线性代数入门讲解:第一部分:向量与矩阵运算

第一部分:向量与矩阵运算

1. 向量(Vectors)

定义:向量是一组有序的数,可以表示空间中的方向和大小。

基本表示:
  • 列向量:

  • 行向量:

向量运算:

1. 向量加法

对应分量相加:

示例:

2. 数乘(标量乘法)

每个分量乘以标量:

示例:

3. 内积(点积)

两个向量的内积是一个标量:

示例:

4. 向量长度(模)


2. 矩阵(Matrices)

定义:矩阵是由数排列成的矩形阵列,有 m 行和 n 列,记作 m×n 矩阵。

矩阵表示:
矩阵运算:

1. 矩阵加法

同型矩阵对应元素相加:

示例:

2. 矩阵数乘

每个元素乘以标量:

示例:

3. 矩阵乘法(重点!)

规则:若 A 是 m×n 矩阵,B 是 n×p 矩阵,则 AB 是 m×p 矩阵:

重要:矩阵乘法不满足交换律!即 AB≠BA(一般情况下)。

示例:

4. 矩阵转置

将矩阵的行列互换:

示例:

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