🎯 开场灵魂拷问：你真的会"找最长递增子序列"吗？
面试官轻描淡写地抛出一句：
"给定一个数组，求它的最长递增子序列长度。"
你以为这是送分题？
结果一写代码才发现------
- 暴力枚举？超时！
- 动态规划？能过但慢如蜗牛！
- 贪心 + 二分？脑子里一团浆糊："这玩意儿怎么还能用二分？"
别慌，这不是你菜，而是你还没看到这场算法进化的"全貌"。
今天，我们就来拆解 LeetCode 第 300 题 ------ 「最长递增子序列（LIS）」，带你从 暴力直觉 → 动态规划 → 贪心艺术，一步步攀登算法高峰。
✅ 学完你会明白：
- 为什么 DP 是"基础课"，而贪心是"研究生选修"？
- 为什么"末尾越小越好"能决定整个序列的命运？
- 以及------二分查找，居然也能用来"维护梦想"？
🧩 第一章：题目解析 ------ 先搞清楚"我们在找什么"
🔍 题目定义（LeetCode 300）
给你一个整数数组 nums，找出其中最长严格递增子序列的长度。
📌 注意关键词：
- 子序列 ≠ 子数组：可以不连续，但必须保持原顺序。
- 严格递增 ：
[2,3,3]不算，[2,3,4]才行。 - 只需要返回长度，不要求输出具体序列（除非面试官坏笑说："那你打印一下？"）
🎯 示例：
js
输入: nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长递增子序列为 [2,3,7,18] 或 [2,5,7,101]，长度为4。💡 思考起点：
我们不是要"列出所有可能"，而是要在 时间与空间的夹缝中，找到最优路径。
🏗️ 方法一：动态规划（DP）------ 暴力中的优雅
⏱️ 时间复杂度：O(n²)
💾 空间复杂度：O(n)
🧠 适合初学者理解本质，也适合面试保底
🤔 核心思想：以我为中心，我能接谁？
我们换个视角思考：
对于每个位置
i，如果我能成为某个递增子序列的"结尾"，那这个序列最长能有多长？
于是我们定义状态：
dp[i]= 以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
为什么这样定义？因为：
- 子序列有"延续性"：
... → a → b成立的前提是a < b - 所以
dp[i]的值，取决于前面所有比nums[i]小的元素的dp[j]
🔄 状态转移方程
对每个 i，遍历 j ∈ [0, i)：
text
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)初始值：每个元素自己就是一个长度为 1 的子序列 → dp[i] = 1
✅ 代码实现（带注释版）
🧪 执行过程可视化（手把手教学）
以 nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] 为例：
| i | nums[i] | 可接的 j | dp[i] 计算过程 | 最终 dp[i] |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 10 | - | 初始化为 1 | 1 |
| 1 | 9 | 无 | 无 <9 的前驱 |
1 |
| 2 | 2 | 无 | 同上 | 1 |
| 3 | 5 | j=2 (2<5) | dp[2]+1 = 2 | 2 |
| 4 | 3 | j=2 (2<3) | dp[2]+1 = 2 | 2 |
| 5 | 7 | j=2,3,4 | max(dp[j])+1 = 3 | 3 |
| 6 | 101 | 前面都小 | max(dp[j])+1 = 4 | 4 |
| 7 | 18 | 前面都小 | 但只能接最长链 | 4 |
✅ 最终答案：max(dp) = 4
📉 复杂度分析
- 时间 ：O(n²) ------ 双重循环，适合
n ≤ 10³ - 空间 ：O(n) ------
dp数组
🟢 优点：逻辑清晰，容易想到，适合面试"先写个能跑的" 🔴 缺点：数据一大就超时，比如 n = 10⁵？直接凉透
🚀 方法二：贪心 + 二分查找 ------ 当算法开始"动脑筋"
⏱️ 时间复杂度：O(n log n)
💾 空间复杂度：O(n)
🧠 适合高手秀操作，也是大厂面试加分项
🤯 关键洞察：我们要的不是"当前最长"，而是"未来潜力最大"
动态规划的问题在于：它太"实在"了。
它记录的是"以某点结尾的最长长度"，但并不关心"这个序列将来能不能继续增长"。
而贪心策略的核心哲学是：
对于相同长度的递增子序列，末尾越小，未来的路就越宽！
举个例子：
- 序列 A：
[2,5,7]，末尾是 7 - 序列 B：
[2,3,7]，末尾也是 7，但中间更小
现在来了一个新数字 4：
- A 无法接（7 > 4）
- B 虽然也不能直接接，但如果把
7换成4，就变成了[2,3,4]，未来还能接5,6...
所以，我们应该保留那些"末尾尽可能小"的候选序列。
🛠️ 引入神器：tails 数组
我们定义一个辅助数组：
tails[k]= 长度为k+1的递增子序列中，最小的末尾元素
例如：
js
tails = [2, 3, 7, 18]表示：
- 有长度为1的 LIS，最小末尾是 2
- 有长度为2的 LIS，最小末尾是 3
- ...
- 有长度为4的 LIS，最小末尾是 18
🎯 目标：维护这个 tails 数组，让它始终保持"末尾最小化"。
🔁 算法流程：见招拆招
遍历每个 num：
-
如果
num > tails[last]→ 说明它可以扩展当前最长序列！直接追加到末尾。
-
否则（
num <= tails[last]）→ 它不能扩展最长序列，但可以"优化"某个较短序列的末尾。
→ 使用二分查找 ，找到第一个
≥ num的位置，把它替换掉。
🧠 替换的意义：我们用
num更新了某个长度的"最佳末尾"，让未来更容易扩展。
✅ 代码实现（含详细注释）
🎬 执行过程动画演示（文字版）
nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
| num | tails 变化 | 说明 |
|---|---|---|
| 10 | [10] |
初始 |
| 9 | [9] |
9 < 10，替换第一个 ≥9 的元素 |
| 2 | [2] |
同上 |
| 5 | [2,5] |
5 > 2，可扩展，追加 |
| 3 | [2,3] |
3 < 5，替换第一个 ≥3 的位置（索引1） |
| 7 | [2,3,7] |
7 > 3，追加 |
| 101 | [2,3,7,101] |
继续追加 |
| 18 | [2,3,7,18] |
18 < 101，替换最后一个 |
✅ 最终长度为 4，正确！
🧠 为什么 tails 是有序的？（关键证明）
很多人疑惑：为什么能用二分查找？
👉 因为 tails 是严格递增的！
反证法：
假设存在 i < j 且 tails[i] >= tails[j]。
那么长度为 j+1 的 LIS 的前 i+1 个元素，构成了一个长度为 i+1 的递增子序列，其末尾 < tails[j] ≤ tails[i]，
但这与 tails[i] 是"长度为 i+1 的最小末尾"矛盾！
✅ 所以 tails 必然递增，可用二分！
📉 复杂度分析
- 时间：O(n log n) ------ 每个元素做一次 O(log n) 的二分
- 空间 ：O(n) ------
tails最多存 n 个元素
🟢 优势：大规模数据也能轻松应对（n=10⁵ 也没问题） 🔴 劣势：tails 数组并不是真正的 LIS，只是长度正确（想还原序列？得额外记录）
🆚 两种方法对比：一场"稳扎稳打" vs "灵巧突袭"的较量
| 维度 | 动态规划（DP） | 贪心 + 二分 |
|---|---|---|
| 🧠 思维难度 | 简单直观，易理解 | 抽象跳跃，需顿悟 |
| ⏱️ 时间复杂度 | O(n²) | O(n log n) ✅ |
| 💾 空间复杂度 | O(n) | O(n) |
| ✅ 是否稳定 | 是，适合保底 | 是，但难调试 |
| 🖨️ 能否还原子序列 | ✅ 可通过 prev 数组还原 |
❌ tails 不是真实序列 |
| 🎯 适用场景 | 小数据、教学、面试保底 | 大数据、性能敏感、进阶展示 |
💡 高阶技巧与拓展思考
✅ 技巧1：如何还原具体的 LIS？
- DP 方案：额外维护
parent[i]记录前驱节点，最后倒推路径 - 贪心方案：不行（
tails是虚拟状态），但可通过"路径回溯 + 栈"模拟
✅ 技巧2：最长非递减子序列？
只需将条件改为 nums[j] <= nums[i]，或在二分查找时找 第一个 > num 的位置进行替换。
✅ 技巧3：结合实际业务？
- 用户行为轨迹中最长"正向成长"路径
- 股票价格中的最长上涨周期
- 文本相似度匹配中的最长公共递增子序列（LCIS）
🧩 面试视角：如果你是面试官，你会怎么问？
- "先说个你能想到的方法。" → 你答 DP，稳妥。
- "有没有更优解？" → 你答贪心 + 二分，加分。
- "为什么
tails可以用二分？" → 你开始讲单调性，面试官点头。 - "那怎么还原具体序列？" → 你微微一笑："我有备而来。"
🎯 这就是算法面试的"阶梯式挑战"：先活下来，再赢下来。
🏁 终极总结：从"复制粘贴"到"创造思维"
| 方法 | 代表能力 | 适合阶段 |
|---|---|---|
| 动态规划 | 基础建模能力 | 初级 → 中级 |
| 贪心 + 二分 | 优化思维 & 数学直觉 | 中级 → 高级 |
🌟 编程的本质，是从"解决问题"到"优雅地解决问题"的进化。
下次当你看到"最长递增子序列"，不要再害怕：
- 先写 DP 保命，
- 再秀贪心翻盘，
💬 互动时间
欢迎在评论区留下你的想法：
- 你是怎么第一次理解"贪心 + 二分"这个思路的？
- 你在项目中遇到过类似 LIS 的实际问题吗？
- 你觉得
tails数组像不像"人生梦想清单"？越早把目标调低，未来越容易实现 😂
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