1.3 假设我们有三个彩色的盒子r（红色）、b（蓝色）和g（绿色）。盒子r中有3个苹果、4个橙子和3个青柠，盒子b中有1个苹果、1个橙子和0个青柠，盒子g中有 3 个苹果、3 个橙子和 4 个青柠。如果以p®=0.2、p(b)=0.2、p(g)=0.6的概率随机选择一个盒子，并从盒子中取出一个水果（选择盒子中任意水果的概率都相等），那么选中苹果的概率是多少？如果我们发现选中的水果实际上是橙子，那么它来自绿色盒子的概率是多少？
解答：
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已知信息：
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各盒子中水果数量：
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红盒子 r ：3 苹果 + 4 橙子 + 3 青柠 = 10 个水果
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蓝盒子 b ：1 苹果 + 1 橙子 + 0 青柠 = 2 个水果
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绿盒子 g ：3 苹果 + 3 橙子 + 4 青柠 = 10 个水果
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盒子被选中的先验概率
- P (r)=0.2
- P (b)=0.2
- P (g)=0.6
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选中苹果的概率：
根据全概率公式：
P(苹果)=P(苹果∣r)P(r)+P(苹果∣b)P(b)+P(苹果∣g)P(g) P(苹果)=P(苹果∣r)P(r)+P(苹果∣b)P(b)+P(苹果∣g)P(g) P(苹果)=P(苹果∣r)P(r)+P(苹果∣b)P(b)+P(苹果∣g)P(g)计算各条件概率：
- P (苹果∣r)=3/10
- P (苹果∣b)=1/2
- P (苹果∣g)=3/10
可得：P苹果=0.34
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如果我们发现选中的水果实际上是橙子，那么它来自绿色盒子的概率
根据贝叶斯公式
P(g∣橙子)=P(橙子∣g)P(g)/P(橙子) P(g∣橙子)= P(橙子∣g)P(g)/P(橙子) P(g∣橙子)=P(橙子∣g)P(g)/P(橙子)由全概率公式可得：
- P (橙子∣r)=4/10=0.4
- P (橙子∣b)=1/2=0.5
- P (橙子∣g)=3/10=0.3
可得 P(橙子)=0.4⋅0.2+0.5⋅0.2+0.3⋅0.6=0.08+0.1+0.18=0.36
然后代入贝叶斯公式：P (g∣橙子)=0.5
1.5 利用var[f]= E[(f(x) - E[f(x)])²]证明var[f(x)]满足式var[f]= E[f(x)²]-E[f(x)]²
解答：
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令 Y =f (X )，μ =E[Y ]=E[f (X)]
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根据方差定义可得：
var[f(X)]=E[(Y−μ)2] var[f(X)]=E[(Y−μ)^2] var[f(X)]=E[(Y−μ)2] -
将平方项展开可得：
(Y−μ)2=Y2−2μY+μ2 (Y−μ)^2=Y^2−2μY+μ^2 (Y−μ)2=Y2−2μY+μ2 -
对两边同时取期望可得：
E[(Y−μ)2]=E[Y2]−2μE[Y]+μ2 E[(Y−μ)^2]=E[Y^2]−2μE[Y]+μ^2 E[(Y−μ)2]=E[Y2]−2μE[Y]+μ2 -
又因为μ =E[Y ],可得
E[(Y−μ)2]=E[Y2]−2μ2+μ2=E[Y2]−μ2 E[(Y−μ)^2]=E[Y^2]−2μ^2+μ^2=E[Y^2]−μ^2 E[(Y−μ)2]=E[Y2]−2μ2+μ2=E[Y2]−μ2 -
带入原式可得：
var[f]=E[f(x)2]−E[f(x)]2 var[f]= E[f(x)^2]-E[f(x)]^2 var[f]=E[f(x)2]−E[f(x)]2
1.6 证明如果两个变量x和y是独立的，则它们的协方差为零
解答：
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协方差定义式：
Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]=E[XY]−E[X]E[Y] Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])] = E[XY]−E[X]E[Y] Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]=E[XY]−E[X]E[Y] -
利用独立性，若X和Y相互独立，则：
E[XY]=E[X]E[Y] E[XY]=E[X]E[Y] E[XY]=E[X]E[Y] -
代入协方差定义即可得：
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=0 Cov(X,Y)= E[XY]−E[X]E[Y] = 0 Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=0