1. 弧长定义
设 B 样条曲线为 C (u)，参数 u ∈ [a, b]。
其弧长 L 定义为：
L ＝ ∫ₐᵇ ‖C′(u)‖ du
其中：
- C′(u) 是曲线对参数 u 的一阶导数（切向量），
- ‖C′(u)‖ 表示该向量的欧几里得范数（即速度大小）。
由于该积分通常无解析解，需采用高精度数值积分方法。
2. 自适应辛普森法基本思想
自适应辛普森法通过递归细分区间，在函数变化剧烈的区域自动加密采样，在平滑区域减少计算，从而在保证精度的同时提高效率。
对任意子区间 [uₗ, uᵣ]，定义：
- S(uₗ, uᵣ) 为用单段辛普森公式在 [uₗ, uᵣ] 上的积分近似值；
- S(uₗ, uₘ) ＋ S(uₘ, uᵣ) 为将区间二分后两段辛普森公式的和（uₘ 为中点）。
若两者之差小于容差，则接受粗略估计；否则递归细分。
3. 辛普森公式（单段）
对区间 [uₗ, uᵣ]，中点 uₘ ＝ (uₗ ＋ uᵣ) / 2，步长 h ＝ uᵣ − uₗ。
单段辛普森近似为：
S(uₗ, uᵣ) ＝ (h / 6) ⋅ [ f(uₗ) ＋ 4⋅f(uₘ) ＋ f(uᵣ) ]
其中：
f(u) ＝ ‖C′(u)‖
4. 误差估计与递归准则
定义误差估计为：
E ＝ | S(uₗ, uₘ) ＋ S(uₘ, uᵣ) − S(uₗ, uᵣ) |
若 E ≤ 15⋅ε（ε 为用户指定的局部容差），则接受更精确的组合值作为该区间的积分结果：
∫ᵤₗᵘʳ f(u) du ≈ S(uₗ, uₘ) ＋ S(uₘ, uᵣ) ＋ E / 15
否则，将 [uₗ, uₘ] 和 [uₘ, uᵣ] 分别递归处理，容差减半（即 ε/2）。
注：因子 15 源于辛普森法的误差阶 O(h⁵)，理论推导表明真实误差 ≈ E / 15。
5. 算法步骤
-
设定全局容差 tol（如 1e−6）。
-
调用递归函数 AdaptiveSimpson(a, b, f, tol)：
- 计算 S₁ ＝ S(a, b)
- 计算中点 m ＝ (a ＋ b)/2
- 计算 S₂ ＝ S(a, m) ＋ S(m, b)
- 若 |S₂ − S₁| ≤ 15⋅tol，则返回 S₂ ＋ (S₂ − S₁)/15
- 否则返回
AdaptiveSimpson(a, m, f, tol/2) ＋ AdaptiveSimpson(m, b, f, tol/2)
-
最终弧长 L 即为该递归函数的返回值。
6. 优点与适用性
- 自动聚焦高曲率区域：在 B 样条拐点或曲率突变处自动加密采样。
- 高效且高精度：相比固定步长方法，计算量更少而精度更高。
- 适用于任意光滑曲线：B 样条通常具有 C² 连续性，非常适合此方法。
7. 注意事项
- 函数 f(u) ＝ ‖C′(u)‖ 必须在 [a, b] 上连续（B 样条满足此条件）。
- 初始容差 tol 控制整体精度，典型值为 1e−6 至 1e−9。
- 为防止无限递归，可设置最大递归深度（如 20 层）。
此方法广泛应用于 CAD/CAM、机器人轨迹规划和动画路径长度计算等场景，是求解参数曲线弧长的工业级标准技术之一。