C. Product 1 Modulo N（同余）

C. Product 1 Modulo Nhttps://codeforces.com/contest/1514/problem/C

题目：

给定一个整数 n，请找出序列的最长子序列 ，满足该子序列中所有元素的乘积模 n 等于 1。

思路：

假设最终答案的子序列内所有元素的乘积是t，那么就是要保证t%n=1

我们要联想到这个公式：gcd(a,b)=gcd(a%b,b)

令a=t，b=n，如果gcd(t,n)!=1那么gcd(t%n,n)!=1，那么t%n!=1（因为如果t%n=1，那么gcd(t%n,n)必等于1），不符合条件，所以gcd(t,n)=1，也就意味着子序列中的任一数都与n互质，否则gcd(t,n)!=1

现在我们知道子序列中的数都与n互质，假设在1-n-1中全部与n互质的数的乘积为p

记p%n=k

如果k==1，那么直接输出全部与n互质的数即可

否则 输出除k之外的与n互质的数

这需要证明两个地方

1，k在子序列中

要证明这个，只需证明k<n，且k与n互质即可，而k<n，显而易见无需证明，只需证明k与n互质即可

还是要用到上面那个式子gcd(a,b)=gcd(a%b,b)

此时令a=p，b=n

那么gcd(p,n)=gcd(p%n,n)=gcd(k,n)=1，证毕

2，（p/k）%n=1

两种证明方式

1同余运算

因为，两边同除k，得到，因为k与n互质，所以，所以

2思维推导

首先我们知道有这么一个公式**(a%n*b%n)%n=(a*b)%n**

乘积p可以拆分成k与除k外其他与n互质的数的乘积，简写成p=k*g 令a=k，b=g，那么（k*g）%n=（（k%n）*（g%n））%n，我们又知道（k*g）%n=k，k%n=k，所以k=（k*（g%n））%n

此时g%n等于x*n+1（x属于任意整数，可以*进去看看，（k*x*n+k）%n=k），所以g%n=1，也就是（p/k）%n=1

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
// priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > Q;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 4e5+10;
const int inf=1e9;
void solve() {
    int n;cin >> n;
    vector<int>a;
    int t=1;
    for (int i=1;i<n;i++) {
        if(gcd(i,n)==1) {
            a.push_back(i);
            t*=i;
            t%=n;
        }
    }
    if (n==1) {
        cout << 1 << endl << 1 << endl;
        return ;
    }
    if (t%n==1) {
        cout << a.size() << endl;
        for (auto x:a) {
            cout << x << ' ';
        }
        cout << endl;
    }else {
        cout << a.size()-1 << endl;
        for (int i=0;i<a.size()-1;i++) {
            cout << a[i] << ' ';
        }
        cout << endl;
    }
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int q=1;
    // cin >> q;
    while (q--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

同余的运算定律

同余是数论中的核心概念，给定正整数 n，若 a-b 是 n 的整数倍，则称 a 与 b 模 n 同余，记为 a≡b (mod n)。它满足一系列类似等式的运算定律，同时也有自身的特殊规则，具体分类如下：

一、 基本等价定律（同余关系的性质）

同余本质是一种等价关系，满足以下三条基本定律：

1. 自反性对任意整数 a，有 a≡a (mod n)。例：5≡5 (mod 3)。
2. 对称性若 a≡b (mod n)，则 b≡a (mod n)。例：若 7≡1 (mod 6)，则 1≡7 (mod 6)。
3. 传递性若 a≡b (mod n) 且 b≡c (mod n)，则 a≡c (mod n)。例：10≡4 (mod 6)，4≡-2 (mod 6)，则 10≡-2 (mod 6)。

二、 四则运算定律（同余的运算封闭性）

同余对加、减、乘运算完全封闭，对除法有条件封闭，具体规则如下：

1. 加法定律若 a≡b (mod n)，c≡d (mod n)，则 a+c≡b+d (mod n)。推论：a+c≡b+c (mod n)（c=d 的特殊情况）。例：3≡1 (mod 2)，5≡1 (mod 2)，则 3+5≡1+1 (mod 2)，即 8≡2 (mod 2)。
2. 减法定律若 a≡b (mod n)，c≡d (mod n)，则 a-c≡b-d (mod n)。推论：a-c≡b-c (mod n)。例：9≡3 (mod 6)，4≡1 (mod 6)，则 9-4≡3-1 (mod 6)，即 5≡2 (mod 6)。
3. 乘法定律若 a≡b (mod n)，c≡d (mod n)，则 a×c≡b×d (mod n)。推论 1：a×c≡b×c (mod n)。推论 2（幂运算）：a^k≡b^k (mod n)（k 为正整数）。例：2≡5 (mod 3)，则 2^3≡5^3 (mod 3)，即 8≡125 (mod 3)。
4. 除法定律（有条件）同余的除法不满足无条件封闭，核心规则为：若 a×c≡b×c (mod n)，则 a≡b (mod n/gcd (c,n))。特殊情况（消去律）：若 gcd (c,n)=1（c 与 n 互质），则 a≡b (mod n)。例：6×2≡ 3×2 (mod 6) → 12≡6 (mod 6)，gcd (2,6)=2，则 6≡3 (mod 6/2) → 6≡3 (mod 3)。

三、 其他常用推论

1. 若 a≡b (mod n)，则 k×a≡k×b (mod k×n)（k 为正整数）。
2. 若 a≡b (mod n)，d 是 a,b,n 的公因数，则 a/d≡b/d (mod n/d)。
3. 若 a≡b (mod n1) 且 a≡b (mod n2)，且 gcd (n1,n2)=1，则 a≡b (mod n1×n2)（中国剩余定理的基础）。