模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）是一种基于物理退火过程（Annealing）的启发式优化算法，属于元启发式算法的一种。它由S. Kirkpatrick等在1983年提出，灵感来源于金属冶炼中的"退火"过程------通过加热后缓慢降温，使金属原子达到能量最低、结构最稳定的状态。
模拟退火算法常用于求解组合优化问题（如旅行商问题、车辆路径问题、作业调度等）以及连续优化问题，能够在搜索空间中跳出局部最优解，以一定概率接受较差解，从而有机会找到全局最优或近似最优解。
一、算法名称由来：物理退火过程
| 物理过程 | 算法对应过程 |
|---|---|
| 加热材料 | 初始高温，算法开始时接受较差解的概率较高 |
| 原子剧烈运动 | 搜索范围广，探索性强 |
| 缓慢降温 | 温度逐渐下降，接受差解的概率减小，趋向收敛 |
| 原子趋于有序排列 | 解逐渐稳定，逼近最优解 |
二、算法基本原理
模拟退火算法模拟物理退火过程，在搜索解的过程中：
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从一个初始解出发，在邻域中生成新解；
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根据一定准则判断是否接受新解：
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若新解优于当前解（目标函数值更小/更大，视优化方向而定），则接受；
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若新解较差，则以一定概率接受，该概率与"温度"和"性能差距"有关；
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随着"温度"逐渐降低，接受差解的概率减小，算法逐渐收敛。
三、核心要素与公式
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解的表示
依据实际问题定义解的形式（如路径序列、任务安排、坐标向量等）。
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邻域结构（Neighborhood Structure）
定义如何从当前解生成一个新解（如交换两个城市、扰动某个变量）。
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目标函数（Objective Function）
即优化的目标，例如路径长度、成本、时间等，记作 f(x)。
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温度（Temperature, T）
控制搜索过程的全局探索能力。初始温度高，接受差解的概率大；温度下降，逐渐偏向局部搜索。
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Metropolis 接受准则（核心公式）
当新解的目标函数值 f(new) 不如当前解 f(current) 时，算法以如下概率接受新解：
P(accept)=exp(−Tf(new)−f(current))-
若 f(new) < f(current)（最小化问题）：一定接受；
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若 f(new) ≥ f(current)：以概率 P(accept) 接受；
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T 越高，越容易接受差解；T 越低，越难接受差解。
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降温策略（Cooling Schedule）
控制温度如何下降，常见方法：
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指数降温：Tk+1=α⋅Tk，其中 0<α<1（如 α=0.95）
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线性降温：Tk+1=Tk−ΔT
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对数降温（理论最优，但实际慢）：Tk=log(k+1)C
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终止条件
常见条件包括：
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温度降到阈值以下；
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连续若干次迭代没有改善；
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达到最大迭代次数或运行时间。
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四、算法流程（伪代码）
1. 初始化：
- 任选一个初始解 x_current
- 设置初始温度 T，降温系数 alpha，终止条件
2. While 不满足终止条件：
a. For i = 1 to L（每个温度下的迭代次数）：
i. 生成新解 x_new = neighbor(x_current)
ii. 计算 Δf = f(x_new) - f(x_current)
iii. 如果 Δf < 0，接受 x_new
否则，以概率 exp(-Δf / T) 接受 x_new
iv. 更新 x_current
b. 降温：T = alpha * T
3. 输出最优解五、关键参数及其影响
| 参数 | 作用 | 设置建议 |
|---|---|---|
| 初始温度 T₀ | 控制初期接受差解的能力，影响全局搜索能力 | 应足够高，使大部分差解可被接受（如90%以上） |
| 降温系数 α | 决定冷却速度，α 越小降温越快 | 常用 0.80 ~ 0.99，视问题而定 |
| 每个温度的迭代次数 L | 控制在每个温度下的搜索充分性 | 可设为固定值或与问题规模相关 |
| 终止温度 T_min | 算法停止的温度阈值 | 一般设较小值，如 1e-8 或更低 |
| 邻域生成策略 | 决定搜索空间的探索方式 | 需平衡"探索"与"开发"，避免陷入局部最优 |
六、优缺点分析
✅ 优点：
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不易陷入局部最优，有一定概率跳出；
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简单易实现，通用性强；
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可用于离散和连续优化问题；
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可与其他算法（如遗传算法、局部搜索）结合形成混合算法。
❌ 缺点：
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参数调节敏感（初始温度、降温速度等对结果影响大）；
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收敛速度较慢，尤其降温慢时；
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不保证找到全局最优，结果具有一定随机性；
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对邻域结构设计依赖较大。
七、典型应用场景
| 应用领域 | 示例问题 |
|---|---|
| 组合优化 | 旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP）、图着色、作业调度 |
| 工程设计优化 | 电路布局优化、天线设计、结构优化 |
| 生产与物流 | 排产优化、仓储选址、配送路径优化 |
| 图像处理 | 图像恢复、边缘检测、特征选择 |
| 机器学习 | 神经网络权重优化、超参数调优（较少用，但可行） |
八、简单 Python 示例（以最小化函数为例）
import math
import random
# 目标函数（示例：求 f(x) = x^2 的最小值）
def objective_function(x):
return x**2
# 邻域函数：在当前解附近扰动
def get_neighbor(x, step=1.0):
return x + random.uniform(-step, step)
# 模拟退火算法
def simulated_annealing():
T = 1000 # 初始温度
T_min = 1e-3 # 终止温度
alpha = 0.95 # 降温系数
current_x = random.uniform(-10, 10)
current_cost = objective_function(current_x)
best_x, best_cost = current_x, current_cost
while T > T_min:
for _ in range(100): # 每个温度下迭代次数
new_x = get_neighbor(current_x)
new_cost = objective_function(new_x)
delta = new_cost - current_cost
# 如果新解更好，或者按概率接受差解
if delta < 0 or random.random() < math.exp(-delta / T):
current_x = new_x
current_cost = new_cost
if current_cost < best_cost:
best_x = current_x
best_cost = current_cost
T *= alpha # 降温
return best_x, best_cost
# 运行算法
x_opt, f_opt = simulated_annealing()
print(f"最优解 x = {x_opt:.4f}, f(x) = {f_opt:.4f}")九、总结
| 项目 | 内容摘要 |
|---|---|
| 核心思想 | 模拟物理退火过程，以一定概率跳出局部最优，寻找全局最优 |
| 优势 | 全局搜索能力强、适用范围广、实现简单 |
| 挑战 | 参数调节复杂、收敛慢、对邻域结构敏感 |
| 适用问题 | NP难组合优化、连续优化、多峰函数优化等 |
| 类似算法 | 可与遗传算法、禁忌搜索、局部搜索等结合形成混合优化策略 |