线代第三章向量第三节：向量组的秩

向量组的秩

向量组的秩是线性代数的核心概念 ，它描述了向量组中线性无关向量的最大个数，反映了向量组的 "本质维度"，是判断向量组线性相关性、求解线性方程组、分析矩阵结构的关键工具。

一、核心定义

1. 极大线性无关组

给定一个向量组 α1​,α2​,...,αs​（向量可以是 n 维列向量或行向量），如果它的一个部分组 αi1​​,αi2​​,...,αir​​ 满足两个条件：

1. 线性无关：该部分组中没有任何一个向量可以由其余向量线性表示。
2. 极大性：从原向量组中任意添加一个剩余向量到该部分组，新的向量组都会变成线性相关。

则称这个部分组为原向量组的 极大线性无关组。

注意：

• 一个向量组的极大线性无关组不唯一。例如向量组 α1=(1,0),α2=(0,1),α3=(1,1)，{α1,α2} 和 {α1,α3} 都是它的极大线性无关组。
• 仅含零向量的向量组没有极大线性无关组。

2. 向量组的秩

向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数是相同的 ，这个公共的个数称为该向量组的秩，记作 r(α1​,α2​,...,αs​) 或 rank(α1​,α2​,...,αs​)。

关键结论：

1. 若向量组仅含零向量，秩为 0。
2. 若向量组线性无关，则它的极大线性无关组就是自身，秩等于向量组的向量个数 s，即 r=s。
3. 若向量组线性相关，则 r<s。

二、向量组的秩与矩阵的秩的关系

在 AI 领域，我们通常将向量组按列或按行排列成矩阵，利用矩阵的秩来求向量组的秩，这是最常用的计算方法。

1. 基本定理

设 A 是一个 m×n 矩阵：

• 矩阵 A 的列秩：矩阵的 n 个列向量构成的向量组的秩。
• 矩阵 A 的行秩：矩阵的 m 个行向量构成的向量组的秩。
• 核心定理 ：矩阵的列秩 = 行秩 = 矩阵的秩（矩阵的秩定义为最高阶非零子式的阶数）。

这个定理建立了向量组的秩与矩阵的秩的桥梁，也是 AI 中矩阵运算的理论基础（比如神经网络中的特征降维）。

2. 计算向量组的秩的方法（核心步骤）

对于 n 维列向量组 α1​,α2​,...,αs​，计算秩的步骤：

1. 构造矩阵：将向量组按列排列成矩阵 A=(α1,α2,...,αs)（n×s 矩阵）。
2. 初等行变换 ：对矩阵 A 做初等行变换，将其化为 行阶梯形矩阵。
3. 数非零行的行数 ：行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩，也就是原向量组的秩。

3. 初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系

将α1​,α2​,α3​,α4​按列构成矩阵，对其做初等行(只做行变换)变换化为行最简形：

行最简形有 2 个非零行，故向量组的秩为 2，极大线性无关组含 2 个向量（不唯一），常见的有：

1. {α1,α2}（行最简形 "首非零元" 对应的列）；
2. {α1,α3}（α3不能由α1线性表示）；
3. {α1,α4}（α4不能由α1线性表示）。

以 **极大线性无关组{α1​,α2​}**为例，根据行最简形的列向量关系，原向量满足：