社交网络不仅塑造着我们与现实世界的连接方式，更隐藏着复杂的关系结构与传播规律。
从寻找"你可能认识的人 "到引导热门话题，这些看似简单的功能背后，是"社交网络挖掘"这一学科的精妙理论体系。
它不仅关心谁与谁相连，更关注这些连接如何随时间演变、如何形成社区 ，以及信息与影响力如何在网络中共振。
本文将从网络的动态特性出发，解析中心性与声望 如何衡量节点的关键性，探讨社区检测如何揭示内部紧密的群体，
并深入介绍链接预测 与影响力最大化的算法逻辑，为你揭开社交网络海量数据背后的运行机理。
目录
[1. 特性](#1. 特性)
[2. 中心性与声望 centrality & prestige](#2. 中心性与声望 centrality & prestige)
[3. Community Detection 找社区](#3. Community Detection 找社区)
[3.1 Kernighan-Lin 迭代改进式分两团](#3.1 Kernighan-Lin 迭代改进式分两团)
[3.2 Girvan-Newman 自顶向下](#3.2 Girvan-Newman 自顶向下)
[3.3 Multi-Level Gragh Partitioning 多层划分](#3.3 Multi-Level Gragh Partitioning 多层划分)
[4. 分类 & 标签传播](#4. 分类 & 标签传播)
[4.1 Spectral Clustering 谱聚类 - 拉普拉斯特征分解](#4.1 Spectral Clustering 谱聚类 - 拉普拉斯特征分解)
[4.2 迭代分类算法（ICA）-- 解决初始标签稀疏](#4.2 迭代分类算法（ICA）-- 解决初始标签稀疏)
[4.3 Label Propagation with Random Walks 随机游走标签传播](#4.3 Label Propagation with Random Walks 随机游走标签传播)
[5. Link Prediction 预测未来新的连边生成 - 你可能认识的人](#5. Link Prediction 预测未来新的连边生成 - 你可能认识的人)
[6. Social Influence Analysis 社交影响力分析 - 贪心](#6. Social Influence Analysis 社交影响力分析 - 贪心)
[6.1 Linear Threshold Model 线性阈值模型 定义种子点集的影响力](#6.1 Linear Threshold Model 线性阈值模型 定义种子点集的影响力)
1. 特性
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Tradic Closure 三元闭包： 有共友的两个人，未来成为朋友的可能性会更高。
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社交网络动态性 ：Degree 度越高 ，未来被其他点连到的概率更大。
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边数随节点数的增长幅度 超线性 1~2次；
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任意两个节点平均距离很小（通过六个人连接某某）小世界效应
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随着网络逐渐密集化 ，节点之间的平均距离会随时间缩小 ，出现一个 "巨型连通分量"。
互联网社交、信息传播 数据的发展：
（推荐系统抖音小红书，刚注册就推一堆人，这些人很多都是粉丝量已经很大的 很火的人）
20年前邮件通讯为主的时候，关注垃圾邮件问题；
搜索引擎火的时候 创建假网站链接，提高 PageRank 分数；
现在 创账号涨粉 ，粉丝量高之后虹吸效应。
2. 中心性与声望 centrality & prestige
无向图 （QQ 微信 互相认识）有向图（小红书 抖音 关注、粉丝）
无向图 Centrality 中心性；值高的对整个社交网络影响大。
有向图 Prestige 权威性 （被很多点指向）粉丝很多；
gregariousness 群居性（指向了很多点）关注了很多；
中心 不止看单个点性质，要看对整个网络的作用 。有的可能粉丝多，但信息传播上作用不大。
（传播作用 比如一个大V说的话，它的粉丝传出去，媒体再传）
1. 物理中心 ：到其他点平均距离越低，越在中心。
- Proximity Prestige 近距声望：能传播到的人
Influence(i) 可通过指向到达 i的点的个数（指向代表关注 说明是直接/间接粉丝）
代表 i 发出的信息，能通过粉丝关系 传播出去覆盖的用户数。
- 刻画影响信息流动的点（对网络连通性影响）
betweenness centralnality 两两最短路通过这个点的比例。
3. Community Detection 找社区
有高度数的 hub 中心 连接不同 community。
3.1 Kernighan-Lin 迭代改进式分两团
最大化社区内部的边数 （等价地，最小化社区之间的边数）
先初始化 分两团，再不断贪心地 从两端挑两个对调，来提高目标函数。
我们定义一个节点 x 的 外部代价 和 内部代价：衡量 x 在哪一端合适。
-
E_x：节点 x 与另一个社区相连的边数。 -
I_x：节点 x 与自己所在社区相连的边数。 D_x = E_x - I_x D_x 越大越该对调。 -
g_xy = D_x + D_y - 2 * w_{x,y} 对调 x,y 的收益
-
（减去 2*(x,y)是否连接 因为 x,y 都还在对方对面没变）
3.2 Girvan-Newman 自顶向下
high betweenness 的关键边 ，连接不同 cluster 的概率大。
（断掉之后很多路通不了 ，分成了小块）不断把 最关键的边打断。
edge betweenness 计算过程：
-
每次指定一个起始点 s ，算单源最短路，到每个点最短路径长度SP 和数目 N。
-
从最远的节点回退，每条边贡献 = 子节点的 "流量" × [父节点的最短路径数 / 子节点的所有父节点的最短路径数之和]。
每次重复 1. 删掉 betweenness 最高的那条边 2. 整体重算一下 edge betweenness。
3.3 Multi-Level Gragh Partitioning 多层划分
METIS 快速获得高质量解：
- compress 相邻节点合并（粗化）为一个节点；
（合并配对 方法：未匹配的和未匹配 任意 邻居，权重最大 的邻居，边密度最高的邻居）
- 再对小图进行划分 （简单）；3. 再映射回去（反粗化）。
4. 分类 & 标签传播
4.1 Spectral Clustering 谱聚类 - 拉普拉斯特征分解
把节点映射到多维空间 中，同时保留网络的 "局部聚类结构"（之前相近 映射后也相近）。
给定边权矩阵W，为每个节点学习一个嵌入 y ，边权大的距离要小。
展开为对角阵的 和 两两的。
拉普拉斯矩阵 L = 对角度矩阵 - 邻接矩阵 W，可改写为如下的约束问题：
其中 对角阵
拉普拉斯 
对拉格朗日乘子求导得，y为矩阵 
的特征向量：
4.2 迭代分类算法（ICA）-- 解决初始标签稀疏
只有少量节点的标签已知 ，需要用这些已知标签，给未知标签的节点做分类。
（难点：初始标签稀疏）
思路：属性相似 的节点通常是相连 的（社交网络中的 "同质性 "，比如兴趣相同的用户会互相关注）
迭代自训练框架 ------ 通过不断把 "高置信度 的预测结果" 加入训练集 ，缓解 "标签稀疏" 的问题。
利用节点特征以外 额外构造 link feature 链接特征：
邻居的 "类别分布"、节点的度、PageRank 值、连通性等等。
优点 ： 1. 能同时利用 "节点内容 特征" 和 "图结构特征" 进行分类；
- 不强烈依赖 "同质性" 假设，因此可用于社交网络之外的领域。
缺点 ： 早期迭代中预测错误 的标签，会被加入训练集，导致后续错误不断传播、放大。
4.3 Label Propagation with Random Walks 随机游走标签传播
让随机游走从无标签节点出发 ，最终停在有标签节点 ，用停留概率给无标签节点分配标签。
"最可能终止 " 的标签，就是节点 i 的预测标签。
关键假设：图必须是标签连通的 ------ 每个无标签节点都能通过随机游走到达至少一个有标签节点。
转移矩阵 P 的构建：
- 移除有标签 节点的出边，替换为自环。
- 无标签节点按所有出边的权重比例 ，作为游走概率。
π 作为走 t 步之后在某点的概率：初始是自己概率为1 其他概率为 0。
乘以P进行转移 
无穷次后收敛 
求解收敛的 P ∞ 用特征值分解。
性质：△ 的特征值绝对值都不超过 1 ，无穷次方则 只有λ=1 的位置是1，其余都是0。
5. Link Prediction 预测未来新的连边生成 - 你可能认识的人
- 结构型 ：两个节点若在邻居中共享相似节点，则更可能建立连接；
指标：共友数 ，朋友交集 除以并集 ，共友权重求和（朋友少的权重高）
路径：i 到 j 长度为 t 的路径数，乘以系数的 t 次方。
- 内容型 ：节点若有相似的内容，则更可能形成链接。
建模为二分类问题（有链接 还是没链接）作为正负样本。
建模为缺失值估计 问题，对于邻接矩阵 为 0 的位置还没链接；当作一个缺失值，算未来链接概率。
6. Social Influence Analysis 社交影响力分析 - 贪心
在社交网络中选 k 个"种子节点"，通过在这些节点上传播信息，实现影响力的最大化。
（做广告的 如何选用户推广 信息）k 是预算范围内 能推广的用户数。
边际效益递减：前 k-1 个点集基础上 加第 k 个点的边际效益；大于前 k 个点集基础上 加第 k+1 个点。
用贪心 ，每次取增加影响力最大的；由于次模性 ，保证结果不低于最优解的 e-1 / e ≈ 0.632
6.1 Linear Threshold Model 线性阈值模型 定义种子点集的影响力
是否接受到影响 -> 激活与非激活；被激活将一直保持 并会传播给未激活的。
定义活跃邻居影响力 ：被激活 的邻居 边权和
预先定义了每个节点的 激活阈值 （可用一个均匀分布 活跃邻居影响力超过阈值则被激活）
种子节点都设定激活后，不断循环激活；直至没有新点能被激活了。