剑指offer-51、构建乘积数组

题⽬描述

给定⼀个数组A[0,1,...,n-1] ,请构建⼀个数组B[0,1,...,n-1] ，其中B 中的元素B[i]=A[0]*A[1]*...*A[i-1]*A[i+1]*...*A[n-1] 。不能使⽤除法。（注意：规定B[0] =A[1] * A[2] * ... * A[n-1]，B[n-1] = A[0] * A[1] * ... * A[n-2] ）

对于A ⻓度为1 的情况，B⽆意义，故⽽⽆法构建，因此该情况不会存在。

输⼊：[1,2,3,4,5] 输出：[120,60,40,30,24]

思路及解答

暴力

对每个B[i]都计算A中除A[i]外所有元素的乘积，双重循环，外层遍历B的每个位置，内层遍历A数组跳过当前元素

java 复制代码

public class Solution {
    public int[] multiply(int[] A) {
        if (A == null || A.length <= 1) {
            return new int[0]; // 根据题目要求，长度<=1时返回空数组
        }
        
        int n = A.length;
        int[] B = new int[n];
        
        // 遍历每个B[i]
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int product = 1; // 初始化乘积为1
            
            // 计算A中除A[i]外所有元素的乘积
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (j != i) { // 跳过当前元素A[i]
                    product *= A[j];
                }
            }
            
            B[i] = product; // 将结果存入B[i]
        }
        
        return B;
    }
}

时间复杂度：O(n²)，需要嵌套循环遍历数组
空间复杂度：O(1)，除结果数组外只使用常数空间

左右乘积数组法（空间换时间）

使用左右两个辅助数组存储乘积信息

思路：left[i]表示A[0]到A[i-1]的乘积，right[i]表示A[i+1]到A[n-1]的乘积

java 复制代码

public class Solution {
    public int[] multiply(int[] A) {
        if (A == null || A.length <= 1) {
            return new int[0];
        }
        
        int n = A.length;
        int[] B = new int[n];
        int[] left = new int[n];  // 存储左侧乘积
        int[] right = new int[n]; // 存储右侧乘积
        
        // 初始化边界值
        left[0] = 1;     // B[0]没有左侧元素，乘积为1
        right[n-1] = 1;  // B[n-1]没有右侧元素，乘积为1
        
        // 计算左侧乘积：left[i] = A[0] × A[1] × ... × A[i-1]
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            left[i] = left[i-1] * A[i-1];
        }
        
        // 计算右侧乘积：right[i] = A[i+1] × A[i+2] × ... × A[n-1]
        for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
            right[i] = right[i+1] * A[i+1];
        }
        
        // 合并左右乘积得到最终结果：B[i] = left[i] × right[i]
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            B[i] = left[i] * right[i];
        }
        
        return B;
    }
}

时间复杂度：O(n)，三次单层循环
空间复杂度：O(n)，需要两个辅助数组

矩阵视角理解：如果把问题看作矩阵，B[i]就是去掉对角线元素A[i]后，该行所有元素的乘积。

text 复制代码

A = [1, 2, 3, 4, 5]

B[0] = 2 × 3 × 4 × 5 = 120  (去掉A[0])
B[1] = 1 × 3 × 4 × 5 = 60   (去掉A[1])  
B[2] = 1 × 2 × 4 × 5 = 40   (去掉A[2])

左右分解策略：

left[i]= A[0] × A[1] × ... × A[i-1] （i左边的乘积）
right[i]= A[i+1] × A[i+2] × ... × A[n-1] （i右边的乘积）
B[i] = left[i] × right[i]（左右乘积相乘正好去掉A[i]）

空间优化（推荐）

在方法二的基础上优化空间使用，在结果数组B上直接进行左右乘积计算。

先用B数组存储左侧乘积，再用变量动态计算右侧乘积

java 复制代码

public class Solution {
    public int[] multiply(int[] A) {
        if (A == null || A.length <= 1) {
            return new int[0];
        }
        
        int n = A.length;
        int[] B = new int[n];
        
        // 第一步：计算左侧乘积并直接存入B
        B[0] = 1; // B[0]没有左侧元素
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // B[i] = A[0] × A[1] × ... × A[i-1]
            B[i] = B[i-1] * A[i-1];
        }
        
        // 第二步：从右向左遍历，用temp变量累积右侧乘积
        int temp = 1; // 用于累积右侧乘积
        for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
            // B[i]当前存储的是左侧乘积，乘以右侧乘积得到最终结果
            B[i] = B[i] * temp;
            // 更新temp，为下一个位置（i-1）准备右侧乘积
            temp = temp * A[i];
        }
        
        return B;
    }
}

时间复杂度：O(n)，两次遍历数组
空间复杂度：O(1)，除结果数组外只使用常数空间

算法步骤详解

第一步：左侧乘积计算

less 复制代码

初始: B[0] = 1
i=1: B[1] = B[0] × A[0] = 1 × 1 = 1
i=2: B[2] = B[1] × A[1] = 1 × 2 = 2  
i=3: B[3] = B[2] × A[2] = 2 × 3 = 6
i=4: B[4] = B[3] × A[3] = 6 × 4 = 24
此时B = [1, 1, 2, 6, 24] (存储的是各位置的左侧乘积)

第二步：右侧乘积整合

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初始: temp = 1
i=4: B[4] = 24 × 1 = 24, temp = 1 × 5 = 5
i=3: B[3] = 6 × 5 = 30, temp = 5 × 4 = 20  
i=2: B[2] = 2 × 20 = 40, temp = 20 × 3 = 60
i=1: B[1] = 1 × 60 = 60, temp = 60 × 2 = 120
i=0: B[0] = 1 × 120 = 120, temp = 120 × 1 = 120
最终B = [120, 60, 40, 30, 24]