文章目录
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- [📖 问题描述：一次买卖，最大化利润](#📖 问题描述：一次买卖，最大化利润)
- [🧠 为什么不能用简单方法？](#🧠 为什么不能用简单方法？)
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- [❌ 错误思路1：贪心法（每次都选最便宜的买，最贵的卖）](#❌ 错误思路1：贪心法（每次都选最便宜的买，最贵的卖）)
- [❌ 错误思路2：转化为最大子数组问题](#❌ 错误思路2：转化为最大子数组问题)
- [✅ 正确思路：分治法](#✅ 正确思路：分治法)
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- 分治法的三个步骤
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- [1️⃣ **底（Base Case）**：最简单的情况](#1️⃣ 底（Base Case）：最简单的情况)
- [2️⃣ **分（Divide）**：将问题一分为二](#2️⃣ 分（Divide）：将问题一分为二)
- [3️⃣ **合（Combine）**：合并子问题的解](#3️⃣ 合（Combine）：合并子问题的解)
- [💻 算法伪代码](#💻 算法伪代码)
- [🔍 算法执行过程示例](#🔍 算法执行过程示例)
- [📊 算法复杂度分析](#📊 算法复杂度分析)
- [⚠️ 常见错误与注意事项](#⚠️ 常见错误与注意事项)
- [🎯 核心要点总结](#🎯 核心要点总结)
- [💡 拓展思考](#💡 拓展思考)
- [📚 相关知识点](#📚 相关知识点)
📖 问题描述：一次买卖，最大化利润
想象你开着一辆车，从城市A到城市B，沿途经过n个苹果市场（编号1到n）。在每个市场i，你都知道：
- 买入价
B[i]：在这个市场买苹果的价格 - 卖出价
S[i]：在这个市场卖苹果的价格
约束条件：
- 车只能往前开，不能往回开
- 只能做一次买卖：在一个市场买入，在之后的市场卖出（ j ≥ i j \geq i j≥i）
目标 ：找到最优的买入市场i和卖出市场j，使得利润 S j − B i Sj - Bi Sj−Bi 最大（如果无法盈利，则最小化亏损）。
🧠 为什么不能用简单方法？
❌ 错误思路1：贪心法（每次都选最便宜的买，最贵的卖）
问题 ：最便宜的买入点可能在最贵的卖出点之后，违反了"不能往回开"的约束。
❌ 错误思路2：转化为最大子数组问题
常见错误 ：有些同学会联想到股票增值问题，试图将问题转化为最大连续子数组问题。
为什么不行：
- 股票问题中，同一天的买入价和卖出价相同，可以转化为价格差数组
- 但本题中，每个市场的买入价和卖出价不同，不能简单转化
例如：市场4的买入价是2元，卖出价是1元，如果在这里买卖会亏损1元，但我们可以在这里买入，到其他市场卖出。
✅ 正确思路：分治法
分治法的核心思想：将大问题分解为小问题，解决小问题，再合并结果。
分治法的三个步骤
1️⃣ 底（Base Case）：最简单的情况
如果只有一个市场，那么：
- 只能在这个市场买入并卖出
- 利润 = S i − B i Si - Bi Si−Bi
2️⃣ 分（Divide）：将问题一分为二
将区间 L , R L, R L,R 分成两个子区间：
- 左半部分： L , Mid L, \\text{Mid} L,Mid
- 右半部分： Mid + 1 , R \\text{Mid}+1, R Mid+1,R
其中 Mid = ⌊ ( L + R ) / 2 ⌋ \text{Mid} = \lfloor (L+R)/2 \rfloor Mid=⌊(L+R)/2⌋
⌊ ⌋ \lfloor \rfloor ⌊⌋:指的是地板函数：取下标。比如： 当L=0，R=5时：(0+5)/2=2.5，⌊2.5⌋=2
3️⃣ 合（Combine）：合并子问题的解
最优解可能出现在三种情况中：
- 完全在左半部分：在左子区间内买入和卖出
- 完全在右半部分：在右子区间内买入和卖出
- 跨越中点：在左半部分买入，在右半部分卖出
关键点：对于跨越中点的情况，最优策略是：
- 在左半部分 选择最低的买入价 B left B\\text{left} Bleft
- 在右半部分 选择最高的卖出价 S right S\\text{right} Sright
- 利润 = S right − B left S\\text{right} - B\\text{left} Sright−Bleft
最终答案：从这三种情况中选择利润最大的。
💻 算法伪代码
shell
算法：D&C-Max-Apple-Profit(B[], S[], L, R)
输入：买入价数组B[]，卖出价数组S[]，区间[L, R]
输出：最大利润M，买入市场i，卖出市场j
1. if L == R then // 底：只有一个市场
2. M = S[L] - B[L]
3. i = L, j = L
4. return (M, i, j)
5. end if
6. else // 分：将问题分解
7. Mid = ⌊(L+R)/2⌋
8. (ML, IL, JL) = D&C-Max-Apple-Profit(B[], S[], L, Mid) // 左子问题
9. (MR, IR, JR) = D&C-Max-Apple-Profit(B[], S[], Mid+1, R) // 右子问题
10.
11. // 合：合并子问题的解
12. // 情况3：跨越中点的情况
13. B[left] = min{B[u] | L ≤ u ≤ Mid} // 左半部分最低买入价
14. S[right] = max{S[u] | Mid+1 ≤ u ≤ R} // 右半部分最高卖出价
15. Mc = S[right] - B[left] // 跨越中点的利润
16.
17. // 从三种情况中选择最优
18. if Mc > max(ML, MR) then
19. M = Mc, i = left, j = right
20. else if ML > MR then
21. M = ML, i = IL, j = JL
22. else
23. M = MR, i = IR, j = JR
24. end if
25.
26. return (M, i, j)
27. end else🔍 算法执行过程示例
让我们用示例数据演示算法执行过程：
递归树
[1,6]
/ \
[1,3] [4,6]
/ \ / \
[1,2] [3,3] [4,5] [6,6]
/ \ / \
[1,1] [2,2] [4,4] [5,5]自底向上合并过程
第1层（叶子节点）：(底)
- 1,1: M = 3 − 5 = − 2 M = 3-5 = -2 M=3−5=−2
- 2,2: M = 3 − 4 = − 1 M = 3-4 = -1 M=3−4=−1
- 3,3: M = 7 − 8 = − 1 M = 7-8 = -1 M=7−8=−1
- 4,4: M = 1 − 2 = − 1 M = 1-2 = -1 M=1−2=−1
- 5,5: M = 6 − 7 = − 1 M = 6-7 = -1 M=6−7=−1
- 6,6: M = 7 − 9 = − 2 M = 7-9 = -2 M=7−9=−2
第2层：
-
1,2:
- 左子问题（1,1）: M = − 2 M=-2 M=−2
- 右子问题(2,2): M = − 1 M=-1 M=−1
- 跨越中点: min ( B 1 , B 2 ) = 4 \min(B1,B2)=4 min(B1,B2)=4, max ( S 2 ) = 3 \max(S2)=3 max(S2)=3, M c = 3 − 4 = − 1 M_c=3-4=-1 Mc=3−4=−1
- 最优: M = − 1 M=-1 M=−1 (右子问题或跨越中点)
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4,5:
- 左子问题: M = − 1 M=-1 M=−1
- 右子问题: M = − 1 M=-1 M=−1
- 跨越中点: min ( B 4 ) = 2 \min(B4)=2 min(B4)=2, max ( S 5 ) = 6 \max(S5)=6 max(S5)=6, M c = 6 − 2 = 4 M_c=6-2=4 Mc=6−2=4
- 最优: M = 4 M=4 M=4 (跨越中点)
第3层：
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1,3:
- 左子问题1,2: M = − 1 M=-1 M=−1
- 右子问题3,3: M = − 1 M=-1 M=−1
- 跨越中点: min ( B 1..2 ) = 4 \min(B1..2)=4 min(B1..2)=4, max ( S 3 ) = 7 \max(S3)=7 max(S3)=7, M c = 7 − 4 = 3 M_c=7-4=3 Mc=7−4=3
- 最优: M = 3 M=3 M=3 (跨越中点)
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4,6:
- 左子问题4,5: M = 4 M=4 M=4
- 右子问题6,6: M = − 2 M=-2 M=−2
- 跨越中点: min ( B 4..5 ) = 2 \min(B4..5)=2 min(B4..5)=2, max ( S 6 ) = 7 \max(S6)=7 max(S6)=7, M c = 7 − 2 = 5 M_c=7-2=5 Mc=7−2=5
- 最优: M = 5 M=5 M=5 (跨越中点)
第4层（根节点）：
- 1,6:
- 左子问题1,3: M = 3 M=3 M=3
- 右子问题4,6: M = 5 M=5 M=5
- 跨越中点: min ( B 1..3 ) = 4 \min(B1..3)=4 min(B1..3)=4, max ( S 4..6 ) = 7 \max(S4..6)=7 max(S4..6)=7, M c = 7 − 4 = 3 M_c=7-4=3 Mc=7−4=3
- 最优: M = 5 M=5 M=5 (右子问题)，买入市场4，卖出市场6
📊 算法复杂度分析
时间复杂度
递推关系 ： T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + O ( n ) T(n) = 2T(n/2) + O(n) T(n)=2T(n/2)+O(n)
求解过程：
- 每次递归将问题分成两个子问题，每个子问题规模为 n / 2 n/2 n/2
- 合并步骤需要 O ( n ) O(n) O(n) 时间（找最小值和最大值）
- 根据主方法，时间复杂度为 O ( n log n ) O(n \log n) O(nlogn)
⚠️ 常见错误与注意事项
错误2：复杂度分析错误
错误递推式 ：
T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + O ( 1 ) ❌ 错误！ T(n) = 2T(n/2) + O(1) \quad \text{❌ 错误！} T(n)=2T(n/2)+O(1)❌ 错误！
错误原因：合并步骤需要处理跨越中点的情况，必须重新扫描整个子区间：
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在左半部分 L , Mid L, \\text{Mid} L,Mid 找最低买入价：
- 需要遍历左半部分的所有元素： B left = min { B u ∣ L ≤ u ≤ Mid } B\\text{left} = \min\{Bu \mid L \leq u \leq \text{Mid}\} Bleft=min{Bu∣L≤u≤Mid}
- 左半部分规模： Mid − L + 1 ≈ n / 2 \text{Mid} - L + 1 \approx n/2 Mid−L+1≈n/2
- 时间复杂度： O ( n / 2 ) = O ( n ) O(n/2) = O(n) O(n/2)=O(n)
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在右半部分 Mid + 1 , R \\text{Mid}+1, R Mid+1,R 找最高卖出价：
- 需要遍历右半部分的所有元素： S right = max { S u ∣ Mid + 1 ≤ u ≤ R } S\\text{right} = \max\{Su \mid \text{Mid}+1 \leq u \leq R\} Sright=max{Su∣Mid+1≤u≤R}
- 右半部分规模： R − ( Mid + 1 ) + 1 ≈ n / 2 R - (\text{Mid}+1) + 1 \approx n/2 R−(Mid+1)+1≈n/2
- 时间复杂度： O ( n / 2 ) = O ( n ) O(n/2) = O(n) O(n/2)=O(n)
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总时间 ： O ( n / 2 ) + O ( n / 2 ) = O ( n ) O(n/2) + O(n/2) = O(n) O(n/2)+O(n/2)=O(n)
为什么不能是 O ( 1 ) O(1) O(1)？
- 需要扫描整个子区间才能确定最小值/最大值
- 不能直接使用左右子问题的解，因为跨越中点时的最优选择可能不是子问题的最优解
- 例如：左子问题可能在市场2买入（4元），但跨越中点时市场4的买入价（2元）更低，应该选择市场4
正确递推式 ：
T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + O ( n ) T(n) = 2T(n/2) + O(n) T(n)=2T(n/2)+O(n)
复杂度求解（使用主方法）：
- a = 2 a = 2 a=2, b = 2 b = 2 b=2, f ( n ) = O ( n ) f(n) = O(n) f(n)=O(n)
- log b ( a ) = log 2 ( 2 ) = 1 \log_b(a) = \log_2(2) = 1 logb(a)=log2(2)=1
- f ( n ) = O ( n ) = O ( n 1 ) = O ( n log b ( a ) ) f(n) = O(n) = O(n^1) = O(n^{\log_b(a)}) f(n)=O(n)=O(n1)=O(nlogb(a))
- 情况2： T ( n ) = O ( n log n ) T(n) = O(n \log n) T(n)=O(nlogn)
🎯 核心要点总结
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问题本质 ：在约束条件下（ j ≥ i j \geq i j≥i）找到最优的买卖组合
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分治法三步骤：
- 底 ：只有一个市场时，利润 = S i − B i Si - Bi Si−Bi
- 分：将区间分成左右两部分
- 合：从三种情况中选择最优（左、右、跨越中点）
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关键技巧：跨越中点时，在左半部分找最低买入价，在右半部分找最高卖出价
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复杂度 ： O ( n log n ) O(n \log n) O(nlogn) 时间
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易错点：
- 不能直接使用左右子问题的解作为跨越中点的解
- 合并步骤的时间复杂度是O(n)，不是O(1)
💡 拓展思考
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如果允许多次买卖：这个问题会变成什么？可以用动态规划解决吗？
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如果允许往回开：问题会变得更简单还是更复杂？
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如果每个市场有交易成本：算法需要如何修改？
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与股票问题的区别：为什么股票问题可以转化为最大子数组问题，而这个问题不行？
📚 相关知识点
- 分治法：要点5-贪心法、分治法、动态规划
- 主方法：要点3-推导递推关系的渐进阶(主方法)
- 算法复杂度分析：要点2-比较不同函数的渐进阶大小
💡 记忆口诀：分治买卖苹果，左右分别求解，跨越中点找最低买最高卖，三者取最优！