【C++】AVL树

CC.GG2025-12-20 13:46

目录

前言

接着【C++】STL容器----map和set的使用，今天来介绍【C++】AVL树

一、AVL树的概念

  • AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树 ，AVL是**⼀颗空树** ，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡
  • AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN)，相比二叉搜索树有了本质的提升

二、AVL树的实现

  • AVL树实现这里引入一个平衡因子的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像⼀个风向标一样
  • 实现AVL树，首先我们使用模板声明定义不分离来实现，因此创建AVLTree.h和test.cpp文件
  • 对于AVL树，我们需要定义一个结构体来创建AVL树的节点
cpp 复制代码 
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance factor
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{ }
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:

private:
	Node* _root = nullptr;

};

1、 插入

  • 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入（这个逻辑代码在这里就直接使用，不再赘述，详情请点击查看具体插入逻辑）
  • 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束
cpp 复制代码 
// 插入⼀个值按二叉搜索树规则进行插入
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	return true;
}

平衡因子的更新

更新原则：

  • 平衡因子 = 右子树高度-左子树高度
  • 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子
  • 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子--
  • parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

  • 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0或者1-> 0，说明更新前parent子树⼀边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插⼊后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束
  • 更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1或者0->-1，说明更新前parent子树两边一样高，新增的插入结点后，parent所在的子树⼀边高⼀边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新
  • 更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2或者-1->-2，说明更新前parent子树⼀边高⼀边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束
  • 不断更新，更新到根，根的平衡因子是1或-1停止（当parent == nullptr停止更新）
cpp 复制代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
	//根据二叉搜索树插入完成之后更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_left)
			parent->_bf--;
		else
			parent->_bf++;
		if (parent->_bf == 0)
		{
			//更新结束
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			//继续更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}

		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			//旋转
			break;
		}

		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

2、旋转

  1. 旋转保持搜索树的规则，让旋转的树从不平衡变平衡，其次降低旋转树的高度
  2. 旋转总共分为四种：左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋

右单旋

  • 本图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进行了详细描述。
  • 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
  • 旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。
cpp 复制代码 
//右单旋条件
if (cur->_parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // 右单旋
{
				RotateR(parent);
}


void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	parent->_left = subLR;
	subL->_right = parent;
	if(subLR)
	    subLR->_parent = parent;

	Node* parentParent = parent->_parent;
	parent->_parent = subL;
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subL;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = parentParent;
	}
	//旋转完之后parent和subL的_bf都为0
	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

左单旋

  • 本图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要
    求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是⼀种概括抽象表示，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右单旋类似。
  • 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
  • 旋转核心步骤，因为10<b子树的值<15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。
cpp 复制代码 
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subL->_left;

	parent->_right = subRL;
	subR->_left = parent;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	Node* parentParent = parent->_parent;
	parent->_parent = subR;

	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = parentParent;
	}
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

左右双旋

  1. 从下图可以看到，在节点5的右边插入一个节点8，5的_bf = 1，10的_bf = -2，如果我们根据10的_bf = -2来进行右单旋，那么会变成最后那样，导致右边高，无法完成平衡树的要求。因此这种情况我们使用单纯的单旋无法解决问题。
  2. 对于5节点来说是右边高，对于10节点来说是左边高，我们可以先左旋，再右旋
  3. 从下面整个左右双旋逻辑图可以看到整个旋转逻辑，从一步到位角度看，是将5（subL）的右节点指向e，将10节点（parent）的左节点指向f，8（subLR）作为subL和parent的父节点
  4. 下面几种左右双旋的情况的旋转逻辑是一样的，但是平衡因子的更新不同，那么如何区分这三种情况来更新平衡因子呢？
    从图中可以看到8最终的平衡因子都是0，如果插入成功后，8的平衡因子变为了-1，那么这个数据就是插入在8的左节点这边（subL和subLR的平衡因子== 0， parent == 1）；如果插入成功后，8的平衡因子变为了1，那么这个数据就是插入在8的右节点这边（parent 和subLR的平衡因子== 0， subL== -1）；如果插入成功后，8的平衡因子变为了0，说明8就是新插入的这个节点(parent 、subL和subLR的平衡因子== 0)
cpp 复制代码 
RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;
	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);
	
	if (bf == -1)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		parent = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		parent = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		parent = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

右左双旋

右左双旋和左右双旋逻辑是一样的，只不过右左双旋是先右旋，再去左旋

cpp 复制代码 
RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);

	if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}

3、Size

cpp 复制代码 
int Size()
{
	return _Size(_root);
}
int _Size(Node* root)
{
	return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}

三、测试

1、测试是否为二叉搜索树：二叉搜索树的InOrder中序遍历在二叉搜索树有详细讲解，点击查看

cpp 复制代码 
void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> t1;
	AVLTree<int, int> t2;
	// 常规的测试⽤例 
	int a1[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例 
	int a2[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a1)
	{
		t1.Insert({ e, e });
	}
	t1.InOrder();

	for (auto e : a2)
	{
		t2.Insert({ e, e });
	}
	t2.InOrder();
	//cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}

2、测试是否为平衡二叉树：递归检查左子树和右子树的高度差

  • 检查一个树的左子树的高度，即左边子树的左子树和右子树的最高的高度，一棵树的高度等于左边子树的左子树和右子树的最高的高度+1
cpp 复制代码 
int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
//获取平衡树高度
int Height()
{
	_Height(_root);
}
  • 如果是一棵空树，那么这个树是AVL树，通过递归计算左右子树高度来获得计算后的平衡因子，如果计算的平衡因子绝对值大于等于2或者计算出来的平衡因子和节点中存储的平衡因子不同，则说明平衡树有问题。左右子树都是平衡二叉树，那么该树就是平衡二叉树
  • 和中序遍历一样，_IsBalanceTree函数也需要封装
cpp 复制代码 
bool IsBalanceTree()
{
	return _IsBalanceTree(_root);
}

bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
	// 空树也是AVL树 
	if (nullptr == root)
		return true;
	// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差 
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	int diff = rightHeight - leftHeight;
	// 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因⼦不相等，或者 
	 // pRoot平衡因⼦的绝对值超过1，则⼀定不是AVL树 
	if (abs(diff) >= 2)
	{
		cout << root->_kv.first << "⾼度差异常" << endl;
		return false;
	}
	if (root->_bf != diff)
	{
		cout << root->_kv.first << "平衡因⼦异常" << endl;
		return false;
	}
	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树⼀定是AVL树 
	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
cpp 复制代码 
void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> t1;
	AVLTree<int, int> t2;
	// 常规的测试⽤例 
	int a1[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例 
	int a2[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a1)
	{
		t1.Insert({ e, e });
	}
	t1.InOrder();

	for (auto e : a2)
	{
		t2.Insert({ e, e });
	}
	t2.InOrder();
	cout << t1.IsBalanceTree() << endl;
	cout << t2.IsBalanceTree() << endl;
}
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