【笔记篇】【硬件基础篇】电路 修订第5版 (邱关源) 第六章 储能元件

智嵌电子2025-12-31 9:52

电路 修订第5版 邱关源

第六章 储能元件

一、引言

本章核心介绍两种典型储能元件------电容和电感，它们是构成动态电路的核心元件。与电阻（耗能、无记忆、即时响应）不同，电容和电感具有储能特性 （分别储存电场能、磁场能）、动态特性 （电压电流为微分/积分关系）和记忆特性（响应依赖历史电流/电压及初始状态）。本章将系统讲解其电路模型、电压电流关系（VCR）、功率与能量计算，以及串并联等效参数推导，为后续动态电路分析奠定基础。

二、电容元件（6-1）

1. 物理本质与电路模型

（1）物理本质

电容器由间隔介质的两块金属板构成，施加电压后极板聚集等量异号电荷，介质中建立电场并储存电场能量，移去电源后电荷可维持，电场能量保留，是储存电场能量的元件。

（2）电路模型与库伏特性
  • 线性电容元件的图形符号：图6-1(a)，核心参数为电容 C C C（正实常数，单位：法拉F，常用 μ F \mu F μF、 p F pF pF）；
  • 库伏特性（电荷 q q q与电压 u u u的关系）：当电压参考极性与极板电荷极性一致时，线性电容的库伏特性是 q − u q-u q−u平面过原点的直线，表达式为：
    q = C u (6-1) q = C u \tag{6-1} q=Cu(6-1)
  • 非线性电容：库伏特性非直线（如变容二极管），本章仅分析线性电容 （简称"电容"，符号 C C C既表示元件也表示参数）。

2. 电压电流关系（VCR）

（1）关联参考方向下的微分关系

若电容电流 i i i与电压 u u u取关联参考方向（电流从正极板流入），根据电流定义 i = d q d t i = \frac{dq}{dt} i=dtdq，结合 q = C u q = Cu q=Cu，得：
i = C d u d t (6-2) i = C \frac{du}{dt} \tag{6-2} i=Cdtdu(6-2)

核心物理意义：
  • 电流与电压的变化率成正比，与电压本身大小无关；
  • 电压剧变（ d u d t \frac{du}{dt} dtdu极大）时，电流很大；电压恒定（直流稳态， d u d t = 0 \frac{du}{dt}=0 dtdu=0）时，电流 i = 0 i=0 i=0，电容相当于开路（隔直作用）。
（2）逆关系（积分形式）

由式(6-2)积分，可得电压用电流表示的关系（记忆特性的体现）：
u ( t ) = u ( t 0 ) + 1 C ∫ t 0 t i ( ξ ) d ξ (6-6) u(t) = u(t_0) + \frac{1}{C} \int_{t_0}^t i(\xi) d\xi \tag{6-6} u(t)=u(t0)+C1∫t0ti(ξ)dξ(6-6)

若取 t 0 = 0 t_0=0 t0=0（时间起点），则：
u ( t ) = u ( 0 ) + 1 C ∫ 0 t i ( ξ ) d ξ (6-7) u(t) = u(0) + \frac{1}{C} \int_0^t i(\xi) d\xi \tag{6-7} u(t)=u(0)+C1∫0ti(ξ)dξ(6-7)

参数含义：
  • u ( t 0 ) u(t_0) u(t0)： t 0 t_0 t0时刻电容的初始电压（记忆历史状态的核心，由 t 0 t_0 t0前的电流累积决定）；
  • ∫ t 0 t i ( ξ ) d ξ \int_{t_0}^t i(\xi) d\xi ∫t0ti(ξ)dξ： t 0 t_0 t0到 t t t时间内流过电容的电荷增量；
  • 物理意义： t t t时刻电容电压 = 初始电压 + 电荷增量对应的电压。
（3）电荷的积分表达式

同理，电荷与电流的关系为：
q ( t ) = q ( t 0 ) + ∫ t 0 t i ( ξ ) d ξ (6-4) q(t) = q(t_0) + \int_{t_0}^t i(\xi) d\xi \tag{6-4} q(t)=q(t0)+∫t0ti(ξ)dξ(6-4)

其中 q ( t 0 ) = C u ( t 0 ) q(t_0) = C u(t_0) q(t0)=Cu(t0)，即初始电荷与初始电压成正比。

3. 功率与能量

（1）吸收功率

关联参考方向下，电容吸收的瞬时功率为：
p = u i = C u d u d t p = u i = C u \frac{du}{dt} p=ui=Cudtdu

  • 功率正负： p > 0 p>0 p>0时吸收能量（充电）， p < 0 p<0 p<0时释放能量（放电）。
（2）储存的电场能量

电容吸收的能量以电场能形式储存，假设 t = − ∞ t=-\infty t=−∞时 u ( − ∞ ) = 0 u(-\infty)=0 u(−∞)=0（初始无储能），则 t t t时刻储存的电场能量为：
W C ( t ) = ∫ − ∞ t p ( ξ ) d ξ = 1 2 C u 2 ( t ) (6-8) W_C(t) = \int_{-\infty}^t p(\xi) d\xi = \frac{1}{2} C u^2(t) \tag{6-8} WC(t)=∫−∞tp(ξ)dξ=21Cu2(t)(6-8)

能量变化规律：
  • 从 t 1 t_1 t1到 t 2 t_2 t2，电容能量变化为：
    Δ W C = W C ( t 2 ) − W C ( t 1 ) = 1 2 C u 2 ( t 2 ) − 1 2 C u 2 ( t 1 ) \Delta W_C = W_C(t_2) - W_C(t_1) = \frac{1}{2} C u^2(t_2) - \frac{1}{2} C u^2(t_1) ΔWC=WC(t2)−WC(t1)=21Cu2(t2)−21Cu2(t1)
  • 充电时 ∣ u ( t 2 ) ∣ > ∣ u ( t 1 ) ∣ |u(t_2)| > |u(t_1)| ∣u(t2)∣>∣u(t1)∣， Δ W C > 0 \Delta W_C>0 ΔWC>0（吸收能量）；放电时 Δ W C < 0 \Delta W_C<0 ΔWC<0（释放能量）；
  • 电容仅储存和释放能量，不消耗能量，是无源储能元件。

4. 非理想电容与分布电容

（1）非理想电容模型

实际电容器存在介质损耗（消耗电能），模型为"电容 C C C与电阻 R R R并联"（损耗功率与电压直接相关）。

（2）分布电容与杂散电容

电位不等的导体间均存在电容效应（如输电线间、晶体管电极间、线圈线匝间），称为分布电容或杂散电容。低频时影响可忽略，高频时需计入模型。

三、电感元件（6-2）

1. 物理本质与电路模型

（1）物理本质

电感由导线绕制的线圈构成，通电流后产生磁场，磁场变化时线圈两端感应电压，移去电源后磁场能可通过感应电流释放，是储存磁场能量的元件。

（2）关键物理量：磁通与磁通链
  • 自感磁通 Φ L \Phi_L ΦL：线圈电流 i i i产生的穿过线圈自身的磁通（单位：韦伯Wb）；
  • 磁通链 Ψ L \Psi_L ΨL： Ψ L = N Φ L \Psi_L = N \Phi_L ΨL=NΦL（ N N N为线圈匝数），反映磁通与线圈的交链程度；
  • 参考方向： Φ L \Phi_L ΦL、 Ψ L \Psi_L ΨL与电流 i i i满足右手螺旋关系（电流绕向与磁通方向一致）。
（3）电路模型与韦安特性
  • 线性电感元件的图形符号：图6-3(a)，核心参数为电感 L L L（自感系数，正实常数，单位：亨利H，常用mH、 μ H \mu H μH）；
  • 韦安特性（磁通链 Ψ L \Psi_L ΨL与电流 i i i的关系）：线性电感的韦安特性是 Ψ L − i \Psi_L-i ΨL−i平面过原点的直线，表达式为：
    Ψ L = L i (6-10) \Psi_L = L i \tag{6-10} ΨL=Li(6-10)
  • 非线性电感：韦安特性非直线（如带铁心的线圈），本章仅分析线性电感 （简称"电感"，符号 L L L既表示元件也表示参数）。

2. 电压电流关系（VCR）

（1）关联参考方向下的微分关系

根据电磁感应定律，感应电压与磁通链变化率成正比，若感应电压 u u u与 Ψ L \Psi_L ΨL满足右手螺旋关系（关联参考方向），结合 Ψ L = L i \Psi_L = L i ΨL=Li，得：
u = L d i d t (6-11) u = L \frac{di}{dt} \tag{6-11} u=Ldtdi(6-11)

核心物理意义：
  • 电压与电流的变化率成正比，与电流本身大小无关；
  • 电流剧变（ d i d t \frac{di}{dt} dtdi极大）时，电压很大；电流恒定（直流稳态， d i d t = 0 \frac{di}{dt}=0 dtdi=0）时，电压 u = 0 u=0 u=0，电感相当于短路。
（2）逆关系（积分形式）

由式(6-11)积分，可得电流用电压表示的关系（记忆特性的体现）：
i ( t ) = i ( t 0 ) + 1 L ∫ t 0 t u ( ξ ) d ξ (6-13) i(t) = i(t_0) + \frac{1}{L} \int_{t_0}^t u(\xi) d\xi \tag{6-13} i(t)=i(t0)+L1∫t0tu(ξ)dξ(6-13)

若取 t 0 = 0 t_0=0 t0=0（时间起点），则：
i ( t ) = i ( 0 ) + 1 L ∫ 0 t u ( ξ ) d ξ i(t) = i(0) + \frac{1}{L} \int_0^t u(\xi) d\xi i(t)=i(0)+L1∫0tu(ξ)dξ

参数含义：
  • i ( t 0 ) i(t_0) i(t0)： t 0 t_0 t0时刻电感的初始电流（记忆历史状态的核心，由 t 0 t_0 t0前的电压累积决定）；
  • ∫ t 0 t u ( ξ ) d ξ \int_{t_0}^t u(\xi) d\xi ∫t0tu(ξ)dξ： t 0 t_0 t0到 t t t时间内的磁通链增量；
  • 物理意义： t t t时刻电感电流 = 初始电流 + 磁通链增量对应的电流。

3. 功率与能量

（1）吸收功率

关联参考方向下，电感吸收的瞬时功率为：
p = u i = L i d i d t (6-15) p = u i = L i \frac{di}{dt} \tag{6-15} p=ui=Lidtdi(6-15)

  • 功率正负： p > 0 p>0 p>0时吸收能量（磁场增强）， p < 0 p<0 p<0时释放能量（磁场减弱）。
（2）储存的磁场能量

电感吸收的能量以磁场能形式储存，假设 t = − ∞ t=-\infty t=−∞时 i ( − ∞ ) = 0 i(-\infty)=0 i(−∞)=0（初始无储能），则 t t t时刻储存的磁场能量为：
W L ( t ) = ∫ − ∞ t p ( ξ ) d ξ = 1 2 L i 2 ( t ) = 1 2 Ψ L 2 ( t ) L W_L(t) = \int_{-\infty}^t p(\xi) d\xi = \frac{1}{2} L i^2(t) = \frac{1}{2} \frac{\Psi_L^2(t)}{L} WL(t)=∫−∞tp(ξ)dξ=21Li2(t)=21LΨL2(t)

能量变化规律：
  • 从 t 1 t_1 t1到 t 2 t_2 t2，电感能量变化为：
    Δ W L = W L ( t 2 ) − W L ( t 1 ) = 1 2 L i 2 ( t 2 ) − 1 2 L i 2 ( t 1 ) \Delta W_L = W_L(t_2) - W_L(t_1) = \frac{1}{2} L i^2(t_2) - \frac{1}{2} L i^2(t_1) ΔWL=WL(t2)−WL(t1)=21Li2(t2)−21Li2(t1)
  • 电流增大时 ∣ i ( t 2 ) ∣ > ∣ i ( t 1 ) ∣ |i(t_2)| > |i(t_1)| ∣i(t2)∣>∣i(t1)∣， Δ W L > 0 \Delta W_L>0 ΔWL>0（吸收能量）；电流减小时 Δ W L < 0 \Delta W_L<0 ΔWL<0（释放能量）；
  • 电感仅储存和释放能量，不消耗能量，是无源储能元件。

4. 非理想电感与杂散电感

（1）非理想电感模型

实际线圈存在导线电阻损耗，模型为"电感 L L L与电阻 R R R串联"（损耗功率与电流平方成正比）。

（2）杂散电感

任何载流导体都会产生磁场，存在电感效应（如导线、电阻器的引线），称为杂散电感。低频时影响可忽略，高频时需计入模型。

四、电容、电感元件的串联与并联（6-3）

电容或电感串并联时，可等效为一个单一电容（ C e q C_{eq} Ceq）或电感（ L e q L_{eq} Leq），等效参数由各元件参数及连接方式决定，同时需考虑初始状态的等效。

1. 电容的串联与并联

（1）电容串联（图6-4）

n n n个电容 C 1 , C 2 , ⋯   , C n C_1, C_2, \cdots, C_n C1,C2,⋯,Cn串联，满足"各电容电流相同"（串联电路特性）。

等效电容推导：
  • 每个电容的电压表达式（由式6-6）：
    u k ( t ) = u k ( t 0 ) + 1 C k ∫ t 0 t i ( ξ ) d ξ ( k = 1 , 2 , ⋯   , n ) u_k(t) = u_k(t_0) + \frac{1}{C_k} \int_{t_0}^t i(\xi) d\xi \quad (k=1,2,\cdots,n) uk(t)=uk(t0)+Ck1∫t0ti(ξ)dξ(k=1,2,⋯,n)
  • 总电压（KVL）：
    u ( t ) = ∑ k = 1 n u k ( t ) = ∑ k = 1 n u k ( t 0 ) + ( ∑ k = 1 n 1 C k ) ∫ t 0 t i ( ξ ) d ξ u(t) = \sum_{k=1}^n u_k(t) = \sum_{k=1}^n u_k(t_0) + \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{C_k} \right) \int_{t_0}^t i(\xi) d\xi u(t)=k=1∑nuk(t)=k=1∑nuk(t0)+(k=1∑nCk1)∫t0ti(ξ)dξ
  • 与单一电容的电压表达式 u ( t ) = u ( t 0 ) + 1 C e q ∫ t 0 t i ( ξ ) d ξ u(t) = u(t_0) + \frac{1}{C_{eq}} \int_{t_0}^t i(\xi) d\xi u(t)=u(t0)+Ceq1∫t0ti(ξ)dξ对比，得：
    1 C e q = ∑ k = 1 n 1 C k (6-17) \frac{1}{C_{eq}} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{C_k} \tag{6-17} Ceq1=k=1∑nCk1(6-17)
    u ( t 0 ) = ∑ k = 1 n u k ( t 0 ) (6-18) u(t_0) = \sum_{k=1}^n u_k(t_0) \tag{6-18} u(t0)=k=1∑nuk(t0)(6-18)
关键结论：
  • 串联电容的等效电容小于任一串联电容；
  • 等效初始电压为各电容初始电压之和；
  • 特殊情况（ n = 2 n=2 n=2）： C e q = C 1 C 2 C 1 + C 2 C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} Ceq=C1+C2C1C2。
（2）电容并联（图6-5）

n n n个电容 C 1 , C 2 , ⋯   , C n C_1, C_2, \cdots, C_n C1,C2,⋯,Cn并联，满足"各电容电压相同"（并联电路特性），且初始电压一致 u 1 ( t 0 ) = u 2 ( t 0 ) = ⋯ = u n ( t 0 ) = u ( t 0 ) u_1(t_0)=u_2(t_0)=\cdots=u_n(t_0)=u(t_0) u1(t0)=u2(t0)=⋯=un(t0)=u(t0)。

等效电容推导：
  • 每个电容的电流表达式（由式6-2）：
    i k ( t ) = C k d u ( t ) d t ( k = 1 , 2 , ⋯   , n ) i_k(t) = C_k \frac{du(t)}{dt} \quad (k=1,2,\cdots,n) ik(t)=Ckdtdu(t)(k=1,2,⋯,n)
  • 总电流（KCL）：
    i ( t ) = ∑ k = 1 n i k ( t ) = ( ∑ k = 1 n C k ) d u ( t ) d t i(t) = \sum_{k=1}^n i_k(t) = \left( \sum_{k=1}^n C_k \right) \frac{du(t)}{dt} i(t)=k=1∑nik(t)=(k=1∑nCk)dtdu(t)
  • 与单一电容的电流表达式 i ( t ) = C e q d u ( t ) d t i(t) = C_{eq} \frac{du(t)}{dt} i(t)=Ceqdtdu(t)对比，得：
    C e q = ∑ k = 1 n C k (6-19) C_{eq} = \sum_{k=1}^n C_k \tag{6-19} Ceq=k=1∑nCk(6-19)
关键结论：
  • 并联电容的等效电容大于任一并联电容；
  • 等效初始电压与各电容初始电压相同（需满足初始电压一致，否则并联瞬间会产生大电流）。

2. 电感的串联与并联

（1）电感串联（图6-6）

n n n个电感 L 1 , L 2 , ⋯   , L n L_1, L_2, \cdots, L_n L1,L2,⋯,Ln串联，满足"各电感电流相同"（串联电路特性），且初始电流一致 i 1 ( t 0 ) = i 2 ( t 0 ) = ⋯ = i n ( t 0 ) = i ( t 0 ) i_1(t_0)=i_2(t_0)=\cdots=i_n(t_0)=i(t_0) i1(t0)=i2(t0)=⋯=in(t0)=i(t0)。

等效电感推导：
  • 每个电感的电压表达式（由式6-11）：
    u k ( t ) = L k d i ( t ) d t ( k = 1 , 2 , ⋯   , n ) u_k(t) = L_k \frac{di(t)}{dt} \quad (k=1,2,\cdots,n) uk(t)=Lkdtdi(t)(k=1,2,⋯,n)
  • 总电压（KVL）：
    u ( t ) = ∑ k = 1 n u k ( t ) = ( ∑ k = 1 n L k ) d i ( t ) d t u(t) = \sum_{k=1}^n u_k(t) = \left( \sum_{k=1}^n L_k \right) \frac{di(t)}{dt} u(t)=k=1∑nuk(t)=(k=1∑nLk)dtdi(t)
  • 与单一电感的电压表达式 u ( t ) = L e q d i ( t ) d t u(t) = L_{eq} \frac{di(t)}{dt} u(t)=Leqdtdi(t)对比，得：
    L e q = ∑ k = 1 n L k (6-20) L_{eq} = \sum_{k=1}^n L_k \tag{6-20} Leq=k=1∑nLk(6-20)
关键结论：
  • 串联电感的等效电感大于任一串联电感；
  • 等效初始电流与各电感初始电流相同（需满足初始电流一致）。
（2）电感并联（图6-7）

n n n个电感 L 1 , L 2 , ⋯   , L n L_1, L_2, \cdots, L_n L1,L2,⋯,Ln并联，满足"各电感电压相同"（并联电路特性）。

等效电感推导：
  • 每个电感的电流表达式（由式6-13）：
    i k ( t ) = i k ( t 0 ) + 1 L k ∫ t 0 t u ( ξ ) d ξ ( k = 1 , 2 , ⋯   , n ) i_k(t) = i_k(t_0) + \frac{1}{L_k} \int_{t_0}^t u(\xi) d\xi \quad (k=1,2,\cdots,n) ik(t)=ik(t0)+Lk1∫t0tu(ξ)dξ(k=1,2,⋯,n)
  • 总电流（KCL）：
    i ( t ) = ∑ k = 1 n i k ( t ) = ∑ k = 1 n i k ( t 0 ) + ( ∑ k = 1 n 1 L k ) ∫ t 0 t u ( ξ ) d ξ i(t) = \sum_{k=1}^n i_k(t) = \sum_{k=1}^n i_k(t_0) + \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{L_k} \right) \int_{t_0}^t u(\xi) d\xi i(t)=k=1∑nik(t)=k=1∑nik(t0)+(k=1∑nLk1)∫t0tu(ξ)dξ
  • 与单一电感的电流表达式 i ( t ) = i ( t 0 ) + 1 L e q ∫ t 0 t u ( ξ ) d ξ i(t) = i(t_0) + \frac{1}{L_{eq}} \int_{t_0}^t u(\xi) d\xi i(t)=i(t0)+Leq1∫t0tu(ξ)dξ对比，得：
    1 L e q = ∑ k = 1 n 1 L k (6-21) \frac{1}{L_{eq}} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{L_k} \tag{6-21} Leq1=k=1∑nLk1(6-21)
    i ( t 0 ) = ∑ k = 1 n i k ( t 0 ) (6-22) i(t_0) = \sum_{k=1}^n i_k(t_0) \tag{6-22} i(t0)=k=1∑nik(t0)(6-22)
关键结论：
  • 并联电感的等效电感小于任一并联电感；
  • 等效初始电流为各电感初始电流之和；
  • 特殊情况（ n = 2 n=2 n=2）： L e q = L 1 L 2 L 1 + L 2 L_{eq} = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2} Leq=L1+L2L1L2。

五、本章核心总结

1. 电容与电感的核心特性对比

特性 电容元件（ C C C） 电感元件（ L L L）
储能形式 电场能（ W C = 1 2 C u C 2 ( t ) W_C = \frac{1}{2} C u_C^2(t) WC=21CuC2(t)） 磁场能（ W L = 1 2 L i L 2 ( t ) W_L = \frac{1}{2} L i_L^2(t) WL=21LiL2(t)）
关联VCR（微分） i C = C d u C d t i_C = C \frac{du_C}{dt} iC=CdtduC（电流依赖电压变化率） u L = L d i L d t u_L = L \frac{di_L}{dt} uL=LdtdiL（电压依赖电流变化率）
关联VCR（积分） u C ( t ) = u C ( t 0 ) + 1 C ∫ t 0 t i C d ξ u_C(t) = u_C(t_0) + \frac{1}{C} \int_{t_0}^t i_C d\xi uC(t)=uC(t0)+C1∫t0tiCdξ i L ( t ) = i L ( t 0 ) + 1 L ∫ t 0 t u L d ξ i_L(t) = i_L(t_0) + \frac{1}{L} \int_{t_0}^t u_L d\xi iL(t)=iL(t0)+L1∫t0tuLdξ
直流稳态特性 开路（ d u C d t = 0    ⟹    i C = 0 \frac{du_C}{dt}=0 \implies i_C=0 dtduC=0⟹iC=0） 短路（ d i L d t = 0    ⟹    u L = 0 \frac{di_L}{dt}=0 \implies u_L=0 dtdiL=0⟹uL=0）
记忆特性 记忆初始电压 u C ( t 0 ) u_C(t_0) uC(t0)（电荷累积） 记忆初始电流 i L ( t 0 ) i_L(t_0) iL(t0)（磁通链累积）
非理想模型 电容 C C C与电阻 R R R并联（介质损耗） 电感 L L L与电阻 R R R串联（导线损耗）

2. 串并联等效参数对比

连接方式 电容元件 电感元件
串联等效参数 1 C e q = ∑ k = 1 n 1 C k \frac{1}{C_{eq}} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{C_k} Ceq1=∑k=1nCk1 L e q = ∑ k = 1 n L k L_{eq} = \sum_{k=1}^n L_k Leq=∑k=1nLk
串联初始条件等效 u e q ( t 0 ) = ∑ k = 1 n u k ( t 0 ) u_{eq}(t_0) = \sum_{k=1}^n u_k(t_0) ueq(t0)=∑k=1nuk(t0) i e q ( t 0 ) = i k ( t 0 ) i_{eq}(t_0) = i_k(t_0) ieq(t0)=ik(t0)（需一致）
并联等效参数 C e q = ∑ k = 1 n C k C_{eq} = \sum_{k=1}^n C_k Ceq=∑k=1nCk 1 L e q = ∑ k = 1 n 1 L k \frac{1}{L_{eq}} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{L_k} Leq1=∑k=1nLk1
并联初始条件等效 u e q ( t 0 ) = u k ( t 0 ) u_{eq}(t_0) = u_k(t_0) ueq(t0)=uk(t0)（需一致） i e q ( t 0 ) = ∑ k = 1 n i k ( t 0 ) i_{eq}(t_0) = \sum_{k=1}^n i_k(t_0) ieq(t0)=∑k=1nik(t0)

3. 核心共性与关键区别

（1）共性
  • 均为无源储能元件：仅储存和释放能量，不消耗能量；
  • 均为动态元件：电压电流为微分/积分关系，需用动态方程描述；
  • 均为记忆元件：响应依赖历史电流/电压及初始状态（初始电压/电流不为零时，需计入初始储能的影响）。
（2）与电阻的关键区别
  • 电阻： u − i u-i u−i为代数关系（即时响应）、耗能、无记忆；
  • 电容/电感： u − i u-i u−i为微分/积分关系（动态响应）、储能、有记忆。

4. 工程应用要点

  • 电容的"隔直"特性：用于直流电路中隔离直流、传递交流信号；
  • 电感的"阻交流"特性：用于交流电路中抑制谐波、稳定电流；
  • 串并联等效：可通过等效变换简化动态电路分析，需同时考虑参数等效和初始状态等效；
  • 非理想特性：高频电路中需计入分布电容、杂散电感及介质/导线损耗，避免分析误差。

电容、电感的电压与电流相位关系笔记

一、核心前提

  1. 三角函数导数关系： d d t [ sin ⁡ ( ω t + ϕ ) ] = ω cos ⁡ ( ω t + ϕ ) \frac{d}{dt}[\sin(\omega t + \phi)] = \omega \cos(\omega t + \phi) dtd[sin(ωt+ϕ)]=ωcos(ωt+ϕ)；
  2. 相位超前定义： cos ⁡ ( ω t + ϕ ) \cos(\omega t + \phi) cos(ωt+ϕ) 比 sin ⁡ ( ω t + ϕ ) \sin(\omega t + \phi) sin(ωt+ϕ) 超前 90 ∘ 90^\circ 90∘（因 cos ⁡ x = sin ⁡ ( x + 90 ∘ ) \cos x = \sin(x + 90^\circ) cosx=sin(x+90∘)）；
  3. 正弦量统一用余弦函数描述（教材约定），相位差由初相之差决定。

二、电容：电流超前电压 90 ∘ 90^\circ 90∘

1. 时域VCR关系（核心依据）

电容的电流与电压的时域关系为：
i C = C d u C d t i_C = C \frac{du_C}{dt} iC=CdtduC

即 电容电流等于电容电压对时间的变化率（导数）。

2. 相位关系推导

设电容电压为正弦量（初相设为 ϕ u \phi_u ϕu）：
u C = 2 U C cos ⁡ ( ω t + ϕ u ) u_C = \sqrt{2}U_C \cos(\omega t + \phi_u) uC=2 UCcos(ωt+ϕu)

对电压求导（代入核心前提1的导数规则）：
d u C d t = − 2 U C ω sin ⁡ ( ω t + ϕ u ) = 2 U C ω cos ⁡ ( ω t + ϕ u + 90 ∘ ) \frac{du_C}{dt} = -\sqrt{2}U_C \omega \sin(\omega t + \phi_u) = \sqrt{2}U_C \omega \cos(\omega t + \phi_u + 90^\circ) dtduC=−2 UCωsin(ωt+ϕu)=2 UCωcos(ωt+ϕu+90∘)

代入电容电流表达式：
i C = C ⋅ 2 U C ω cos ⁡ ( ω t + ϕ u + 90 ∘ ) = 2 I C cos ⁡ ( ω t + ϕ i ) i_C = C \cdot \sqrt{2}U_C \omega \cos(\omega t + \phi_u + 90^\circ) = \sqrt{2}I_C \cos(\omega t + \phi_i) iC=C⋅2 UCωcos(ωt+ϕu+90∘)=2 ICcos(ωt+ϕi)

3. 相位结论

电流初相 ϕ i = ϕ u + 90 ∘ \phi_i = \phi_u + 90^\circ ϕi=ϕu+90∘，即 电容电流超前电压 90 ∘ 90^\circ 90∘ （或电压滞后电流 90 ∘ 90^\circ 90∘）。

三、电感：电流滞后电压 90 ∘ 90^\circ 90∘

1. 时域VCR关系（核心依据）

电感的电压与电流的时域关系为：
u L = L d i L d t u_L = L \frac{di_L}{dt} uL=LdtdiL

即 电感电压等于电感电流对时间的变化率（导数）。

2. 相位关系推导

设电感电流为正弦量（初相设为 ϕ i \phi_i ϕi）：
i L = 2 I L cos ⁡ ( ω t + ϕ i ) i_L = \sqrt{2}I_L \cos(\omega t + \phi_i) iL=2 ILcos(ωt+ϕi)

对电流求导（代入核心前提1的导数规则）：
d i L d t = − 2 I L ω sin ⁡ ( ω t + ϕ i ) = 2 I L ω cos ⁡ ( ω t + ϕ i + 90 ∘ ) \frac{di_L}{dt} = -\sqrt{2}I_L \omega \sin(\omega t + \phi_i) = \sqrt{2}I_L \omega \cos(\omega t + \phi_i + 90^\circ) dtdiL=−2 ILωsin(ωt+ϕi)=2 ILωcos(ωt+ϕi+90∘)

代入电感电压表达式：
u L = L ⋅ 2 I L ω cos ⁡ ( ω t + ϕ i + 90 ∘ ) = 2 U L cos ⁡ ( ω t + ϕ u ) u_L = L \cdot \sqrt{2}I_L \omega \cos(\omega t + \phi_i + 90^\circ) = \sqrt{2}U_L \cos(\omega t + \phi_u) uL=L⋅2 ILωcos(ωt+ϕi+90∘)=2 ULcos(ωt+ϕu)

3. 相位结论

电压初相 ϕ u = ϕ i + 90 ∘ \phi_u = \phi_i + 90^\circ ϕu=ϕi+90∘，即 电感电流滞后电压 90 ∘ 90^\circ 90∘ （或电压超前电流 90 ∘ 90^\circ 90∘）。

四、总结

元件 核心VCR关系（时域） 相位关系
电容 i C = C d u C d t i_C = C \frac{du_C}{dt} iC=CdtduC（电流是电压的导数） 电流超前电压 90 ∘ 90^\circ 90∘
电感 u L = L d i L d t u_L = L \frac{di_L}{dt} uL=LdtdiL（电压是电流的导数） 电流滞后电压 90 ∘ 90^\circ 90∘

核心逻辑：导数运算对应相位超前 90 ∘ 90^\circ 90∘，谁是"导数项"，谁就超前另一物理量 90 ∘ 90^\circ 90∘。

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