PINN静电场问题建模求解---平行金属板间电场

怡步晓心l2025-12-13 14:55

PINN静电场问题建模求解---平行金属板间电场

PINN 基础理论与最简示例（含Python代码）中介绍了最基础的微分方程的求解，下面我们聚焦电磁场问题实际求解一下看看。

这个问题已经在Maxwell和C++中求解过了，可以看我之前的博客：平行金属板间电场在Maxwell中的求解和MFEM+GMSH静电场问题建模求解---平行金属板间电场。

下面我们看看如何在PINN中求解这个问题。

目录

0、问题定义

定义的问题如下，左边金属平行板电压为 1 V 1V 1V，右侧为 0 V 0V 0V，中间填充物质介电常数为 1 1 1，电荷密度为 1 0 − 8 C / m 2 {10^{ - 8}}C/{m^2} 10−8C/m2。求解平行板之间的电压分布：

1、PINN求解

1.1、明确方程与边界

我们要求解以下一维泊松方程：

d 2 V ( x ) d x 2 = − ρ v ϵ 0 ϵ r \frac{d^2 V(x)}{dx^2} = -\frac{\rho_v}{\epsilon_0 \epsilon_r} dx2d2V(x)=−ϵ0ϵrρv

边界条件为：

V ( 0 ) = 1   V , V ( d ) = 0   V V(0) = 1 \,\text{V}, \qquad V(d) = 0 \,\text{V} V(0)=1V,V(d)=0V

其中参数为：

  • 电荷密度： ρ v = − 1 × 1 0 − 8 C/m 2 \rho_v = -1 \times 10^{-8}\ \text{C/m}^2 ρv=−1×10−8 C/m2
  • 板间距： d = 0.08 m d = 0.08\ \text{m} d=0.08 m
  • 相对介电常数： ϵ r = 1 \epsilon_r = 1 ϵr=1
  • 真空介电常数： ϵ 0 = 8.854 × 1 0 − 12 F/m \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\ \text{F/m} ϵ0=8.854×10−12 F/m

很好，这样分段贴代码确实更适合写博客，那我就按你给的结构，把这一节整理一版「可直接放博客」的版本（语气尽量教程风，不啰嗦）。

1.2、PINN 训练流程解析

接下来这段训练函数，就是把上面的泊松方程和边界条件"翻译"成 loss，然后用神经网络去拟合的全过程。

1.2.1、优化器与学习率调度

一开始先构建优化器和学习率调度器：

  • 使用 Adam 作为优化器，对 model 里全部参数做更新；
  • 使用 ReduceLROnPlateau，当损失长时间降不下去时，自动把学习率乘一个系数（这里是 0.8）。

这个调度器的作用是：前期用稍大的学习率快速下降，后期当 loss 平稳时自动"刹车"，避免在极小值附近乱跳。

python 复制代码 
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=lr)
scheduler = torch.optim.lr_scheduler.ReduceLROnPlateau(
    optimizer, 'min', patience=1000, factor=0.8
)  # 自适应调整学习率
1.2.2、物理常数与泊松方程常数项
python 复制代码 
# 电荷密度和介电常数
rho_v = 1e-8        # 电荷密度 (C/m^2)
epsilon_0 = 8.854e-12  # 真空介电常数 (F/m)
epsilon_r = 1       # 填充物的相对介电常数
# 计算泊松方程的常数项
poisson_constant = -rho_v / (epsilon_0 * epsilon_r)  # 计算常数项

在训练函数里，先把物理量写清楚：

  • 电荷密度（物理上是负的）：

    ρ v = − 1 × 1 0 − 8 C/m 2 \rho_v = -1\times 10^{-8}\ \text{C/m}^2 ρv=−1×10−8 C/m2

    代码中是通过
    rho_v = 1e-8 和
    poisson_constant = -rho_v / (epsilon_0 * epsilon_r)

    这两个符号叠加来实现"带负号"的效果。

  • 真空介电常数：

    ϵ 0 = 8.854 × 1 0 − 12 F/m \epsilon_0 = 8.854\times 10^{-12}\ \text{F/m} ϵ0=8.854×10−12 F/m

  • 相对介电常数：

    ϵ r = 1 \epsilon_r = 1 ϵr=1

目标 PDE 写成：

d 2 V ( x ) d x 2 = − ρ v ϵ 0 ϵ r \frac{d^2 V(x)}{dx^2} = -\frac{\rho_v}{\epsilon_0 \epsilon_r} dx2d2V(x)=−ϵ0ϵrρv

对应到代码里，我们构造：

poisson_constant = − ρ v ϵ 0 ϵ r \text{poisson\_constant} = -\frac{\rho_v}{\epsilon_0 \epsilon_r} poisson_constant=−ϵ0ϵrρv

后面在残差中使用：

u x x ( x ) + poisson_constant ≈ 0 u_{xx}(x) + \text{poisson\_constant} \approx 0 uxx(x)+poisson_constant≈0

也就是：

u x x ( x ) ≈ − poisson_constant = ρ v ϵ 0 ϵ r u_{xx}(x) \approx -\text{poisson\_constant} = \frac{\rho_v}{\epsilon_0 \epsilon_r} uxx(x)≈−poisson_constant=ϵ0ϵrρv

和原始泊松方程是一致的（注意这里的符号关系）。

1.2.3、PDE 残差点：在内部点上强制满足泊松方程

在每个 epoch 里，首先会在区间 ([0,d]) 上随机采样一批内部点：

python 复制代码 
x_r = torch.rand(n_residual, 1, requires_grad=True) * 0.08  # 0~0.08m
u_r = model(x_r)

  • 这一步等价于从区间 [ 0 , 0.08 ] [0, 0.08] [0,0.08] 随机取 n_residual 个点，对应物理上的板间空间；

  • requires_grad=True 是为了后面能对 x_r 求导；

  • u_r = model(x_r) 就是网络给出的电势预测：

    u θ ( x r ) ≈ V ( x r ) u_\theta(x_r) \approx V(x_r) uθ(xr)≈V(xr)

接着使用自动微分计算一阶、二阶导数：

python 复制代码 
u_x = torch.autograd.grad(
    outputs=u_r,
    inputs=x_r,
    grad_outputs=torch.ones_like(u_r),
    create_graph=True
)[0]

u_xx = torch.autograd.grad(
    outputs=u_x,
    inputs=x_r,
    grad_outputs=torch.ones_like(u_x),
    create_graph=True
)[0]

对应数学上：

  • 一阶导：

    u x = d u θ d x u_x = \frac{du_\theta}{dx} ux=dxduθ

  • 再求导得到二阶导：

    u x x = d 2 u θ d x 2 u_{xx} = \frac{d^2 u_\theta}{dx^2} uxx=dx2d2uθ

create_graph=True 的作用是保留计算图，允许继续对梯度再求梯度（即二阶导）。

然后构造 PDE 残差：

python 复制代码 
residual = u_xx + poisson_constant
loss_pde = torch.mean(residual ** 2)

残差在数学上就是：

residual ( x ) = u x x ( x ) + poisson_constant \text{residual}(x) = u_{xx}(x) + \text{poisson\_constant} residual(x)=uxx(x)+poisson_constant

在所有内部点上做均方平均：

L PDE = 1 N r ∑ i = 1 N r ( residual ( x i ) ) 2 L_{\text{PDE}} = \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \text{residual}(x_i) \right)^2 LPDE=Nr1i=1∑Nr(residual(xi))2

这就是 PDE 残差 loss，用来在整个区域内强制网络满足泊松方程。

1.2.4、边界条件损失：两端点上强制电压为 1 V 和 0 V

然后是边界条件部分。根据题目要求：

  • 左端板：

    V ( 0 ) = 1 V V(0) = 1\ \text{V} V(0)=1 V

  • 右端板：

    V ( d ) = 0 V V(d) = 0\ \text{V} V(d)=0 V

代码中直接把边界点写死为：

python 复制代码 
x_bc = torch.tensor([[0.0], [0.08]])      # 边界点：0 和 0.08m
u_bc = model(x_bc)
target_bc = torch.tensor([[1.0], [0.0]])  # 目标边界值：1V 和 0V

用网络计算这两个点上的预测电压 u θ ( 0 ) u_\theta(0) uθ(0)、 u θ ( d ) u_\theta(d) uθ(d)，再和真实值做 MSE：

python 复制代码 
loss_bc = torch.mean((u_bc - target_bc) ** 2) * 10

先算出原始的边界 MSE：

L ~ ∗ BC = 1 2 ( ( u ∗ θ ( 0 ) − 1 ) 2 + ( u θ ( d ) − 0 ) 2 ) \tilde{L}*{\text{BC}} = \frac{1}{2} \Big( \big(u*\theta(0) - 1\big)^2 + \big(u_\theta(d) - 0\big)^2 \Big) L~∗BC=21((u∗θ(0)−1)2+(uθ(d)−0)2)

然后乘以 10 相当于给边界条件一个放大的权重。后面在总损失里你又乘了 500，相当于：

L BC = 5000 ⋅ L ~ BC L_{\text{BC}} = 5000 \cdot \tilde{L}_{\text{BC}} LBC=5000⋅L~BC

这样做的目的很直接：

不管 PDE 残差怎么折腾，边界条件必须被牢牢"钉死"。

1.2.5、总损失：PDE + 边界 的加权和

有了 PDE 残差和边界条件两部分损失之后，真正用来反向传播的是它们的加权和：

python 复制代码 
loss = loss_pde + loss_bc * 500
loss.backward()
optimizer.step()
scheduler.step(loss)

抽象一点写：

L = L PDE + λ BC L BC L = L_{\text{PDE}} + \lambda_{\text{BC}} L_{\text{BC}} L=LPDE+λBCLBC

在你的实现中， λ BC \lambda_{\text{BC}} λBC 实际上非常大（约 5000），所以优化器会特别用力地把边界条件压到几乎没有误差，同时尽量在内部满足 PDE。

配合：

  • loss.backward()：对总损失求梯度；
  • optimizer.step()：按梯度更新网络参数；
  • scheduler.step(loss)：根据最近一段时间 loss 的变化情况自动调整学习率；

整个训练过程不断重复这个循环，网络就会学出一个函数 u θ ( x ) u_\theta(x) uθ(x)，使得：

  • 在内部点上：

    d 2 u θ ( x ) d x 2 ≈ − ρ v ϵ 0 ϵ r \dfrac{d^2 u_\theta(x)}{dx^2} \approx -\dfrac{\rho_v}{\epsilon_0 \epsilon_r} dx2d2uθ(x)≈−ϵ0ϵrρv

  • 在边界点上：

    u θ ( 0 ) ≈ 1 , u θ ( d ) ≈ 0 u_\theta(0) \approx 1,\quad u_\theta(d) \approx 0 uθ(0)≈1,uθ(d)≈0

也就是我们想要的平行板间电压分布的近似解。

2、结果分析

最最最重要的是要调整方程和边界的误差权重，不然不会收敛，就是下面式子里面的 λ \lambda λ：
L = L PDE + λ BC L BC L = L_{\text{PDE}} + \lambda_{\text{BC}} L_{\text{BC}} L=LPDE+λBCLBC

结果和平行金属板间电场在Maxwell中的求解和MFEM+GMSH静电场问题建模求解---平行金属板间电场的一致：

3、全部代码

python 复制代码 
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import math
import matplotlib.pyplot as plt

# 固定随机种子（方便复现）
torch.manual_seed(0)


# 定义 PINN 网络
class PINN(nn.Module):
    def __init__(self, hidden_dim=100, num_layers=5):
        super().__init__()
        layers = []
        input_dim = 1
        output_dim = 1

        # 输入层
        layers.append(nn.Linear(input_dim, hidden_dim))
        layers.append(nn.Tanh())

        # 隐藏层
        for _ in range(num_layers - 1):
            layers.append(nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim))
            layers.append(nn.Tanh())

        # 输出层
        layers.append(nn.Linear(hidden_dim, output_dim))

        self.net = nn.Sequential(*layers)

    def forward(self, x):
        return self.net(x)


# 定义训练函数
def train(model, num_epochs=10000, n_residual=200, n_bc=2, lr=1e-4):
    optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=lr)
    scheduler = torch.optim.lr_scheduler.ReduceLROnPlateau(optimizer, 'min', patience=1000, factor=0.8)  # 自适应调整学习率
    loss_history = []

    # 电荷密度和介电常数
    rho_v = 1e-8  # 电荷密度 (C/m^2)
    epsilon_0 = 8.854e-12  # 真空介电常数 (F/m)
    epsilon_r = 1  # 填充物的相对介电常数

    # 计算泊松方程的常数项
    poisson_constant = -rho_v / (epsilon_0 * epsilon_r)  # 计算常数项

    # 训练过程
    for epoch in range(num_epochs):
        optimizer.zero_grad()

        # 1. PDE 残差点（内部点）
        x_r = torch.rand(n_residual, 1, requires_grad=True) * 0.08  # 在0到8cm之间随机采样
        u_r = model(x_r)

        # 计算 u_x 和 u_xx
        u_x = torch.autograd.grad(outputs=u_r, inputs=x_r, grad_outputs=torch.ones_like(u_r), create_graph=True)[0]
        u_xx = torch.autograd.grad(outputs=u_x, inputs=x_r, grad_outputs=torch.ones_like(u_x), create_graph=True)[0]

        # 计算 PDE 残差
        residual = u_xx + poisson_constant  # 使用正确的电荷密度
        loss_pde = torch.mean(residual ** 2)

        # 2. 边界条件（x=0 和 x=d）
        x_bc = torch.tensor([[0.0], [0.08]])  # 边界点：0 和 8cm
        u_bc = model(x_bc)
        target_bc = torch.tensor([[1.0], [0.0]])  # 边界条件：1V 和 0V

        # 增加边界条件权重
        loss_bc = torch.mean((u_bc - target_bc) ** 2) * 10  # 增加边界条件损失的权重

        # 总损失
        loss = loss_pde + loss_bc*500
        loss.backward()
        optimizer.step()

        # 记录损失
        loss_history.append(loss.item())

        # 每 500 次打印一次
        if (epoch + 1) % 500 == 0:
            print(f"Epoch {epoch + 1}/{num_epochs} | Loss: {loss.item():.4e}")

        if (epoch + 1) % num_epochs == 0:
            print(f"End")

        # 更新学习率
        scheduler.step(loss)

    return loss_history


# 模型初始化
model = PINN(hidden_dim=50, num_layers=5)

# 训练模型
loss_history = train(model, num_epochs=10000)

# 绘制训练损失曲线
plt.plot(loss_history)
plt.yscale('log')
plt.xlabel('Epoch')
plt.ylabel('Loss')
plt.title('Training Loss History')
plt.show()

# 测试并绘制结果
with torch.no_grad():
    x_test = torch.linspace(0, 0.08, 100).view(-1, 1)
    u_pred = model(x_test)

# 绘制电势分布
plt.plot(x_test.numpy(), u_pred.numpy(), label='PINN prediction')
plt.xlabel('x (cm)')
plt.ylabel('Voltage (V)')
plt.title('Voltage Distribution between Plates')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
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