【计算机算法与设计（10）】习题：苹果买卖问题——分治法的经典应用

文章目录

- [📖 问题描述：一次买卖，最大化利润](#📖 问题描述：一次买卖，最大化利润)
- [🧠 为什么不能用简单方法？](#🧠 为什么不能用简单方法？)
- - [❌ 错误思路1：贪心法（每次都选最便宜的买，最贵的卖）](#❌ 错误思路1：贪心法（每次都选最便宜的买，最贵的卖）)
  - [❌ 错误思路2：转化为最大子数组问题](#❌ 错误思路2：转化为最大子数组问题)
- [✅ 正确思路：分治法](#✅ 正确思路：分治法)
- - 分治法的三个步骤
  - - [1️⃣ **底（Base Case）**：最简单的情况](#1️⃣ 底（Base Case）：最简单的情况)
    - [2️⃣ **分（Divide）**：将问题一分为二](#2️⃣ 分（Divide）：将问题一分为二)
    - [3️⃣ **合（Combine）**：合并子问题的解](#3️⃣ 合（Combine）：合并子问题的解)
- [💻 算法伪代码](#💻 算法伪代码)
- [🔍 算法执行过程示例](#🔍 算法执行过程示例)
- - 递归树
  - 自底向上合并过程
- [📊 算法复杂度分析](#📊 算法复杂度分析)
- - 时间复杂度
- [⚠️ 常见错误与注意事项](#⚠️ 常见错误与注意事项)
- - 错误2：复杂度分析错误
- [🎯 核心要点总结](#🎯 核心要点总结)
- [💡 拓展思考](#💡 拓展思考)
- [📚 相关知识点](#📚 相关知识点)

📖 问题描述：一次买卖，最大化利润

想象你开着一辆车，从城市A到城市B，沿途经过n个苹果市场（编号1到n）。在每个市场i，你都知道：

买入价 B[i]：在这个市场买苹果的价格
卖出价 S[i]：在这个市场卖苹果的价格

约束条件：

车只能往前开，不能往回开
只能做一次买卖：在一个市场买入，在之后的市场卖出（ j ≥ i j \geq i j≥i）

目标：找到最优的买入市场i和卖出市场j，使得利润 S [ j ] − B [ i ] S[j] - B[i] S[j]−B[i] 最大（如果无法盈利，则最小化亏损）。

🧠 为什么不能用简单方法？

❌ 错误思路1：贪心法（每次都选最便宜的买，最贵的卖）

问题：最便宜的买入点可能在最贵的卖出点之后，违反了"不能往回开"的约束。

❌ 错误思路2：转化为最大子数组问题

常见错误 ：有些同学会联想到股票增值问题，试图将问题转化为最大连续子数组问题。

为什么不行：

股票问题中，同一天的买入价和卖出价相同，可以转化为价格差数组
但本题中，每个市场的买入价和卖出价不同，不能简单转化

例如：市场4的买入价是2元，卖出价是1元，如果在这里买卖会亏损1元，但我们可以在这里买入，到其他市场卖出。

✅ 正确思路：分治法

分治法的核心思想：将大问题分解为小问题，解决小问题，再合并结果。

分治法的三个步骤

1️⃣ 底（Base Case）：最简单的情况

如果只有一个市场，那么：

只能在这个市场买入并卖出
利润 = S [ i ] − B [ i ] S[i] - B[i] S[i]−B[i]

2️⃣ 分（Divide）：将问题一分为二

将区间 [ L , R ] [L, R] [L,R] 分成两个子区间：

左半部分： [ L , Mid ] [L, \text{Mid}] [L,Mid]
右半部分： [ Mid + 1 , R ] [\text{Mid}+1, R] [Mid+1,R]

其中 Mid = ⌊ ( L + R ) / 2 ⌋ \text{Mid} = \lfloor (L+R)/2 \rfloor Mid=⌊(L+R)/2⌋

⌊ ⌋ \lfloor \rfloor ⌊⌋:指的是地板函数：取下标。比如：当L=0，R=5时：(0+5)/2=2.5，⌊2.5⌋=2

3️⃣ 合（Combine）：合并子问题的解

最优解可能出现在三种情况中：

完全在左半部分：在左子区间内买入和卖出
完全在右半部分：在右子区间内买入和卖出
跨越中点：在左半部分买入，在右半部分卖出

关键点：对于跨越中点的情况，最优策略是：

在左半部分 选择最低的买入价 B [ left ] B[\text{left}] B[left]
在右半部分 选择最高的卖出价 S [ right ] S[\text{right}] S[right]
利润 = S [ right ] − B [ left ] S[\text{right}] - B[\text{left}] S[right]−B[left]

最终答案：从这三种情况中选择利润最大的。

💻 算法伪代码

shell 复制代码

算法：D&C-Max-Apple-Profit(B[], S[], L, R)
输入：买入价数组B[]，卖出价数组S[]，区间[L, R]
输出：最大利润M，买入市场i，卖出市场j

1. if L == R then                    // 底：只有一个市场
2.     M = S[L] - B[L]
3.     i = L, j = L
4.     return (M, i, j)
5. end if

6. else                              // 分：将问题分解
7.     Mid = ⌊(L+R)/2⌋
8.     (ML, IL, JL) = D&C-Max-Apple-Profit(B[], S[], L, Mid)      // 左子问题
9.     (MR, IR, JR) = D&C-Max-Apple-Profit(B[], S[], Mid+1, R)    // 右子问题
10.    
11.    // 合：合并子问题的解
12.    // 情况3：跨越中点的情况
13.    B[left] = min{B[u] | L ≤ u ≤ Mid}        // 左半部分最低买入价
14.    S[right] = max{S[u] | Mid+1 ≤ u ≤ R}    // 右半部分最高卖出价
15.    Mc = S[right] - B[left]                  // 跨越中点的利润
16.    
17.    // 从三种情况中选择最优
18.    if Mc > max(ML, MR) then
19.        M = Mc, i = left, j = right
20.    else if ML > MR then
21.        M = ML, i = IL, j = JL
22.    else
23.        M = MR, i = IR, j = JR
24.    end if
25.    
26.    return (M, i, j)
27. end else

🔍 算法执行过程示例

让我们用示例数据演示算法执行过程：

递归树

复制代码

                    [1,6]
                   /     \
              [1,3]      [4,6]
              /   \      /   \
          [1,2]  [3,3] [4,5] [6,6]
          /   \         /   \
       [1,1] [2,2]  [4,4] [5,5]

自底向上合并过程

第1层（叶子节点）：(底)

$1,1\]: M = 3 − 5 = − 2 M = 3-5 = -2 M=3−5=−2$
$3,3\]: M = 7 − 8 = − 1 M = 7-8 = -1 M=7−8=−1$
$5,5\]: M = 6 − 7 = − 1 M = 6-7 = -1 M=6−7=−1$

第2层：

1,2\]: * 左子问题（1,1）: M = − 2 M=-2 M=−2 * 右子问题(2,2): M = − 1 M=-1 M=−1 * 跨越中点: min ⁡ ( B \[ 1 \] , B \[ 2 \] ) = 4 \\min(B\[1\],B\[2\])=4 min(B\[1\],B\[2\])=4, max ⁡ ( S \[ 2 \] ) = 3 \\max(S\[2\])=3 max(S\[2\])=3, M c = 3 − 4 = − 1 M_c=3-4=-1 Mc=3−4=−1 * 最优: M = − 1 M=-1 M=−1 (右子问题或跨越中点)
- 左子问题: M = − 1 M=-1 M=−1
- 右子问题: M = − 1 M=-1 M=−1
- 跨越中点: min ⁡ ( B [ 4 ] ) = 2 \min(B[4])=2 min(B[4])=2, max ⁡ ( S [ 5 ] ) = 6 \max(S[5])=6 max(S[5])=6, M c = 6 − 2 = 4 M_c=6-2=4 Mc=6−2=4
- 最优: M = 4 M=4 M=4 (跨越中点)

第3层：

1,3\]: * 左子问题\[1,2\]: M = − 1 M=-1 M=−1 * 右子问题\[3,3\]: M = − 1 M=-1 M=−1 * 跨越中点: min ⁡ ( B \[ 1..2 \] ) = 4 \\min(B\[1..2\])=4 min(B\[1..2\])=4, max ⁡ ( S \[ 3 \] ) = 7 \\max(S\[3\])=7 max(S\[3\])=7, M c = 7 − 4 = 3 M_c=7-4=3 Mc=7−4=3 * 最优: M = 3 M=3 M=3 (跨越中点)
- 左子问题[4,5]: M = 4 M=4 M=4
- 右子问题[6,6]: M = − 2 M=-2 M=−2
- 跨越中点: min ⁡ ( B [ 4..5 ] ) = 2 \min(B[4..5])=2 min(B[4..5])=2, max ⁡ ( S [ 6 ] ) = 7 \max(S[6])=7 max(S[6])=7, M c = 7 − 2 = 5 M_c=7-2=5 Mc=7−2=5
- 最优: M = 5 M=5 M=5 (跨越中点)

第4层（根节点）：

$1,6\]: * 左子问题\[1,3\]: M = 3 M=3 M=3 * 右子问题\[4,6\]: M = 5 M=5 M=5 * 跨越中点: min ⁡ ( B \[ 1..3 \] ) = 4 \\min(B\[1..3\])=4 min(B\[1..3\])=4, max ⁡ ( S \[ 4..6 \] ) = 7 \\max(S\[4..6\])=7 max(S\[4..6\])=7, M c = 7 − 4 = 3 M_c=7-4=3 Mc=7−4=3 * 最优: M = 5 M=5 M=5 (右子问题)，买入市场4，卖出市场6$

📊 算法复杂度分析

时间复杂度

递推关系 ： T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + O ( n ) T(n) = 2T(n/2) + O(n) T(n)=2T(n/2)+O(n)

求解过程：

每次递归将问题分成两个子问题，每个子问题规模为 n / 2 n/2 n/2
合并步骤需要 O ( n ) O(n) O(n) 时间（找最小值和最大值）
根据主方法，时间复杂度为 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)

⚠️ 常见错误与注意事项

错误2：复杂度分析错误

错误递推式 ：
T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + O ( 1 ) ❌ 错误！ T(n) = 2T(n/2) + O(1) \quad \text{❌ 错误！} T(n)=2T(n/2)+O(1)❌ 错误！

错误原因：合并步骤需要处理跨越中点的情况，必须重新扫描整个子区间：

在左半部分 [ L , Mid ] [L, \text{Mid}] [L,Mid] 找最低买入价：
- 需要遍历左半部分的所有元素： B [ left ] = min ⁡ { B [ u ] ∣ L ≤ u ≤ Mid } B[\text{left}] = \min\{B[u] \mid L \leq u \leq \text{Mid}\} B[left]=min{B[u]∣L≤u≤Mid}
- 左半部分规模： Mid − L + 1 ≈ n / 2 \text{Mid} - L + 1 \approx n/2 Mid−L+1≈n/2
- 时间复杂度： O ( n / 2 ) = O ( n ) O(n/2) = O(n) O(n/2)=O(n)
在右半部分 [ Mid + 1 , R ] [\text{Mid}+1, R] [Mid+1,R] 找最高卖出价：
- 需要遍历右半部分的所有元素： S [ right ] = max ⁡ { S [ u ] ∣ Mid + 1 ≤ u ≤ R } S[\text{right}] = \max\{S[u] \mid \text{Mid}+1 \leq u \leq R\} S[right]=max{S[u]∣Mid+1≤u≤R}
- 右半部分规模： R − ( Mid + 1 ) + 1 ≈ n / 2 R - (\text{Mid}+1) + 1 \approx n/2 R−(Mid+1)+1≈n/2
- 时间复杂度： O ( n / 2 ) = O ( n ) O(n/2) = O(n) O(n/2)=O(n)
总时间 ： O ( n / 2 ) + O ( n / 2 ) = O ( n ) O(n/2) + O(n/2) = O(n) O(n/2)+O(n/2)=O(n)

为什么不能是 O ( 1 ) O(1) O(1)？

需要扫描整个子区间才能确定最小值/最大值
不能直接使用左右子问题的解，因为跨越中点时的最优选择可能不是子问题的最优解
例如：左子问题可能在市场2买入（4元），但跨越中点时市场4的买入价（2元）更低，应该选择市场4

正确递推式 ：
T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + O ( n ) T(n) = 2T(n/2) + O(n) T(n)=2T(n/2)+O(n)

复杂度求解（使用主方法）：

a = 2 a = 2 a=2, b = 2 b = 2 b=2, f ( n ) = O ( n ) f(n) = O(n) f(n)=O(n)
log ⁡ b ( a ) = log ⁡ 2 ( 2 ) = 1 \log_b(a) = \log_2(2) = 1 logb(a)=log2(2)=1
f ( n ) = O ( n ) = O ( n 1 ) = O ( n log ⁡ b ( a ) ) f(n) = O(n) = O(n^1) = O(n^{\log_b(a)}) f(n)=O(n)=O(n1)=O(nlogb(a))
情况2： T ( n ) = O ( n log ⁡ n ) T(n) = O(n \log n) T(n)=O(nlogn)

🎯 核心要点总结

问题本质 ：在约束条件下（ j ≥ i j \geq i j≥i）找到最优的买卖组合
分治法三步骤：
- 底：只有一个市场时，利润 = S [ i ] − B [ i ] S[i] - B[i] S[i]−B[i]
- 分：将区间分成左右两部分
- 合：从三种情况中选择最优（左、右、跨越中点）
关键技巧：跨越中点时，在左半部分找最低买入价，在右半部分找最高卖出价
复杂度 ： O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn) 时间
易错点：
- 不能直接使用左右子问题的解作为跨越中点的解
- 合并步骤的时间复杂度是O(n)，不是O(1)

💡 拓展思考

如果允许多次买卖：这个问题会变成什么？可以用动态规划解决吗？
如果允许往回开：问题会变得更简单还是更复杂？
如果每个市场有交易成本：算法需要如何修改？
与股票问题的区别：为什么股票问题可以转化为最大子数组问题，而这个问题不行？

📚 相关知识点

分治法：要点5-贪心法、分治法、动态规划
主方法：要点3-推导递推关系的渐进阶(主方法)
算法复杂度分析：要点2-比较不同函数的渐进阶大小

💡 记忆口诀：分治买卖苹果，左右分别求解，跨越中点找最低买最高卖，三者取最优！