数据结构：无向图

一、无向图的定义

无向图是图的一种基础类型，由顶点集合 （也称节点集合）和边集合 组成，其中每条边都没有方向，即两个顶点之间的连接是双向的。若顶点 u 和 v 之间存在一条边，则这条边可表示为 (u, v)，也可表示为 (v, u)，二者等价。

资料：https://pan.quark.cn/s/43d906ddfa1b、https://pan.quark.cn/s/90ad8fba8347、https://pan.quark.cn/s/d9d72152d3cf

无向图可形式化表示为 G = (V, E)，其中：

V 是顶点的非空有限集合；
E 是边的有限集合，每条边连接 V 中的两个不同顶点（无向图通常不允许自环边，即连接同一顶点的边）。

二、无向图的核心概念

1. 顶点的度

顶点的度是指与该顶点相连的边的数量，记为 deg(v)。例如在无向图中，若顶点 A 连接了边 (A,B)、(A,C)，则 deg(A)=2。

无向图的总度数 等于边数的 2 倍（每条边贡献两个顶点的度），即 ∑deg(v) = 2|E|（|E| 为边的数量）。

2. 路径与环

路径：从顶点 u 到顶点 v 的一个顶点序列 v₀=u, v₁, v₂, ..., vₖ=v，其中任意相邻两个顶点间都存在边。路径的长度为路径中边的数量。
简单路径：路径中所有顶点互不重复的路径。
环：起点和终点为同一个顶点，且长度≥3的简单路径（无向图中不允许重复边），例如顶点序列 A→B→C→A 即为一个环。

3. 连通性

连通图：若无向图中任意两个顶点之间都存在至少一条路径，则称该无向图为连通图。
连通分量：非连通无向图中，每个最大的连通子图称为一个连通分量。连通图的连通分量就是其自身。

4. 完全图

若无向图中任意两个不同顶点 之间都存在一条边，则称为完全无向图。对于包含 n 个顶点的完全无向图，其边数为 n(n-1)/2。

5. 稀疏图与稠密图

稀疏图 ：边数远小于完全图边数的无向图（通常满足 |E| ≈ |V|）。
稠密图 ：边数接近完全图边数的无向图（通常满足 |E| ≈ |V|²）。

三、无向图的存储方式

1. 邻接矩阵

用一个 n×n 的二维数组 adj 表示（n 为顶点数），其中 adj[i][j] 表示顶点 i 和顶点 j 之间是否存在边：

若 adj[i][j] = 1（或边的权重），表示存在边 (i,j)；
若 adj[i][j] = 0（或无穷大），表示不存在边。
无向图的邻接矩阵是对称矩阵 ，即 adj[i][j] = adj[j][i]。

优缺点：

优点：查询两顶点是否相邻的时间复杂度为 O(1)，实现简单；
缺点：空间复杂度为 O(n²)，对于稀疏图会造成大量空间浪费。

2. 邻接表

为每个顶点维护一个链表（或数组），存储与该顶点直接相连的所有顶点。整体可表示为一个数组 adj，其中 adj[v] 是顶点 v 的邻接顶点列表。

优缺点：

优点：空间复杂度为 O(|V| + |E|)，适合存储稀疏图，遍历顶点邻接边的效率高；
缺点：查询两顶点是否相邻的时间复杂度为 O(deg(v))（需遍历顶点 v 的邻接表）。

四、无向图的遍历算法

1. 深度优先搜索（DFS）

从起始顶点出发，沿着一条路径尽可能深地访问，直到无法继续后回溯，再探索其他路径。可通过递归或栈实现。

核心思想："先深后广"，标记已访问顶点避免重复。
时间复杂度 ：邻接矩阵存储为 O(n²)，邻接表存储为 O(|V| + |E|)。

2. 广度优先搜索（BFS）

从起始顶点出发，先访问其所有邻接顶点，再依次访问邻接顶点的邻接顶点，逐层扩散。通常通过队列实现。

核心思想："先广后深"，可用于求解无权图的最短路径。
时间复杂度 ：邻接矩阵存储为 O(n²)，邻接表存储为 O(|V| + |E|)。

五、无向图的实现示例

1. 邻接表实现

python 复制代码

class UndirectedGraph:
    def __init__(self, num_vertices):
        self.num_vertices = num_vertices
        # 初始化邻接表，索引对应顶点编号
        self.adj_list = [[] for _ in range(num_vertices)]
    
    def add_edge(self, u, v):
        """添加无向边(u, v)"""
        if v not in self.adj_list[u]:
            self.adj_list[u].append(v)
        if u not in self.adj_list[v]:
            self.adj_list[v].append(u)
    
    def remove_edge(self, u, v):
        """删除无向边(u, v)"""
        if v in self.adj_list[u]:
            self.adj_list[u].remove(v)
        if u in self.adj_list[v]:
            self.adj_list[v].remove(u)
    
    def dfs(self, start, visited=None):
        """深度优先搜索，递归实现"""
        if visited is None:
            visited = [False] * self.num_vertices
        visited[start] = True
        print(start, end=" ")
        for neighbor in self.adj_list[start]:
            if not visited[neighbor]:
                self.dfs(neighbor, visited)
    
    def bfs(self, start):
        """广度优先搜索，队列实现"""
        visited = [False] * self.num_vertices
        queue = [start]
        visited[start] = True
        while queue:
            vertex = queue.pop(0)
            print(vertex, end=" ")
            for neighbor in self.adj_list[vertex]:
                if not visited[neighbor]:
                    visited[neighbor] = True
                    queue.append(neighbor)

使用示例

python 复制代码

# 初始化包含5个顶点的无向图（顶点编号0-4）
graph = UndirectedGraph(5)
# 添加边
graph.add_edge(0, 1)
graph.add_edge(0, 2)
graph.add_edge(1, 3)
graph.add_edge(2, 3)
graph.add_edge(3, 4)

print("DFS遍历结果:")
graph.dfs(0)  # 输出 0 1 3 2 4（遍历顺序可能因邻接表存储顺序略有差异）
print("\nBFS遍历结果:")
graph.bfs(0)  # 输出 0 1 2 3 4

六、无向图的典型应用

路径规划：如地图上两点间的最短路径查询（无权图用BFS，有权图用Dijkstra算法）。
连通性分析：如判断社交网络中两人是否存在好友关系、电网中两个节点是否连通。
环检测：如判断无向图是否为树（树是无环的连通图）。
最小生成树：如在无向连通图中，找到连接所有顶点且总权重最小的边集合（常用Kruskal算法、Prim算法）。