文章目录
-
- [📋 题目](#📋 题目)
- [🔑 一、理解关键概念](#🔑 一、理解关键概念)
-
- [1.1 d(v) 是什么？](#1.1 d(v) 是什么？)
- [1.2 π(v) 是什么？](#1.2 π(v) 是什么？)
- [📊 二、新的例题](#📊 二、新的例题)
- [🎯 三、关键问题解答](#🎯 三、关键问题解答)
- [📝 四、总结](#📝 四、总结)
📋 题目
🔑 一、理解关键概念
1.1 d(v) 是什么？
d(v) 的含义：
- 当前已知的 ，从顶点v到已连通区域 的最短距离
- 如果v已经在连通区域中，d(v) = 0
- 如果v还没连通，d(v) = 从v到连通区域的某条边的最小权重
通俗理解：
- 就像"从村庄v到已修路区域，最便宜的路要花多少钱"
- 初始时，除了起始点，其他点的d值都是∞（无穷大）
1.2 π(v) 是什么？
π(v) 的含义：
- 父节点 ：在已连通区域中，哪个顶点 通过权重为d(v)的边连接到v
- 如果v已经在连通区域中，π(v) = nil（没有父节点，或者是起始点）
通俗理解：
- 就像"从哪个村庄修路到v最便宜"
- 如果d(v) = 4, π(v) = a，意思是"从a修路到v，成本是4"
关键关系：
- 边 (π(v), v) 的权重 = d(v)
- 这条边就是"当前已知的，连接v到连通区域的最便宜的路"
📊 二、新的例题
🎯 三、关键问题解答
Q1：d(V)更新的逻辑是什么？
更新规则：
对于新加入连通区域的顶点u，检查它的每个邻居v：
如果 v 还没连通（v不在连通区域中）：
如果 w(u,v) < d(v)：
更新：d(v) = w(u,v)
更新：π(v) = u通俗理解：
- "如果从u到v的路，比v当前已知的最便宜的路更便宜"
- "就更新v的距离和父节点"
例子：步骤©中更新d
- 选择e后，检查e → d
- d当前：d(d) = 5（从a到d）
- e → d：权重4
- 因为4 < 5，所以更新：d(d) = 4，π(d) = e
Q2：为什么选择某个点？
选择规则 ：从所有未连通的顶点中，选择d值最小的
为什么这样选择？
贪心思想：
- d值最小 = 连接到连通区域最便宜
- 每次选择最便宜的，保证总成本最小
证明思路（简化）：
- 假设存在更优的方案，不选择d值最小的点
- 那么必然存在一条更便宜的路
- 但我们选择的是d值最小的，矛盾！
- 所以选择d值最小的是最优的
例子：步骤（c）中选择e
- 未连通顶点：{b, c, d, e, f}
- d值：b=4, c=∞, d=5, e=2, f=6
- e的d值最小（2），所以选择e
Q4：π值什么时候改变？
π值改变的条件：
- 初始时：所有顶点的π = nil
- 第一次发现路径 ：当某个顶点v第一次被发现可以连接到连通区域时
- 例如：步骤(b)中，b第一次被发现，π(b) = a
- 发现更便宜的路径 ：当发现从新顶点u到v的路，比v当前已知的路更便宜时
- 例如：步骤©中，发现e → d（4）比a → d（5）便宜，所以π(d)从a改为e
π值不变的情况：
- 如果新发现的路径不比当前已知的路径便宜，π值不变
- 例如：步骤©中，e → f（9）不比a → f（6）便宜，所以π(f)保持为a
📝 四、总结
核心概念
- d(v)：从v到连通区域的最短距离（当前已知的）
- π(v)：v的父节点，通过权重为d(v)的边连接到v
- 选择规则：每次选择d值最小的未连通顶点
- 更新规则：如果发现更便宜的路径，更新d和π值
算法流程
1. 初始化：选择起始点a，d(a)=0，其他d(v)=∞
2. 重复直到所有顶点连通：
a. 选择d值最小的未连通顶点u
b. 把u加入连通区域，修路(π(u), u)
c. 更新u的邻居：如果发现更便宜的路径，更新d和π
3. 返回MST关键理解
- 贪心策略：每次选择最便宜的，得到全局最优
- 动态更新：随着连通区域扩大，不断发现更便宜的路径
- π值记录最优路径：π(v)记录"当前已知的，连接v到连通区域的最便宜的方式"
💡 记忆要点：d值记录距离，π值记录父节点，选择最小d值，更新更便宜路径！