第二篇：核心几何工具类详解

引言

在上一篇文章中，我们介绍了项目的基本情况和使用方法。本文我们将深入探讨核心几何工具类的设计原理、实现细节和使用技巧。

设计理念

我们的几何工具类设计遵循以下原则：

1. 面向对象设计：每个几何图形都是一个类，封装了相关的属性和方法
2. 易于使用：提供直观的API，隐藏复杂的计算细节
3. 功能完整：覆盖初中几何的主要计算需求
4. 可扩展性：模块化设计，易于添加新功能

Point类 - 几何的基础

设计思路

点是几何中最基本的元素，所有其他几何图形都由点构成。Point类封装了点的坐标和基本操作。

核心实现

class Point:
    def __init__(self, x: float, y: float, label: str = ''):
        self.x = x
        self.y = y
        self.label = label

主要方法

1. 距离计算

计算两点之间的欧几里得距离：

def distance_to(self, other: 'Point') -> float:
    return math.sqrt((self.x - other.x)**2 + (self.y - other.y)**2)

使用示例：

A = Point(0, 0, 'A')
B = Point(3, 4, 'B')
distance = A.distance_to(B)  # 结果: 5.0

这验证了勾股定理：3² + 4² = 5²。

2. 中点计算

计算两点的中点：

def midpoint(self, other: 'Point') -> 'Point':
    return Point((self.x + other.x) / 2, (self.y + other.y) / 2)

应用场景：

• 计算线段的中点
• 绘制三角形的中线
• 四边形的对角线交点

3. 点的平移

def translate(self, dx: float, dy: float) -> 'Point':
    return Point(self.x + dx, self.y + dy, self.label)

使用示例：

# 创建一个点
A = Point(2, 3, 'A')

# 向右平移3个单位，向上平移2个单位
A_translated = A.translate(3, 2)  # 结果: Point(5, 5, 'A')

Line类 - 直线的表示与计算

设计思路

直线由两个点确定。我们使用两点式表示直线，并提供多种计算方法。

核心实现

class Line:
    def __init__(self, p1: Point, p2: Point, label: str = ''):
        self.p1 = p1
        self.p2 = p2
        self.label = label

主要方法

1. 斜率计算

def slope(self) -> Optional[float]:
    dx = self.p2.x - self.p1.x
    if abs(dx) < 1e-10:
        return None  # 垂直线
    return (self.p2.y - self.p1.y) / dx

注意事项：

• 垂直线没有斜率（返回None）
• 水平线的斜率为0
• 使用容差（1e-10）处理浮点数误差

2. 直线方程

将直线转换为一般式方程 ax + by + c = 0：

def equation(self) -> Tuple[float, float, float]:
    a = self.p2.y - self.p1.y
    b = self.p1.x - self.p2.x
    c = self.p2.x * self.p1.y - self.p1.x * self.p2.y
    return (a, b, c)

应用场景：

• 计算两条直线的交点
• 计算点到直线的距离
• 判断点是否在直线上

3. 平行和垂直判断

def is_parallel_to(self, other: 'Line') -> bool:
    s1 = self.slope()
    s2 = other.slope()
    if s1 is None and s2 is None:
        return True  # 都是垂直线
    if s1 is None or s2 is None:
        return False
    return abs(s1 - s2) < 1e-10

def is_perpendicular_to(self, other: 'Line') -> bool:
    s1 = self.slope()
    s2 = other.slope()
    if s1 is None:
        return s2 == 0  # 一条垂直，一条水平
    if s2 is None:
        return s1 == 0
    return abs(s1 * s2 + 1) < 1e-10

数学原理：

• 两条直线平行 ⟺ 斜率相等（或都是垂直线）
• 两条直线垂直 ⟺ 斜率乘积为-1

4. 交点计算

计算两条直线的交点：

def intersection(self, other: 'Line') -> Optional[Point]:
    a1, b1, c1 = self.equation()
    a2, b2, c2 = other.equation()
    
    denominator = a1 * b2 - a2 * b1
    if abs(denominator) < 1e-10:
        return None  # 平行或重合
    
    x = (b1 * c2 - b2 * c1) / denominator
    y = (a2 * c1 - a1 * c2) / denominator
    return Point(x, y)

应用示例：

# 创建两条直线
line1 = Line(Point(0, 0), Point(2, 2))
line2 = Line(Point(0, 2), Point(2, 0))

# 计算交点
intersection = line1.intersection(line2)
print(intersection)  # Point(1.0, 1.0)

5. 点到直线的距离

def distance_to_point(self, point: Point) -> float:
    a, b, c = self.equation()
    return abs(a * point.x + b * point.y + c) / math.sqrt(a**2 + b**2)

公式推导 ：

点到直线 ax + by + c = 0 的距离为：
d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}d=a2+b2 ∣ax0+by0+c∣

6. 垂直平分线

def perpendicular_bisector(self) -> 'Line':
    mid = self.p1.midpoint(self.p2)
    dx = self.p2.x - self.p1.x
    dy = self.p2.y - self.p1.y
    p2 = Point(mid.x - dy, mid.y + dx)
    return Line(mid, p2)

应用场景：

• 三角形的外心（三条垂直平分线的交点）
• 圆的弦的垂直平分线

Circle类 - 圆的计算

设计思路

圆由圆心和半径确定。我们提供了圆的各种计算功能。

核心实现

class Circle:
    def __init__(self, center: Point, radius: float, label: str = ''):
        self.center = center
        self.radius = radius
        self.label = label

主要方法

1. 面积和周长

def area(self) -> float:
    return math.pi * self.radius ** 2

def circumference(self) -> float:
    return 2 * math.pi * self.radius

2. 圆上的点

根据角度获取圆上的点：

def point_on_circle(self, angle: float) -> Point:
    x = self.center.x + self.radius * math.cos(angle)
    y = self.center.y + self.radius * math.sin(angle)
    return Point(x, y)

使用示例：

circle = Circle(Point(0, 0), 3)
# 获取0度（右侧）的点
p1 = circle.point_on_circle(0)  # Point(3.0, 0.0)
# 获取90度（上方）的点
p2 = circle.point_on_circle(math.pi / 2)  # Point(0.0, 3.0)

3. 弦长和弧长

def chord_length(self, angle: float) -> float:
    return 2 * self.radius * math.sin(angle / 2)

def arc_length(self, angle: float) -> float:
    return self.radius * angle

数学原理：

• 弦长公式：c=2rsin⁡(θ/2)c = 2r\sin(\theta/2)c=2rsin(θ/2)
• 弧长公式：l=rθl = r\thetal=rθ（θ\thetaθ为弧度）

4. 扇形面积

def sector_area(self, angle: float) -> float:
    return 0.5 * self.radius ** 2 * angle

5. 切线计算

计算圆上某点的切线：

def tangent_at_point(self, point: Point) -> Optional['Line']:
    if not self.contains_point(point):
        return None
    
    dx = point.x - self.center.x
    dy = point.y - self.center.y
    
    # 切线方向垂直于半径
    p2 = Point(point.x - dy, point.y + dx)
    return Line(point, p2)

数学原理 ：

切线与半径垂直，所以切线的方向向量是半径方向向量的垂直向量。

Triangle类 - 三角形的完整功能

设计思路

三角形是几何中的重要图形，我们提供了丰富的计算方法。

核心实现

class Triangle:
    def __init__(self, p1: Point, p2: Point, p3: Point, label: str = ''):
        self.p1 = p1
        self.p2 = p2
        self.p3 = p3
        self.label = label

主要方法

1. 面积计算（海伦公式）

def area(self) -> float:
    a, b, c = self.side_lengths()
    s = (a + b + c) / 2  # 半周长
    return math.sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

海伦公式 ：
S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}S=s(s−a)(s−b)(s−c)

其中 s=a+b+c2s = \frac{a+b+c}{2}s=2a+b+c 是半周长。

2. 内角计算（余弦定理）

def angles(self) -> Tuple[float, float, float]:
    a, b, c = self.side_lengths()
    
    angle1 = math.acos(max(-1, min(1, (b**2 + c**2 - a**2) / (2 * b * c))))
    angle2 = math.acos(max(-1, min(1, (a**2 + c**2 - b**2) / (2 * a * c))))
    angle3 = math.acos(max(-1, min(1, (a**2 + b**2 - c**2) / (2 * a * b))))
    
    return (angle1, angle2, angle3)

余弦定理 ：
cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}cosA=2bcb2+c2−a2

3. 特殊点计算

重心（Centroid）：

def centroid(self) -> Point:
    x = (self.p1.x + self.p2.x + self.p3.x) / 3
    y = (self.p1.y + self.p2.y + self.p3.y) / 3
    return Point(x, y, "G")

重心是三条中线的交点，坐标是三个顶点坐标的平均值。

外心（Circumcenter）：

def circumcenter(self) -> Point:
    line1 = Line(self.p1, self.p2).perpendicular_bisector()
    line2 = Line(self.p2, self.p3).perpendicular_bisector()
    return line1.intersection(line2)

外心是三条垂直平分线的交点。

内心（Incenter）：

def incenter(self) -> Point:
    a, b, c = self.side_lengths()
    perimeter = a + b + c
    x = (a * self.p1.x + b * self.p2.x + c * self.p3.x) / perimeter
    y = (a * self.p1.y + b * self.p2.y + c * self.p3.y) / perimeter
    return Point(x, y, "I")

内心是三条角平分线的交点，坐标是顶点坐标的加权平均，权重是对边长。

垂心（Orthocenter）：

def orthocenter(self) -> Point:
    line1 = self._altitude(self.p1)
    line2 = self._altitude(self.p2)
    return line1.intersection(line2)

垂心是三条高线的交点。

4. 高、中线、角平分线

这些方法在三角形类中都有实现，用于绘制和计算。

GeometryVisualizer类 - 可视化工具

设计思路

可视化器封装了matplotlib的复杂操作，提供简单易用的API。

核心功能

1. 初始化

def __init__(self, figsize: Tuple[int, int] = (10, 8), dpi: int = 100):
    self.fig, self.ax = plt.subplots(figsize=figsize, dpi=dpi)
    self.ax.set_aspect('equal')  # 保持纵横比
    self.ax.grid(True, alpha=0.3)  # 显示网格

2. 绘制方法

所有绘制方法都支持颜色、大小、透明度等参数，使用简单直观。

3. 自动调整坐标轴

def auto_limits(self, points: List[Point], margin: float = 1.0):
    x_coords = [p.x for p in points]
    y_coords = [p.y for p in points]
    
    x_min, x_max = min(x_coords), max(x_coords)
    y_min, y_max = min(y_coords), max(y_coords)
    
    self.ax.set_xlim(x_min - margin, x_max + margin)
    self.ax.set_ylim(y_min - margin, y_max + margin)

使用技巧

1. 组合使用多个类

# 创建三角形
triangle = Triangle(Point(0, 0), Point(3, 0), Point(1.5, 2))

# 计算外心
circumcenter = triangle.circumcenter()

# 计算外接圆半径
radius = circumcenter.distance_to(triangle.p1)

# 创建外接圆
circumcircle = Circle(circumcenter, radius)

# 可视化
viz = GeometryVisualizer()
viz.plot_triangle(triangle)
viz.plot_circle(circumcircle, fill=False)
viz.show()

2. 处理浮点数误差

在几何计算中，浮点数误差是常见问题。我们使用容差（如1e-10）来处理：

# 判断两条直线是否平行
if abs(slope1 - slope2) < 1e-10:
    print("两条直线平行")

3. 性能优化

对于大量点的计算，可以考虑使用numpy数组来提高性能。

总结

本文详细介绍了核心几何工具类的设计原理和实现细节：

1. Point类：几何的基础，提供距离、中点等基本操作
2. Line类：直线的表示和计算，包括斜率、交点、距离等
3. Circle类：圆的计算，包括面积、周长、弦长、弧长等
4. Triangle类：三角形的完整功能，包括面积、内角、特殊点等
5. GeometryVisualizer类：可视化工具，简化图形绘制

这些工具类为后续的示例应用提供了坚实的基础。在下一篇文章中，我们将介绍如何使用这些工具来解决具体的三角形问题。