大模型面试题25：Softmax函数把“得分”变成“概率”的归一化工具

Softmax函数：把"得分"变成"概率"的归一化工具

Softmax函数（也叫归一化指数函数）是深度学习里核心的归一化函数 ，专门用于把一组任意实数（常称"logits/对数几率/得分"）映射成0到1之间、总和为1的概率分布，常作为分类模型的输出层激活函数。

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一、数学定义

对输入向量（纯文本写法）：

z = [z₁, z₂, ..., zₙ]

Softmax的计算式为（块级公式，支持LaTeX的编辑器可正常渲染）：
Softmax ( z i ) = e z i ∑ j = 1 n e z j ( i = 1 , 2 , ... , n ) \text{Softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{n} e^{z_j}} \quad (i=1,2,\dots,n) Softmax(zi)=∑j=1nezjezi(i=1,2,...,n)

纯文本兼容版：

Softmax(zᵢ)=e^zᵢ / (e^z₁ + e^z₂ + ... + e^zₙ) (i=1,2,...,n)

• 分子：对单个得分做指数运算（保证非负）
• 分母：所有得分指数的总和（做归一化，让结果之和=1）

示例计算

输入向量（纯文本）：

z = [1, 2, 3]

计算过程（块级公式）：
Softmax ( z ) = [ e 1 , e 2 , e 3 ] e 1 + e 2 + e 3 = [ 2.718 , 7.389 , 20.085 ] 2.718 + 7.389 + 20.085 ≈ [ 0.090 , 0.245 , 0.665 ] \begin{align} \text{Softmax}(z) &= \frac{[e^1, e^2, e^3]}{e^1+e^2+e^3} \\ &= \frac{[2.718, 7.389, 20.085]}{2.718+7.389+20.085} \\ &\approx [0.090, 0.245, 0.665] \end{align} Softmax(z)=e1+e2+e3[e1,e2,e3]=2.718+7.389+20.085[2.718,7.389,20.085]≈[0.090,0.245,0.665]

纯文本兼容版：

Softmax(z) = [e¹, e², e³] / (e¹ + e² + e³) ≈ [2.718, 7.389, 20.085] / 30.192 ≈ [0.090, 0.245, 0.665]

输出是3个类别上的概率，总和=1。

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二、核心作用

1. 概率转换：把无界的得分（可正可负、可大可小）转成合法概率，方便理解和后续计算（比如交叉熵损失）。
2. 突出差异：指数运算会放大输入向量中元素的相对差距------大的得分会对应更大的概率，小的得分对应更小的概率。
3. 多分类适配：适合多分类任务（如10分类图像识别），输出每个类别的预测概率，取最大概率的类别作为预测结果。

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三、关键特性 & 注意事项

• 非负性 + 归一性：输出全在(0,1)区间，总和=1，是严格的概率分布。

• 温度系数的影响 （和你之前的InfoNCE对应）：

  常写成对输入得分先除以温度系数τ（tau）再做Softmax。

  带温度系数的完整公式（块级公式）：
  Softmax τ ( z i ) = e z i τ ∑ j = 1 n e z j τ ( i = 1 , 2 , ... , n ) \text{Softmax}\tau(z_i) = \frac{e^{\frac{z_i}{\tau}}}{\sum{j=1}^{n} e^{\frac{z_j}{\tau}}} \quad (i=1,2,\dots,n) Softmaxτ(zi)=∑j=1neτzjeτzi(i=1,2,...,n)

  纯文本兼容版：

  Softmax_τ(zᵢ)=e^(zᵢ/τ) / (e^(z₁/τ)+e(z₂/τ) + ... + e^(zₙ/τ)) (i=1,2,...,n)

  • τ > 1：软化分布，概率差异变小（比如InfoNCE训练初期）
  • τ < 1：锐化分布，概率差异变大（比如InfoNCE训练后期）

• 数值稳定性问题 ：当zᵢ很大时，e^{zᵢ会溢出（比如zᵢ=1000，e}1000远超浮点数范围）。

  解决办法：对输入向量减去最大值max(z)，即zᵢ' = zᵢ - max(z)，再计算Softmax（结果不变）。

• 不可导的边界情况：输入全相等时，输出均匀分布（如z=[2,2,2]，输出=[1/3,1/3,1/3]）。

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四、和Sigmoid的区别（小白必看）

特性	Softmax	Sigmoid
适用场景	多分类（互斥类别）	二分类 / 多标签分类（类别不互斥）
输出维度	和输入维度一致	和输入维度一致（逐元素转换）
输出总和	总和=1	无强制总和约束

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五、极简Python实现（含数值稳定版）

import numpy as np

def softmax(z, tau=1.0):
    # 数值稳定：减去最大值
    z_scaled=z/tau
    z_stable=z_scaled-np.max(z_scaled, axis=-1, keepdims=True)
    exp_z=np.exp(z_stable)
    return exp_z/np.sum(exp_z, axis=-1, keepdims=True)

# 测试
z=np.array([1, 2, 3])
print(softmax(z))          # 输出 [0.09003057 0.24472847 0.66524096]
print(softmax(z, tau=0.5)) # 锐化：[0.01587624 0.11731043 0.86681333]
print(softmax(z, tau=2.0)) # 软化：[0.21194156 0.26538793 0.52267051]

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六、和你之前InfoNCE的关联

在InfoNCE损失中，Softmax的作用是把锚点与候选样本的相似度（得分）转成"候选样本是正例"的概率，再用交叉熵惩罚预测错误，温度系数τ正是用来调节这个概率分布的"尖锐程度"。

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