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二次型的定义与矩阵表示
简单来说，二次型就是由n元变量（比如 x 1 , x 2 , . . . , x n x₁, x₂, ..., xₙ x1,x2,...,xn）构成的二次齐次多项式，称为n元二次型，简称二次型 。考研只研究系数 a i j ∈ R a_{ij}∈R aij∈R的情况，故称此二次型f为实二次型 。它的每一项都是二次的，例如 3 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 3x₁² + 2x₁x₂ + x₂² 3x12+2x1x2+x22。任何一个二次型都可以用一个实对称矩阵来唯一表示，记为矩阵形式 f = x T A x f = xᵀAx f=xTAx 。
二次型的矩阵A是一个对称矩阵，满足 A T = A A^T=A AT=A
化二次型为标准型与规范型
🔄 理解标准形与规范形
• 标准形：指一个二次型通过可逆线性变换后，只包含平方项，而不包含任何混合项的形式，即 f = k 1 y 1 2 + k 2 y 2 2 + ⋯ + k n y n 2 f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + \cdots + k_ny_n^2 f=k1y12+k2y22+⋯+knyn2
• 规范形：是标准形的一种特殊形式，其平方项的系数只能是 1 、 − 1 或 0 1、-1 或 0 1、−1或0，即 f = y 1 2 + ⋯ + y p 2 − y p + 1 2 − ⋯ − y r 2 f = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_r^2 f=y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yr2 其中正平方项的个数 p p p 称为正惯性指数，负平方项的个数 r − p r-p r−p 称为负惯性指数，它们是由二次型本身唯一确定的（惯性定理）。
化二次型为标准形主要有配方法、合同变换法和正交变换法。
配方法
惯性指数：这是二次型的"身份证"。根据惯性定理，任何一个实二次型都可以通过可逆的线性变换，化为一种唯一确定的标准形式，称为规范形：f = y₁² + y₂² + ... + yₚ² - yₚ₊₁² - ... - yᵣ² 。
正惯性指数 §：指规范形中系数为正1的平方项的个数。它同时也等于二次型对应矩阵的正特征值的个数 。
负惯性指数 (q)：指规范形中系数为负1的平方项的个数。它同时也等于二次型对应矩阵的负特征值的个数 。
惯性定理指出，无论你通过何种可逆线性变换将二次型化为规范形，正惯性指数 p 和负惯性指数 q 都是固定不变的 。并且，两者之和等于二次型的秩(r），即 p + q = r 。
通过配方逐步消去混合项（交叉项）
- 集中含某个变量的项；
- 配方引入新变量；
- 重复直至无混合项 直观，易于掌握，不依赖矩阵运算 过程可能繁琐，所得变换矩阵不一定是正交矩阵
合同变换法
对二次型矩阵及其单位矩阵做同步的初等行、列变换 1. 构造增广矩阵 [A; I]；2. 对A做初等行/列变换时，对单位矩阵只做相应的列变换 具有系统性，可以同时求出所用的可逆变换矩阵 需要记录变换过程，得到的标准形一般不唯一
正交变换法
通过正交变换（由特征向量构建）进行对角化
- 写二次型矩阵A；
- 求A的特征值；
- 求特征向量并正交单位化；
- 构造正交矩阵P 标准形系数为特征值，几何意义清晰，不改变图形形状 计算特征值和特征向量可能复杂，标准形唯一（由特征值决定）
✨ 掌握正交变换的步骤
使用正交变换法化二次型为标准形，关键在于找到合适的正交矩阵。具体步骤如下：
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写出二次型的矩阵A：将二次型 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x T A x f(x_1, x_2, ..., x_n) = x^TAx f(x1,x2,...,xn)=xTAx 表示为矩阵形式，其中 A 是 n 阶实对称矩阵。
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求矩阵A的特征值和特征向量：解特征方程 λ E − A = 0 \lambda E - A= 0 λE−A=0 ，求出所有特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn 。对于每个特征值 λ i \lambda_i λi ，求解齐次线性方程组 ( λ i E − A ) x = 0 (\lambda_i E - A)x = 0 (λiE−A)x=0 得到对应的特征向量。
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将特征向量正交化和单位化：
◦ 对于不同特征值对应的特征向量，它们已经是正交的。
◦ 对于重特征值对应的多个特征向量，可能需要使用施密特（Schmidt）正交化方法将其化为正交向量组。
◦ 将所有特征向量单位化。
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构造正交矩阵P：将经过步骤3处理后的单位正交特征向量作为列向量，构成正交矩阵 P。正交矩阵满足 P − 1 = P T P^{-1} = P^T P−1=PT 。
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进行正交变换：令 x = P y x = Py x=Py ，其中 y 是新变量向量。将此变换代入二次型，得到标准形： f = x T A x = ( P y ) T A ( P y ) = y T ( P T A P ) y = y T Λ y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + . . . + λ n y n 2 f = x^TAx = (Py)^TA(Py) = y^T(P^TAP)y = y^T \Lambda y = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + ... + \lambda_n y_n^2 f=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTΛy=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2。这里 Λ \Lambda Λ 是由 A 的特征值组成的对角矩阵。