《Java数据结构与算法》第四篇（一）Java.util包中的树结构实现详解

在学习数据结构与算法的旅程中，树结构无疑是一个重要的里程碑。很多初学者在面对树、二叉树、红黑树等概念时可能会感到困惑，这完全正常。本文将从最基础的树结构定义开始，逐步深入到Java中TreeMap和TreeSet的实现原理与应用。如果您在阅读过程中遇到难以理解的概念，请不要担心，这恰是学习新知识的必经之路。后续我们还将详细讲解树的实现和哈希表，帮助您构建完整的知识体系。

正文：

一、树的定义

树是一种非线性数据结构，它由n（n≥0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。树结构的特点是：

每个节点有零个或多个子节点
没有父节点的节点称为根节点
每个非根节点有且只有一个父节点
除了根节点外，每个子节点都可以分为多个不相交的子树
树中没有环路，从任意节点到任意节点有且只有一条路径

树的数学定义

树是包含n个节点的有限集，其中：

如果n=0，则为空树
如果n>0，则满足：
1. 有一个特定的节点称为根节点
2. 其余节点可分为m个互不相交的有限集，每个集合本身又是一棵树，称为子树

树的相关术语

节点：树中的基本元素，包含数据和指向子节点的引用

根节点：树的顶端节点，没有父节点

叶子节点：没有子节点的节点

内部节点：至少有一个子节点的节点

边：连接两个节点的线段

路径：从节点到其后代的节点序列

高度：从节点到最深叶子节点的最长路径长度

深度：从根节点到该节点的路径长度

度：节点的子节点数量

层次：根节点在第1层，其子节点在第2层，以此类推

二、树的逻辑表示

2.1 树的基本逻辑概念

树在逻辑上可以看作是一个递归定义的结构，每个节点都可以看作是一棵子树的根。这种递归特性使得树非常适合用于处理具有层次结构的数据。

2.2 树的表示方式

树在计算机中有多种表示方式：

2.2.1 嵌套集合表示法（Nested Sets）

java 复制代码

// 树可以看作是一系列嵌套的集合
class TreeNode {
    int data;
    Set<TreeNode> children;  // 子节点集合
    
    TreeNode(int data) {
        this.data = data;
        this.children = new HashSet<>();
    }
}

这里的hash我们之后会讲

2.2.2 凹入表示法（Indentation）

java 复制代码

Root
├── Child1
│   ├── Grandchild1
│   └── Grandchild2
└── Child2
    └── Grandchild3

2.2.3 括号表示法

java 复制代码

A(B(C,D),E(F,G(H)))

表示：

A有两个子节点B和E

B有两个子节点C和D

E有两个子节点F和G

G有一个子节点H

2.2.4 文氏图表示法

使用集合的包含关系来表示树的层次结构。

知识点讲解：这些逻辑表示方法帮助我们理解树的本质特征，但计算机实现时需要选择合适的数据结构。Java中虽然没有通用Tree类，但我们可以通过自定义节点类来实现各种树结构。

三、TreeMap详解

3.1 TreeMap概述

TreeMap是基于**红黑树（Red-Black Tree）** 实现的NavigableMap接口的实现类。它保持了键的有序状态，这个有序状态可以通过两种方式定义：

自然排序（实现Comparable接口）
构造时提供的Comparator

3.2 TreeMap内部结构

java 复制代码

// TreeMap内部节点的简化表示
static final class Entry<K,V> implements Map.Entry<K,V> {
    K key;                    // 键
    V value;                  // 值
    Entry<K,V> left;         // 左子节点
    Entry<K,V> right;        // 右子节点
    Entry<K,V> parent;       // 父节点
    boolean color = BLACK;   // 节点颜色（红黑树特性）
    
    // 构造方法和其他方法...
}

3.3 TreeMap的独特功能

除了标准的Map操作外，TreeMap还提供了基于排序的导航方法：

java 复制代码

import java.util.*;

public class TreeMapDemo {
    public static void main(String[] args) {
        TreeMap<Integer, String> treeMap = new TreeMap<>();
        
        // 批量添加数据
        int[] keys = {50, 30, 70, 20, 40, 60, 80};
        for (int key : keys) {
            treeMap.put(key, "Value" + key);
        }
        
        // 1. 获取第一个和最后一个条目
        System.out.println("第一个元素: " + treeMap.firstEntry());
        System.out.println("最后一个元素: " + treeMap.lastEntry());
        
        // 2. 获取小于/大于指定键的键
        System.out.println("小于45的最大键: " + treeMap.lowerKey(45));    // 40
        System.out.println("大于45的最小键: " + treeMap.higherKey(45));   // 50
        
        // 3. 获取小于等于/大于等于指定键的键
        System.out.println("小于等于45的最大键: " + treeMap.floorKey(45));  // 40
        System.out.println("大于等于45的最小键: " + treeMap.ceilingKey(45)); // 50
        
        // 4. 获取和移除第一个/最后一个条目
        Map.Entry<Integer, String> first = treeMap.pollFirstEntry();
        System.out.println("移除的第一个元素: " + first);
        System.out.println("移除后的大小: " + treeMap.size());
        
        // 5. 子映射（范围视图）
        SortedMap<Integer, String> subMap = treeMap.subMap(30, 70);
        System.out.println("30到70之间的子映射: " + subMap);
        
        // 头部映射（小于指定键）
        SortedMap<Integer, String> headMap = treeMap.headMap(60);
        System.out.println("小于60的头部映射: " + headMap);
        
        // 尾部映射（大于等于指定键）
        SortedMap<Integer, String> tailMap = treeMap.tailMap(60);
        System.out.println("大于等于60的尾部映射: " + tailMap);
        
        // 6. 降序映射
        NavigableMap<Integer, String> descendingMap = treeMap.descendingMap();
        System.out.println("降序映射: " + descendingMap);
        
       
    }
}

3.4 TreeMap的性能特点

查找性能：O(log n)，因为红黑树是平衡的

插入性能：O(log n)，需要找到插入位置并进行可能的平衡操作

删除性能：O(log n)，需要找到节点并进行可能的平衡操作

内存开销：每个节点需要存储颜色、左右子节点和父节点的引用，开销比HashMap大

四、TreeSet详解

4.1 TreeSet概述

TreeSet是基于TreeMap实现的NavigableSet接口的实现类。它使用TreeMap来存储元素，元素作为键，而值是一个固定的Object对象。

java 复制代码

// TreeSet内部使用TreeMap
public class TreeSet<E> extends AbstractSet<E>
    implements NavigableSet<E>, Cloneable, java.io.Serializable {
    
    // 底层使用TreeMap
    private transient NavigableMap<E,Object> m;
    
    // 虚拟值，所有键都映射到这个值
    private static final Object PRESENT = new Object();
    
    // 构造方法
    public TreeSet() {
        this(new TreeMap<E,Object>());
    }
    
    // 添加元素
    public boolean add(E e) {
        return m.put(e, PRESENT) == null;
    }
    
    // 其他方法...
}

4.2 TreeSet的独特功能

java 复制代码

import java.util.*;

public class TreeSetDemo {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建TreeSet
        TreeSet<Integer> numbers = new TreeSet<>(Arrays.asList(10, 50, 30, 20, 40, 60));
        
        // 1. 获取第一个和最后一个元素
        System.out.println("第一个元素: " + numbers.first());  // 10
        System.out.println("最后一个元素: " + numbers.last());   // 60
        
        // 2. 范围视图
        System.out.println("\n大于等于20且小于等于50的子集:");
        SortedSet<Integer> subSet = numbers.subSet(20, true, 50, true);
        System.out.println(subSet);  // [20, 30, 40, 50]
        
        // 3. 头部集合和尾部集合
        System.out.println("\n小于40的头部集合:");
        SortedSet<Integer> headSet = numbers.headSet(40);
        System.out.println(headSet);  // [10, 20, 30]
        
        System.out.println("\n大于等于40的尾部集合:");
        SortedSet<Integer> tailSet = numbers.tailSet(40);
        System.out.println(tailSet);  // [40, 50, 60]
        
        // 4. 降序集合
        System.out.println("\n降序集合:");
        NavigableSet<Integer> descendingSet = numbers.descendingSet();
        System.out.println(descendingSet);  // [60, 50, 40, 30, 20, 10]
        
        // 5. 获取最接近的元素
        System.out.println("\n与25最接近的元素:");
        System.out.println("小于等于25的最大元素: " + numbers.floor(25));    // 20
        System.out.println("大于等于25的最小元素: " + numbers.ceiling(25));  // 30
        System.out.println("严格小于25的最大元素: " + numbers.lower(25));    // 20
        System.out.println("严格大于25的最小元素: " + numbers.higher(25));   // 30
        
        // 6. 获取并移除元素
        System.out.println("\n获取并移除第一个元素: " + numbers.pollFirst());  // 10
        System.out.println("获取并移除最后一个元素: " + numbers.pollLast());    // 60
        System.out.println("剩余集合: " + numbers);  // [20, 30, 40, 50]
        
       
    }
}

知识点讲解：

TreeSet基于TreeMap：TreeSet实际上是将元素作为TreeMap的键，值为一个固定的PRESENT对象

元素唯一性：TreeSet通过TreeMap的键唯一性来保证元素不重复

五、性能调优建议

10.1 选择合适的初始化容量

java 复制代码

// 如果知道大致元素数量，可以预设容量
TreeMap<String, String> map = new TreeMap<>();
// 虽然TreeMap没有容量参数，但提前规划有助于理解性能

// TreeSet同理
TreeSet<Integer> set = new TreeSet<>();

10.2 避免频繁的结构修改

java 复制代码

// 批量操作比单个操作更高效
TreeSet<Integer> set = new TreeSet<>();

// 不推荐：频繁添加
for (int i = 0; i < 1000; i++) {
    set.add(i);
}

// 推荐：批量添加（如果可能）
set.addAll(Arrays.asList(/* 大量数据 */));

总结：

TreeMap和TreeSet是Java集合框架中非常重要的有序集合实现。它们基于红黑树实现，提供了O(log n)时间复杂度的基本操作，并且支持丰富的导航操作。理解它们的工作原理和适用场景，可以帮助我们在实际开发中做出更合适的选择。

关键要点回顾：

TreeMap是基于红黑树的有序映射，TreeSet是基于TreeMap的有序集合
两者都提供O(log n)时间复杂度的操作
支持丰富的导航方法（floor、ceiling、lower、higher等）
适合需要排序、范围查询、最近值查找的场景

致谢：

感谢您阅读本文。树结构是计算机科学中的基础且重要的概念，理解树结构不仅有助于掌握Java集合框架，也为学习更复杂的算法和数据结构打下基础。如果在学习过程中遇到困难，请不要气馁，这是学习新知识的正常过程。后续我们将继续深入讲解树的实现细节和哈希表原理，帮助您构建完整的数据结构与算法知识体系。

编程之路，道阻且长，行则将至。与君共勉！