Leetcode 3790. Smallest All-Ones Multiple

Espresso Macchiato2025-12-29 8:58

[Leetcode 3790. Smallest All-Ones Multiple](#Leetcode 3790. Smallest All-Ones Multiple)
- [1. 解题思路](#1. 解题思路)
- [2. 代码实现](#2. 代码实现)

题目链接：3790. Smallest All-Ones Multiple

1. 解题思路

这一题是leetcode周赛482的第三题，是一道medium的题目。

这一题的解法并不难，主要是数学证明的思路还是挺有意思的，是一个典型的数论问题的处理方法。

这一题的核心在于发现：

如果 k k k不为 2 2 2和 5 5 5的倍数，那么在 1 , 11 , ⋯ , 11 ⋯ 1 1,11,\cdots,11\cdots1 1,11,⋯,11⋯1当中，必然存在某一个数恰好为 k k k的倍数，且长度不超过 k k k。

其中， 2 2 2和 5 5 5的倍数不满足题意这一点是可以直接看出来的，剩下的就是证明其余的数都可以找到一个长度不超过 k k k位的数。

我们是用反证法，假设不存在这么一个数，那么我们取 1 1 1到 1 ⋯ 1 1\cdots1 1⋯1这 k k k个数，其关于 k k k的余数至少有两个数是相同的，然后我们将其相减，则必然得到一个数 1 ⋯ 10 ⋯ 0 1\cdots10\cdots0 1⋯10⋯0恰好为 k k k的倍数，而这个数又可以写为 1 ⋯ 1 × 10 m 1\cdots1 \times 10^m 1⋯1×10m，显然 10 m 10^m 10m与 k k k互质，因此，其前缀 1 ⋯ 1 1\cdots1 1⋯1必然可以被 k k k整除，且其长度不超过 k k k，与假设矛盾。

因此，我们只需要一个循环，即可在至多 k k k次查找中找到目标的数。

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

python 复制代码

class Solution:
    def minAllOneMultiple(self, k: int) -> int:
        if k % 2 == 0:
            return -1
        elif k % 5 == 0:
            return -1
        n, num = 1, 1
        while num % k != 0:
            num = (num * 10 + 1) % k
            n += 1
        return n

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