线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.3 可逆矩阵的特征(1)

2.3

$!CAUTION$
定理 8（可逆矩阵定理）

设 AAA 为 n×nn \times nn×n 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 AAA，它们同时为真或同时为假.

AAA 是可逆矩阵.

AAA 行等价于 n×nn \times nn×n 单位矩阵.

AAA 有 nnn 个主元位置.

方程 Ax=0Ax = 0Ax=0 仅有平凡解.

AAA 的各列线性无关.

线性变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 是一对一的.

对 Rn\mathbb{R}^nRn 中任意 bbb，方程 Ax=bAx = bAx=b 至少有一个解.

AAA 的各列生成 Rn\mathbb{R}^nRn.

线性变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 把 Rn\mathbb{R}^nRn 映上到 Rn\mathbb{R}^nRn.

存在 n×nn \times nn×n 矩阵 CCC 使 CA=ICA = ICA=I.

存在 n×nn \times nn×n 矩阵 DDD 使 AD=IAD = IAD=I.

ATA^TAT 是可逆矩阵.

$!CAUTION$
线性变换 T:Rn→RnT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^nT:Rn→Rn 称为可逆的，若存在函数 S:Rn→RnS: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^nS:Rn→Rn 使得

对所有 Rn\mathbb{R}^nRn 中的 xxx，S(T(x))=x (1)S(T(x)) = x \space (1)S(T(x))=x (1)

对所有 Rn\mathbb{R}^nRn 中的 xxx， $T(S(x)) = x\\space (2)$

定理 9 设 T:Rn→RnT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^nT:Rn→Rn 为线性变换，AAA 为 TTT 的标准矩阵。则 TTT 可逆当且仅当 AAA 是可逆矩阵，这时由 S(x)=A−1xS(x) = A^{-1}xS(x)=A−1x 定义的线性变换 SSS 是满足 (1)(1)(1) 和 (2)(2)(2) 的唯一函数。

练习题

确定 A=[234234234]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}A= 222333444 是否可逆.

解答：

观察矩阵 AAA 的列向量：
a1=[222]\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}a1= 222 , a2=[333]\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix}a2= 333 , a3=[444]\mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}a3= 444 。
发现 a2=32a1\mathbf{a}_2 = \frac{3}{2}\mathbf{a}_1a2=23a1 且 a3=2a1\mathbf{a}_3 = 2\mathbf{a}_1a3=2a1，说明列向量组线性相关。
由可逆矩阵定理，列向量线性相关时矩阵不可逆。

结论：
AAA 不可逆。

设对某个 n×nn \times nn×n 矩阵 AAA，可逆矩阵定理命题 (g) 不成立. 那么形如 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的方程会如何？

解答：

可逆矩阵定理中命题 (g) 通常表述为："对 Rn\mathbb{R}^nRn 中的每个 b\mathbf{b}b，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有唯一解"。
若命题 (g) 不成立，则存在至少一个 b∈Rn\mathbf{b} \in \mathbb{R}^nb∈Rn 使得 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 无解（即方程组不相容）。

结论：

存在至少一个 b\mathbf{b}b 使得 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不相容。

设 A,BA, BA,B 是 n×nn \times nn×n 矩阵，方程 ABx=0AB\mathbf{x} = \mathbf{0}ABx=0 有非平凡解，那么矩阵 ABABAB 会如何？

解答：

假设 ABABAB 可逆，根据可逆矩阵定理命题 (d)，方程 ABx=0AB\mathbf{x} = \mathbf{0}ABx=0 仅有平凡解 x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}x=0。
但题目已知 ABx=0AB\mathbf{x} = \mathbf{0}ABx=0 有非平凡解，与假设矛盾。
因此 ABABAB 不可逆。

结论：
ABABAB 不可逆。

习题2.3

确定 [57−3−6]\begin{bmatrix} 5 & 7 \\ -3 & -6 \end{bmatrix}[5−37−6] 是否为可逆矩阵.

解答：

观察列向量：a1=[5−3]\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}a1=[5−3], a2=[7−6]\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 7 \\ -6 \end{bmatrix}a2=[7−6]，二者非标量倍数关系。
由可逆矩阵定理 (e)，列向量线性无关等价于矩阵可逆。
验证行列式：det⁡(A)=5×(−6)−7×(−3)=−30+21=−9≠0\det(A) = 5 \times (-6) - 7 \times (-3) = -30 + 21 = -9 \neq 0det(A)=5×(−6)−7×(−3)=−30+21=−9=0，符合定理条件。

结论：

矩阵可逆。

确定 [−466−9]\begin{bmatrix} -4 & 6 \\ 6 & -9 \end{bmatrix}[−466−9] 是否为可逆矩阵.

解答：

观察列向量：a2=[6−9]=−32a1\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 6 \\ -9 \end{bmatrix} = -\frac{3}{2} \mathbf{a}_1a2=[6−9]=−23a1（其中 a1=[−46]\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} -4 \\ 6 \end{bmatrix}a1=[−46]），列向量线性相关。
计算行列式：det⁡(A)=(−4)×(−9)−6×6=36−36=0\det(A) = (-4) \times (-9) - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0det(A)=(−4)×(−9)−6×6=36−36=0。
由可逆矩阵定理，行列式为零时矩阵不可逆。

结论：

矩阵不可逆。

确定 [500−3−7085−1]\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ -3 & -7 & 0 \\ 8 & 5 & -1 \end{bmatrix} 5−380−7500−1 是否为可逆矩阵.

解答：

矩阵为下三角形式，主对角线元素 5,−7,−15, -7, -15,−7,−1 均非零。
行简化至行阶梯形后，有 333 个主元位置（无需具体计算，因对角元非零）。
由可逆矩阵定理 ©，主元位置数等于矩阵阶数时矩阵可逆。

结论：

矩阵可逆。

确定 [−70430−1209]\begin{bmatrix} -7 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 9 \end{bmatrix} −7320004−19 是否为可逆矩阵.

解答：

第二列全为零：a2=[000]\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}a2= 000 。
列向量组包含零向量，故线性相关。
由可逆矩阵定理 (e)，列向量线性相关时矩阵不可逆。

结论：

矩阵不可逆。

确定 [03−5102−4−97]\begin{bmatrix} 0 & 3 & -5 \\ 1 & 0 & 2 \\ -4 & -9 & 7 \end{bmatrix} 01−430−9−527 是否为可逆矩阵.

解答：

行简化过程：
- 交换 R1R_1R1 与 R2R_2R2：[10203−5−4−97]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ -4 & -9 & 7 \end{bmatrix} 10−403−92−57
- R3←R3+4R1R_3 \leftarrow R_3 + 4R_1R3←R3+4R1：[10203−50−915]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & -9 & 15 \end{bmatrix} 10003−92−515
- R3←R3+3R2R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2R3←R3+3R2：[10203−5000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000302−50
行阶梯形含零行，无 333 个主元位置。
由可逆矩阵定理，矩阵不与单位矩阵行等价，故不可逆。

结论：

矩阵不可逆。

确定 [1−5−4034−360]\begin{bmatrix} 1 & -5 & -4 \\ 0 & 3 & 4 \\ -3 & 6 & 0 \end{bmatrix} 10−3−536−440 是否为可逆矩阵.

解答：

行简化过程：
- R3←R3+3R1R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1R3←R3+3R1：[1−5−40340−9−12]\begin{bmatrix} 1 & -5 & -4 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & -9 & -12 \end{bmatrix} 100−53−9−44−12
- R3←R3+3R2R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2R3←R3+3R2：[1−5−4034000]\begin{bmatrix} 1 & -5 & -4 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100−530−440
行阶梯形含零行，主元位置数 <3< 3<3。
由可逆矩阵定理，矩阵不与单位矩阵行等价，故不可逆。

结论：

矩阵不可逆。

确定 [−1−301358−3−2−6320−121]\begin{bmatrix} -1 & -3 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 8 & -3 \\ -2 & -6 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} −13−20−35−6−108321−321 是否为可逆矩阵.

解答：

行简化过程：
- R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1，R3←R3−2R1R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1R3←R3−2R1： $−1−3010−48000300−121\]\\begin{bmatrix} -1 \& -3 \& 0 \& 1 \\\\ 0 \& -4 \& 8 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 2 \& 1 \\end{bmatrix} −1000−3−40−108321001$
- 继续标准化后，行阶梯形含 444 个主元位置（验证：无零行）。
由可逆矩阵定理 ©，主元位置数等于矩阵阶数时矩阵可逆。

结论：

矩阵可逆。

确定 [13740596002800010]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 & 4 \\ 0 & 5 & 9 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{bmatrix} 10003500792046810 是否为可逆矩阵.

解答：

矩阵为上三角形式 ，主对角线元素 1,5,2,101, 5, 2, 101,5,2,10 均非零。
行阶梯形中主元位置数为 444（等于矩阵阶数）。
由可逆矩阵定理 ©，主元位置数等于阶数时矩阵可逆。

结论：

矩阵可逆。

11a. 若方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解，则 AAA 行等价于 n×nn \times nn×n 单位矩阵.

解答：

由可逆矩阵定理（IMT），若 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解，则 AAA 可逆。
可逆矩阵的行阶梯形必为单位矩阵 ，因此 AAA 行等价于 n×nn \times nn×n 单位矩阵。
该蕴涵式符合 IMT 中命题 (d) 与 (b) 的逻辑关系。

结论：

命题为真。

11b. 若 AAA 的各列生成 Rn\mathbb{R}^nRn，则它的列线性无关.

解答：

AAA 的各列生成 Rn\mathbb{R}^nRn 意味着 AAA 行满秩 （即秩为 nnn）。
对 n×nn \times nn×n 矩阵，行满秩等价于列满秩，故列向量组线性无关。
由 IMT 命题 (h) 与 (e) 的等价性，该蕴涵式成立。

结论：

命题为真。

11c. 若 AAA 是 n×nn \times nn×n 矩阵，则对 Rn\mathbb{R}^nRn 中每个 b\mathbf{b}b，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 至少有一个解.

解答：

该命题要求 AAA 对任意 b\mathbf{b}b 相容，但仅当 AAA 可逆时成立。
若 AAA 不可逆（如 A=[1111]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}A=[1111]），取 b=[10]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}b=[10]，则方程无解。
由 IMT，命题 (g) 仅对可逆矩阵成立，故该蕴涵式不恒真。

结论：

命题为假。

11d. 若方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 有非平凡解，则 AAA 的主元位置少于 nnn 个.

解答：

Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 有非平凡解表明零空间维数 ≥1\geq 1≥1。
由秩-零化度定理，rank(A)=n−dim⁡(Nul(A))<n\text{rank}(A) = n - \dim(\text{Nul}(A)) < nrank(A)=n−dim(Nul(A))<n。
主元位置数等于秩，故主元位置数 <n< n<n。

结论：

命题为真。

11e. 若 ATA^TAT 不可逆，则 AAA 也不可逆.

解答：

AAA 可逆当且仅当 ATA^TAT 可逆 （因 det⁡(A)=det⁡(AT)\det(A) = \det(A^T)det(A)=det(AT)）。
若 ATA^TAT 不可逆，则 det⁡(AT)=0\det(A^T) = 0det(AT)=0，故 det⁡(A)=0\det(A) = 0det(A)=0，AAA 不可逆。
由 IMT 逻辑链，该蕴涵式恒成立。

结论：

命题为真。

12a. 若存在 n×nn \times nn×n 矩阵 DDD 使得 AD=IAD = IAD=I，那么也存在 n×nn \times nn×n 矩阵 CCC，使得 CA=ICA = ICA=I.

解答：

AD=IAD = IAD=I 表明 AAA 有右逆，对 n×nn \times nn×n 矩阵，右逆存在即 AAA 可逆。
可逆矩阵的左逆与右逆相等，故存在 C=DC = DC=D 满足 CA=ICA = ICA=I。
由 IMT 命题 (k) 与 (j) 的等价性，该蕴涵式成立。

$!NOTE$
k. 存在 n×nn \times nn×n 矩阵 CCC 使 CA=ICA = ICA=I.

j. 存在 n×nn \times nn×n 矩阵 DDD 使 AD=IAD = IAD=I.

结论：

命题为真。

12b. 若 AAA 的各列线性无关，则 AAA 的各列生成 Rn\mathbb{R}^nRn.

解答：

列线性无关表明 rank(A)=n\text{rank}(A) = nrank(A)=n（列满秩）。
对 n×nn \times nn×n 矩阵，列满秩等价于列空间为 Rn\mathbb{R}^nRn。
由 IMT 命题 (e) 与 (h) 的等价性，该蕴涵式成立。

结论：

命题为真。

12c. 若对每个 Rn\mathbb{R}^nRn 中的 b\mathbf{b}b，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 至少有一个解，则对每个 b\mathbf{b}b，解是唯一的.

解答：

对任意 b\mathbf{b}b 有解表明 AAA 行满秩（秩为 nnn）。
秩为 nnn 时，零空间仅含零向量，故解唯一。
由 IMT 命题 (g) 与 (f) 的等价性，该蕴涵式成立。

结论：

命题为真。

12e. 若存在 Rn\mathbb{R}^nRn 中的 b\mathbf{b}b，使得方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不相容，则 x↦Ax\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}x↦Ax 不是一对一的.

解答：

不相容表明 AAA 非满秩，故秩 <n< n<n。
秩 <n< n<n 时零空间非平凡，存在 x1≠x2\mathbf{x}_1 \neq \mathbf{x}_2x1=x2 使 Ax1=Ax2A\mathbf{x}_1 = A\mathbf{x}_2Ax1=Ax2。
由 IMT，不相容蕴含非单射，该蕴涵式恒成立。

结论：

命题为真。

若一个 m×nm \times nm×n 矩阵的主对角线以下元素全为 0，则称之为上三角矩阵。什么时候一个上三角矩阵是可逆的？

解答：

上三角矩阵可逆需满足行阶梯形有 nnn 个主元位置（对 m=nm=nm=n 方阵）。
主对角线元素必须全非零：若某对角元为零，则其下方列无主元，导致秩 <n< n<n。
当 m≠nm \neq nm=n 时，上三角矩阵不可逆（因非方阵）；仅当 m=nm = nm=n 且对角元全非零时可逆。

结论：
当且仅当矩阵为方阵且所有主对角线元素非零时，上三角矩阵可逆。

若一个 m×nm \times nm×n 矩阵的主对角线以上元素全为 0，则称之为下三角矩阵。什么时候一个下三角矩阵是可逆的？

解答：

下三角矩阵可逆需为方阵（m=nm = nm=n），否则秩 ≤min⁡(m,n)<n\leq \min(m,n) < n≤min(m,n)<n。
主对角线元素必须全非零：若某对角元为零，则其上方列无主元，导致秩 <n< n<n。
例如 A=[2003]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}A=[2003] 可逆，而 B=[2010]B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}B=[2100] 不可逆。

结论：
当且仅当矩阵为方阵且所有主对角线元素非零时，下三角矩阵可逆。

有两列相同的方阵是否可逆？为什么？

解答：

设 AAA 有两列相同，如 ai=aj\mathbf{a}_i = \mathbf{a}_jai=aj（i≠ji \neq ji=j）。
则 ai−aj=0\mathbf{a}_i - \mathbf{a}_j = \mathbf{0}ai−aj=0，存在非零向量 x=(0,...,1,...,−1,...,0)T\mathbf{x} = (0,\dots,1,\dots,-1,\dots,0)^Tx=(0,...,1,...,−1,...,0)T 使 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0。
零空间非平凡，故 AAA 不可逆。

结论：
不可逆，因为列向量线性相关。

一个 5×55 \times 55×5 矩阵的各列不生成 R5\mathbb{R}^5R5，它是否可能可逆？为什么？

解答：

各列不生成 R5\mathbb{R}^5R5 表明列空间 ≠R5\neq \mathbb{R}^5=R5，故秩 <5< 5<5。
由可逆矩阵定理，n×nn \times nn×n 矩阵可逆当且仅当秩为 nnn。
秩 <5< 5<5 时，AAA 不可逆，且存在 b∈R5\mathbf{b} \in \mathbb{R}^5b∈R5 使 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 无解。

结论：

不可能可逆，因为列空间维度小于 5。

若 n×nn \times nn×n 矩阵 AAA 可逆，则 ATA^TAT 的各列线性无关，说明为什么.

解答：

AAA 可逆 ⇒\Rightarrow⇒ ATA^TAT 可逆（因 det⁡(AT)=det⁡(A)≠0\det(A^T) = \det(A) \neq 0det(AT)=det(A)=0）。
可逆矩阵的列向量组线性无关。
ATA^TAT 的列即 AAA 的行，但作为矩阵，ATA^TAT 的列线性无关等价于 ATA^TAT 可逆。

结论：
ATA^TAT 可逆，故其列线性无关。

若 CCC 是 6×66 \times 66×6 矩阵，对 R6\mathbb{R}^6R6 中的每一 v\mathbf{v}v，方程 Cx=vC\mathbf{x} = \mathbf{v}Cx=v 相容，是否可能对某个 v\mathbf{v}v，方程 Cx=vC\mathbf{x} = \mathbf{v}Cx=v 有多解？为什么？

解答：

对任意 v\mathbf{v}v 相容表明 CCC 行满秩（秩为 6）。
秩为 6 时，零空间维数 =6−6=0= 6 - 6 = 0=6−6=0，故解唯一。
若有多解，则零空间非平凡，与秩为 6 矛盾。

结论：

不可能，因为相容且满秩时解唯一。

有 7×77 \times 77×7 矩阵 DDD 的各列线性无关，关于方程 Dx=bD\mathbf{x} = \mathbf{b}Dx=b 的解会如何？为什么？

解答：

列线性无关 ⇒\Rightarrow⇒ rank(D)=7\text{rank}(D) = 7rank(D)=7（列满秩）。
对 7×77 \times 77×7 矩阵，列满秩等价于可逆。
由 IMT，Dx=bD\mathbf{x} = \mathbf{b}Dx=b 对任意 b\mathbf{b}b 有唯一解。

结论：

对任意 b\mathbf{b}b，方程有唯一解。

若 n×nn \times nn×n 矩阵 EEE 和 FFF 满足性质 EF=IEF = IEF=I，则 EEE 和 FFF 是可交换的。说明这是为什么.

解答：

EF=IEF = IEF=I 表明 EEE 和 FFF 互为逆矩阵（因 n×nn \times nn×n 矩阵单侧逆即双侧逆）。
逆矩阵唯一，故 FE=IFE = IFE=I。
因此 EF=I=FEEF = I = FEEF=I=FE，即 EEE 和 FFF 可交换。

结论：
EF=FE=IEF = FE = IEF=FE=I，故 EEE 和 FFF 可交换。

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.3 可逆矩阵的特征(1)

2.3

练习题

习题2.3

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.3 可逆矩阵的特征(1)