- 基本概念
• 生成树：无向连通图 G 的一个子图，包含 G 的全部顶点，且是连通的无环子图，边数为 n-1（n 为顶点数）。
• 最小生成树（MST）：在带权无向连通图中，所有生成树中权值总和最小的生成树。
• 核心性质：一个图可以有多棵最小生成树，但权值总和相等； MST 不唯一的情况出现在图中存在多条权值相同的边时。
- 经典构造算法
2.1 Prim 算法（加点法）
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初始化：任选一个顶点作为起始点，加入 MST 集合；初始化一个数组记录各顶点到 MST 集合的最小权值。
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选择顶点：在未加入 MST 的顶点中，选取 到 MST 集合权值最小的顶点 u，将 u 加入 MST 集合。
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更新权值：遍历顶点 u 的所有邻接顶点，若该顶点未加入 MST，且其到 u 的权值小于当前记录的最小权值，则更新权值。
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重复步骤 2、3：直到所有顶点都加入 MST 集合。
• 适用场景：稠密图，时间复杂度主要取决于顶点数，适合顶点少、边多的图。
2.2 Kruskal 算法（加边法）
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初始化：将图中所有边按 权值从小到大 排序；初始化每个顶点为一个独立的连通分量。
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选择边：依次选取权值最小的边，判断该边的两个顶点是否属于 不同的连通分量。
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合并分量：若属于不同分量，则将该边加入 MST 集合，并合并这两个连通分量；若属于同一分量，则舍弃该边（避免形成环）。
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重复步骤 2、3：直到 MST 集合中包含 n-1 条边（n 为顶点数）。
• 适用场景：稀疏图，时间复杂度主要取决于边数，适合顶点多、边少的图。
- 核心定理
• 切分定理：将图的顶点集划分为两个非空子集 S 和 V-S（称为一个切分），若边 e 是这个切分的横切边（两个端点分别在 S 和 V-S 中），且 e 的权值是所有横切边中最小的，则 e 必属于 MST。
• 两个算法均基于切分定理：Prim 算法每次扩展顶点集对应一个切分，Kruskal 算法每次选最小边也满足切分最小横切边条件。
- 注意事项
• 最小生成树仅适用于 无向连通带权图，非连通图不存在生成树。
• 两种算法都能保证得到最小生成树，选择依据是图的稠密程度。