时间复杂度判断

时间复杂度基础

首先，看看下面的程序。

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int x; // init

x ++; // first add

x ++; // second add

// 2 add

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int x; // init

int n;
cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i ++)
    x ++;

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int x; // init

int n;
cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        x ++;

很明显，这些程序的运行效率都不一样。

那么，怎么比较这些程序的效率呢？或者说 `时间复杂度`？

首先我们要定义一个代表一次运算的单位，把它算作1。

比如上面的3个程序，加法(x ++)操作就是1。

那么就简单计算一下这三个程序执行了多少个1。

第一个程序：执行了两次 -> 2

第二个程序：循环有n次，循环内部有一次，所以执行了n * 1 = n次 -> n

第三个程序：两个循环分别执行了n次，循环内部有一次，所以执行了n * n * 1 = 次 -> n^2

我执行1次加法操作，和执行10次加法操作有什么区别。

或者说执行一次上面第二个程序的循环，和执行十次有什么区别。

可以说是一个是 1 一个是 10，一个是 n 一个是 10n。

但是无论是n多大，执行一次和执行十次它们差的倍数都一样多，都是10倍。不会n越大，差别越来越大（指倍数）

所以可以使用一个低估的下界（执行次数<1的时候是上界，有点难理解）来表示运行效率。

所以第一个程序效率是 2 -> O(1)

第二个程序是 n -> O(n)

第三个程序是 n^2 -> O(n^2)

考虑有一个嵌套的for+一个单层的for，当n无限大的时候，单层的for带来的效率变化小到可以忽略不计，所以 n^2 + n -> O(n^2)

有O(1) O(n) O(n^2)等，还有一些O(2^n)之类的。这里了解一下最常用的。

O(1)

O(log n) // 表示n为2时，执行1次左右 n为4时，执行2次左右 n为8时，执行3次左右 ...

O(n)

O(n^2)

O(n^3) // 三层for循环

考虑一个fibo函数

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void fibo(int n) {
    if (n <= 1)
        return n;
    return fibo(n - 1) + fibo(n - 2)
}

一次计算当然是执行一次函数（不包含递归），但是里面还有一个函数怎么办？

我们知道这个函数一次性会分支成两个函数，然后是四个，难道时间复杂度就是O(2^n)？

我们可以确定，时间复杂度一定是O(k^n)，但是k是什么？

我们写出递归的方程

其中t^n表示我们的时间复杂度，t^(n - 1)表示fibo(n - 1)的时间复杂度。

两边除以t^(n - 2)

解出这个方程，就可以得到t，那么时间复杂度的O(t^n)不就算出来了吗？