线代第五章线性方程组第四节：相似矩阵的概念和性质

相似矩阵是线性代数中描述矩阵 "等价变换" 的核心概念，核心作用是通过可逆矩阵转化，简化矩阵运算（如幂运算、行列式计算）和结构分析（如对角化），与特征值、特征向量紧密关联。

一、相似矩阵的严格定义

1. 前提条件

仅针对 n 阶方阵 讨论（非方阵无相似关系），涉及的转化矩阵为 可逆 n 阶方阵 （记为P，满足 存在）。

2. 数学定义

设A、B为 n 阶方阵，若存在 可逆矩阵P ，使得： 则称矩阵A与B 相似 ，记为A∼B；可逆矩阵P称为 相似变换矩阵。

3. 核心本质

相似矩阵是 "同一线性变换在不同基下的矩阵表示"------ 矩阵A和B描述的是同一个线性变换，只是选取的向量空间基不同，通过相似变换矩阵P实现基的转换。

二、相似矩阵的核心性质（含推导逻辑）

相似矩阵的核心特征是 "结构等价，关键属性不变"，以下性质按 "等价关系→数值属性→运算属性" 分类，均附严谨推导：

1. 相似关系是等价关系（满足 3 条性质）

2. 数值属性不变（核心不变量）

• 性质 1：行列式相等 ：若A∼B，则∣A∣=∣B∣
• 性质 2：秩相等：若A∼B，则r(A)=r(B)

• 性质 3：迹相等 ：若A∼B，则tr(A)=tr(B)
• 性质 4：特征多项式、特征值相同 ：若A∼B，则∣A−λE∣=∣B−λE∣，且A与B的特征值完全相同（重数一致）

3. 运算属性不变（运算后仍相似）

设A∼B，P为相似变换矩阵，k为常数，m为正整数，f(x)=am​xm+⋯+a1​x+a0​为多项式，则：

三、重要推论（核心应用基础）