有向无环图
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一、有向无环图的定义
有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG ）是一类特殊的有向图，其核心特征是不存在任何有向环，即从任意顶点出发，沿着有向边遍历，无法回到该顶点。
有向无环图可形式化表示为 G=(V,E)，其中 V 为顶点集合，E 为有向边集合，且图中不存在满足 v₀=vₖ 且包含至少一条边的有向路径 v₀→v₁→...→vₖ。
二、有向无环图的核心概念
1. 顶点的入度与出度
- 入度 ：以该顶点为终点的有向边数量，入度为 0 的顶点称为源点；
- 出度 ：以该顶点为起点的有向边数量，出度为 0 的顶点称为汇点；
- 一个DAG至少存在一个源点和一个汇点（可通过拓扑排序证明）。
2. 拓扑序列
对DAG顶点的一种线性排序，满足：若图中存在有向边 <u,v>，则在序列中 u 一定位于 v 之前。
- 一个DAG的拓扑序列不唯一，例如课程依赖图可能有多种合法的学习顺序。
3. 关键路径
在带权DAG中，从源点到汇点的最长路径称为关键路径，路径上的顶点和边为关键任务，决定了整个工程的最短完成时间。
4. 可达性
对于DAG中的两个顶点 u 和 v，若存在从 u 到 v 的有向路径，则称 v 可由 u 到达，DAG的可达性可通过拓扑排序或DFS高效判断。
三、有向无环图的存储方式
DAG的存储方式与普通有向图一致，常用以下两种：
1. 邻接矩阵
用 n×n 二维数组存储，adj[i][j] 表示是否存在从顶点 i 到 j 的有向边，无环特性不影响存储结构，仅需保证矩阵对应的图无环。
- 优点：查询边是否存在的时间复杂度为
O(1)； - 缺点：空间复杂度为
O(n²)，适合顶点数较少的DAG。
2. 邻接表
为每个顶点维护一个邻接顶点列表（带权DAG则存储（邻接顶点，权重）二元组），同时可维护入度数组，用于拓扑排序。
- 优点：空间复杂度为
O(|V|+|E|)，适合稀疏DAG； - 缺点：查询边是否存在需遍历邻接表，时间复杂度为
O(outdeg(u))。
四、有向无环图的核心算法
1. 拓扑排序
拓扑排序是DAG的标志性算法，有两种经典实现方式：
（1）Kahn算法（入度贪心算法）
- 核心思想：优先选择入度为 0 的顶点加入拓扑序列，再删除该顶点的所有出边，更新邻接顶点的入度，重复此过程直到所有顶点处理完毕。
- 步骤
- 初始化入度数组，统计每个顶点的入度；
- 将所有入度为 0 的顶点加入队列；
- 依次取出队列顶点，加入拓扑序列，并将其邻接顶点的入度减 1，若邻接顶点入度变为 0 则加入队列；
- 若最终拓扑序列长度等于顶点数，则为合法DAG，否则存在环。
- 时间复杂度：
O(|V|+|E|)，可同时检测图是否为DAG。
（2）DFS逆序法
- 核心思想：通过DFS遍历顶点，当顶点的所有后代顶点都处理完毕后，将其加入栈，最终栈的逆序即为拓扑序列。
- 步骤
- 初始化访问标记数组，遍历所有未访问顶点；
- 对每个顶点执行DFS，递归访问其邻接顶点；
- 递归回溯时将当前顶点压入栈；
- 遍历完成后，依次弹出栈中元素得到拓扑序列。
- 时间复杂度：
O(|V|+|E|)，适合需要同时处理连通分量的场景。
2. 关键路径算法
- 核心步骤
- 对DAG进行拓扑排序，得到拓扑序列；
- 按拓扑序计算每个顶点的最早开始时间 （
ve）：ve[v] = max(ve[u] + weight(u,v))，其中u是v的前驱顶点； - 逆拓扑序计算每个顶点的最晚开始时间 （
vl）：vl[u] = min(vl[v] - weight(u,v))，其中v是u的后继顶点； - 若顶点的
ve等于vl，则该顶点在关键路径上，对应的边为关键边。
3. 最长路径求解
在DAG中可通过拓扑排序高效求解单源最长路径：
- 对DAG进行拓扑排序；
- 按拓扑序松弛顶点的出边，更新后继顶点的最长距离，时间复杂度为
O(|V|+|E|)。
五、有向无环图的实现示例
1. 邻接表实现（含拓扑排序与关键路径）
python
from collections import deque
class DAG:
def __init__(self, num_vertices):
self.num_vertices = num_vertices
self.adj_list = [[] for _ in range(num_vertices)] # (v, weight)
self.indegree = [0] * num_vertices # 入度数组
def add_edge(self, u, v, weight=1):
"""添加有向边<u,v>，默认权重为1"""
self.adj_list[u].append((v, weight))
self.indegree[v] += 1
def topological_sort_kahn(self):
"""Kahn算法实现拓扑排序，返回拓扑序列"""
queue = deque()
# 初始化入度为0的顶点
for i in range(self.num_vertices):
if self.indegree[i] == 0:
queue.append(i)
topo_order = []
while queue:
u = queue.popleft()
topo_order.append(u)
# 遍历u的出边，更新邻接顶点入度
for v, _ in self.adj_list[u]:
self.indegree[v] -= 1
if self.indegree[v] == 0:
queue.append(v)
if len(topo_order) != self.num_vertices:
raise ValueError("图中存在环，不是有向无环图")
return topo_order
def critical_path(self):
"""求解关键路径，返回关键顶点列表"""
try:
topo_order = self.topological_sort_kahn()
except ValueError as e:
return str(e)
# 1. 计算最早开始时间ve
ve = [0] * self.num_vertices
for u in topo_order:
for v, w in self.adj_list[u]:
if ve[v] < ve[u] + w:
ve[v] = ve[u] + w
# 2. 计算最晚开始时间vl
vl = [ve[-1]] * self.num_vertices # 汇点的vl等于其ve
for u in reversed(topo_order):
for v, w in self.adj_list[u]:
if vl[u] > vl[v] - w:
vl[u] = vl[v] - w
# 3. 筛选关键顶点（ve[u] == vl[u]）
critical_vertices = [u for u in range(self.num_vertices) if ve[u] == vl[u]]
return critical_vertices, ve[-1] # 返回关键顶点和工程最短完成时间使用示例
python
# 初始化6个顶点的DAG（模拟项目任务依赖）
dag = DAG(6)
# 添加带权边：u->v，权重为任务耗时
dag.add_edge(0, 1, 3)
dag.add_edge(0, 2, 2)
dag.add_edge(1, 3, 2)
dag.add_edge(2, 3, 4)
dag.add_edge(3, 4, 3)
dag.add_edge(3, 5, 2)
dag.add_edge(4, 5, 1)
# 拓扑排序
topo = dag.topological_sort_kahn()
print("拓扑序列:", topo) # 输出如[0,2,1,3,4,5]
# 关键路径
critical_vertices, min_time = dag.critical_path()
print("关键顶点:", critical_vertices) # 输出关键顶点列表
print("工程最短完成时间:", min_time) # 输出总耗时六、有向无环图的典型应用
- 任务调度：如软件开发中的模块编译顺序、项目管理中的任务执行流程，通过拓扑排序确定合法执行顺序；
- 课程安排：大学课程的先修依赖关系，拓扑序列为合法的选课顺序；
- 依赖解析：包管理工具（如Maven、npm）的依赖关系分析，避免循环依赖并确定安装顺序；
- 项目进度规划：通过关键路径算法确定项目的关键任务和最短完成时间；
- 编译优化：编译器中表达式的求值顺序、代码的指令重排，利用DAG消除公共子表达式。