。 *** ** * ** *** > 13. T(x)=\[−100−1\]\[x1x2\]T(x) = \\begin{bmatrix} -1 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix}T(x)=\[−100−1\]\[x1x2\]，标出 u=\[52\]u = \\begin{bmatrix} 5 \\\\ 2 \\end{bmatrix}u=\[52\] 与 v=\[−24\]v = \\begin{bmatrix} -2 \\\\ 4 \\end{bmatrix}v=\[−24\] 及其在 TTT 下的像，并给出几何描述。 **解答** ： 计算变换后的像： T(u)=\[−100−1\]\[52\]=\[−5−2\],T(v)=\[−100−1\]\[−24\]=\[2−4\] T(u) = \\begin{bmatrix} -1 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 5 \\\\ 2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -5 \\\\ -2 \\end{bmatrix}, \\quad T(v) = \\begin{bmatrix} -1 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -2 \\\\ 4 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2 \\\\ -4 \\end{bmatrix} T(u)=\[−100−1\]\[52\]=\[−5−2\],T(v)=\[−100−1\]\[−24\]=\[2−4
在坐标系中，uuu 与 T(u)T(u)T(u)、vvv 与 T(v)T(v)T(v) 分别关于原点对称。
结论 ：
变换 TTT 是关于原点的反射（或旋转 π\piπ 弧度的旋转变换）。
- T(x)=[120012][x1x2]T(x) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=[210021][x1x2]，标出 u=[52]u = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}u=[52] 与 v=[−24]v = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}v=[−24] 及其在 TTT 下的像，并给出几何描述。
解答 ：
计算变换后的像：
T(u)=[120012][52]=[521],T(v)=[120012][−24]=[−12] T(u) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} \\ 1 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} T(u)=[210021][52]=[251],T(v)=[210021][−24]=[−12]
在坐标系中，T(u)T(u)T(u) 与 T(v)T(v)T(v) 分别是 uuu 与 vvv 按比例缩小至原长的 12\frac{1}{2}21。
结论 ：
变换 TTT 是以原点为中心、缩放因子为 12\frac{1}{2}21 的均匀收缩变换。
- T(x)=[0001][x1x2]T(x) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=[0001][x1x2]，标出 u=[52]u = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}u=[52] 与 v=[−24]v = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}v=[−24] 及其在 TTT 下的像，并给出几何描述。
解答 ：
计算变换后的像：
T(u)=[0001][52]=[02],T(v)=[0001][−24]=[04] T(u) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix} T(u)=[0001][52]=[02],T(v)=[0001][−24]=[04]
在坐标系中，T(u)T(u)T(u) 与 T(v)T(v)T(v) 的 x1x_1x1 分量均为 0，仅保留 x2x_2x2 分量。
结论 ：
变换 TTT 是将向量投影到 x2x_2x2 轴上的正交投影变换。
- T(x)=[0110][x1x2]T(x) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=[0110][x1x2]，标出 u=[52]u = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}u=[52] 与 v=[−24]v = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}v=[−24] 及其在 TTT 下的像，并给出几何描述。
解答 ：
计算变换后的像：
T(u)=[0110][52]=[25],T(v)=[0110][−24]=[4−2] T(u) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} T(u)=[0110][52]=[25],T(v)=[0110][−24]=[4−2]
在坐标系中，T(u)T(u)T(u) 与 T(v)T(v)T(v) 分别是 uuu 与 vvv 关于直线 x1=x2x_1 = x_2x1=x2 的对称点。
结论 ：
变换 TTT 是关于直线 x1=x2x_1 = x_2x1=x2 的反射变换。
- 设 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 是线性变换，把 u=[52]u = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}u=[52] 变为 [21]\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}[21]，把 v=[13]v = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}v=[13] 变为 [−13]\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}[−13]。利用 TTT 是线性变换的事实求出向量 3u3u3u, 2v2v2v, 3u+2v3u+2v3u+2v 在 TTT 下的像。
解答 ：
由于 TTT 是线性变换，满足 T(cu)=cT(u)T(cu) = cT(u)T(cu)=cT(u) 和 T(u+v)=T(u)+T(v)T(u+v) = T(u) + T(v)T(u+v)=T(u)+T(v)。
计算 T(3u)T(3u)T(3u)：
T(3u)=3T(u)=3[21]=[63]T(3u) = 3T(u) = 3\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}T(3u)=3T(u)=3[21]=[63]
计算 T(2v)T(2v)T(2v)：
T(2v)=2T(v)=2[−13]=[−26]T(2v) = 2T(v) = 2\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix}T(2v)=2T(v)=2[−13]=[−26]
计算 T(3u+2v)T(3u+2v)T(3u+2v)：
T(3u+2v)=T(3u)+T(2v)=[63]+[−26]=[49]T(3u+2v) = T(3u) + T(2v) = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}T(3u+2v)=T(3u)+T(2v)=[63]+[−26]=[49]
结论 ：
T(3u)=[63]T(3u) = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}T(3u)=[63]，T(2v)=[−26]T(2v) = \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix}T(2v)=[−26]，T(3u+2v)=[49]T(3u+2v) = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}T(3u+2v)=[49]
- 下图给出向量 u,v,wu, v, wu,v,w 以及在线性变换 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 的作用下 T(u)T(u)T(u) 和 T(v)T(v)T(v) 的像。画出 T(w)T(w)T(w) 的像。（提示：首先将 www 写成 uuu 和 vvv 的线性组合。）
解答 ：
通过几何方法，画一条过 www 且平行于 vvv 的直线，以及一条过 www 且平行于 uuu 的直线，可估计 w=u+2vw = u + 2vw=u+2v。
由于 TTT 是线性变换，有 T(w)=T(u+2v)=T(u)+2T(v)T(w) = T(u + 2v) = T(u) + 2T(v)T(w)=T(u+2v)=T(u)+2T(v)。
在图像中定位 T(u)T(u)T(u) 和 2T(v)2T(v)2T(v)，并构造平行四边形来确定 T(w)T(w)T(w) 的位置。
结论 ：
T(w)T(w)T(w) 可通过构造以 T(u)T(u)T(u) 和 2T(v)2T(v)2T(v) 为邻边的平行四边形的对角线来确定。
- 设 e1=[10]e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}e1=[10], e2=[01]e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}e2=[01], y1=[25]y_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}y1=[25], y2=[−16]y_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix}y2=[−16]; T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 是线性变换，把 e1e_1e1 变为 y1y_1y1，把 e2e_2e2 变为 y2y_2y2。求 [5−3]\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}[5−3] 和 [x1x2]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}[x1x2] 的像。
解答 ：
首先，将 [5−3]\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}[5−3] 表示为 e1e_1e1 和 e2e_2e2 的线性组合：
5−3\]=5e1−3e2\\begin{bmatrix} 5 \\\\ -3 \\end{bmatrix} = 5e_1 - 3e_2\[5−3\]=5e1−3e2 利用线性变换的性质： T(\[5−3\])=T(5e1−3e2)=5T(e1)−3T(e2)=5y1−3y2T\\left(\\begin{bmatrix} 5 \\\\ -3 \\end{bmatrix}\\right) = T(5e_1 - 3e_2) = 5T(e_1) - 3T(e_2) = 5y_1 - 3y_2T(\[5−3\])=T(5e1−3e2)=5T(e1)−3T(e2)=5y1−3y2 =5\[25\]−3\[−16\]=\[10+325−18\]=\[137\]= 5\\begin{bmatrix} 2 \\\\ 5 \\end{bmatrix} - 3\\begin{bmatrix} -1 \\\\ 6 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 10+3 \\\\ 25-18 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 13 \\\\ 7 \\end{bmatrix}=5\[25\]−3\[−16\]=\[10+325−18\]=\[137
对于一般向量 [x1x2]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}[x1x2]：
x1x2\]=x1e1+x2e2\\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix} = x_1e_1 + x_2e_2\[x1x2\]=x1e1+x2e2 T(\[x1x2\])=T(x1e1+x2e2)=x1T(e1)+x2T(e2)=x1y1+x2y2T\\left(\\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix}\\right) = T(x_1e_1 + x_2e_2) = x_1T(e_1) + x_2T(e_2) = x_1y_1 + x_2y_2T(\[x1x2\])=T(x1e1+x2e2)=x1T(e1)+x2T(e2)=x1y1+x2y2 =x1\[25\]+x2\[−16\]=\[2x1−x25x1+6x2\]= x_1\\begin{bmatrix} 2 \\\\ 5 \\end{bmatrix} + x_2\\begin{bmatrix} -1 \\\\ 6 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2x_1 - x_2 \\\\ 5x_1 + 6x_2 \\end{bmatrix}=x1\[25\]+x2\[−16\]=\[2x1−x25x1+6x2
结论 ：
T([5−3])=[137]T\left(\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 13 \\ 7 \end{bmatrix}T([5−3])=[137]，T([x1x2])=[2x1−x25x1+6x2]T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2x_1 - x_2 \\ 5x_1 + 6x_2 \end{bmatrix}T([x1x2])=[2x1−x25x1+6x2]