【特殊函数】狄拉克函数

狄拉克函数（记为δ(x)\delta(x)δ(x), Dirac Delta function）是数学与物理中至关重要的广义函数（或分布），由物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）引入，用于描述"点源"（如点电荷、点质量、瞬时冲激）的理想化分布。它并非传统意义上的函数（无确定函数表达式），但通过积分意义与极限行为定义，具备独特的筛选性与对称性，是信号处理、量子力学、电磁学等领域的核心工具。

一、数学定义

狄拉克函数的定义需从物理直觉与数学严谨性两方面理解：

直观描述：
δ(x)\delta(x)δ(x)在除原点x=0x=0x=0外处处为0，但在原点处"无限高"，且总积分等于1（单位面积）。形式化表述为：
δ(x)={+∞,x=00,x≠0 \delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \neq 0 \end{cases} δ(x)={+∞,0,x=0x=0

且满足归一化条件：
∫−∞+∞δ(x) dx=1 \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \, dx = 1 ∫−∞+∞δ(x)dx=1

这种"无限高、无限窄"的尖峰特性，恰能描述点源的"集中性", 因此称为原子性的（如点电荷的电荷密度、瞬时冲激的强度）。
数学严谨定义（广义函数）：

狄拉克函数是Dirac测度（Dirac measure）的积分形式。对于任意连续函数f(x)f(x)f(x)，δ(x)\delta(x)δ(x)作用于f(x)f(x)f(x)的结果为：
∫−∞+∞f(x)δ(x)dx=f(0) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x) dx = f(0) ∫−∞+∞f(x)δ(x)dx=f(0)

该式是狄拉克函数的核心定义，强调其在积分下的"筛选功能"------仅保留f(x)f(x)f(x)在原点的值。
极限表示（弱极限）：
δ(x)\delta(x)δ(x)可视为一列"尖峰函数"的弱极限（即积分收敛到δ(x)\delta(x)δ(x)的作用）。常见近似序列包括：
- 高斯函数：δn(x)=1nπe−x2/n2\delta_n(x) = \frac{1}{n\sqrt{\pi}} e^{-x^2/n^2}δn(x)=nπ 1e−x2/n2（方差1/(2n2)1/(2n^2)1/(2n2)趋于0）；
- 矩形函数：δn(x)={1/n,∣x∣<n/20,其他\delta_n(x) = \begin{cases} 1/n, & |x| < n/2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}δn(x)={1/n,0,∣x∣<n/2其他（宽度nnn趋于0，高度1/n1/n1/n趋于无穷）；
- 洛伦兹函数：δn(x)=1π⋅nx2+n2\delta_n(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{n}{x^2 + n^2}δn(x)=π1⋅x2+n2n（半高宽2n2n2n趋于0）。
  当n→∞n \to \inftyn→∞时，上述序列在积分意义下收敛到δ(x)\delta(x)δ(x)，即：
  lim⁡n→∞∫−∞+∞f(x)δn(x) dx=f(0) \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_n(x) \, dx = f(0) n→∞lim∫−∞+∞f(x)δn(x)dx=f(0)

二、基本性质

狄拉克函数的性质均源于其筛选性与积分定义，以下是最核心的性质：

1. 筛选性

对任意连续函数f(x)f(x)f(x)，δ(x)\delta(x)δ(x)能"筛选"出f(x)f(x)f(x)在某点的值。形式化表述为：
∫−∞+∞f(x)δ(x−a) dx=f(a) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - a) \, dx = f(a) ∫−∞+∞f(x)δ(x−a)dx=f(a)

其中aaa为任意实数（平移后的δ(x−a)\delta(x-a)δ(x−a)在x=ax=ax=a处有尖峰）。

特例：当a=0a=0a=0时，退化为核心定义∫−∞+∞f(x)δ(x) dx=f(0)\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x) \, dx = f(0)∫−∞+∞f(x)δ(x)dx=f(0)。
物理意义：例如，点电荷qqq位于x=ax=ax=a处，其电荷密度为ρ(x)=qδ(x−a)\rho(x) = q \delta(x - a)ρ(x)=qδ(x−a)，积分得总电荷Q=∫−∞+∞ρ(x)dx=qQ = \int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x) dx = qQ=∫−∞+∞ρ(x)dx=q，恰为筛选性的应用。

2. 对称性

δ(x)\delta(x)δ(x)是偶函数，即：
δ(−x)=δ(x) \delta(-x) = \delta(x) δ(−x)=δ(x)

证明：对任意连续函数f(x)f(x)f(x)，利用变量替换t=−xt = -xt=−x，得：
∫−∞+∞f(x)δ(−x)dx=∫+∞−∞f(−t)δ(t)(−dt)=∫−∞+∞f(−t)δ(t)dt=f(0)=∫−∞+∞f(x)δ(x)dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(-x) dx = \int_{+\infty}^{-\infty} f(-t) \delta(t) (-dt) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(-t) \delta(t) dt = f(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x) dx ∫−∞+∞f(x)δ(−x)dx=∫+∞−∞f(−t)δ(t)(−dt)=∫−∞+∞f(−t)δ(t)dt=f(0)=∫−∞+∞f(x)δ(x)dx
故δ(−x)=δ(x)\delta(-x) = \delta(x)δ(−x)=δ(x)。
物理意义：点源的分布与方向无关（如点电荷的电荷密度在x=ax=ax=a与x=−ax=-ax=−a处对称）。

3. 缩放性

对任意非零实数kkk，δ(kx)\delta(kx)δ(kx)满足：
δ(kx)=1∣k∣δ(x) \delta(kx) = \frac{1}{|k|} \delta(x) δ(kx)=∣k∣1δ(x)

证明：令t=kxt = kxt=kx，则dx=dt/∣k∣dx = dt/|k|dx=dt/∣k∣（绝对值保证积分方向正确），得：
∫−∞+∞f(x)δ(kx)dx=∫−∞+∞f(t/k)δ(t)⋅dt∣k∣=1∣k∣f(0)=∫−∞+∞f(x)⋅1∣k∣δ(x)dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(kx) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t/k) \delta(t) \cdot \frac{dt}{|k|} = \frac{1}{|k|} f(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot \frac{1}{|k|} \delta(x) dx ∫−∞+∞f(x)δ(kx)dx=∫−∞+∞f(t/k)δ(t)⋅∣k∣dt=∣k∣1f(0)=∫−∞+∞f(x)⋅∣k∣1δ(x)dx
故δ(kx)=1∣k∣δ(x)\delta(kx) = \frac{1}{|k|} \delta(x)δ(kx)=∣k∣1δ(x)。
特例：当k=1k=1k=1时，退化为对称性；当k=−1k=-1k=−1时，δ(−x)=δ(x)\delta(-x) = \delta(x)δ(−x)=δ(x)（与对称性一致）。
物理意义：点源的"宽度"缩放时，强度需相应调整（如将点电荷从x=0x=0x=0缩放至x=2ax=2ax=2a，电荷密度变为δ(2(x−a))=12δ(x−a)\delta(2(x-a)) = \frac{1}{2} \delta(x-a)δ(2(x−a))=21δ(x−a)，总电荷仍为qqq）。

4. 筛选性推广（含导数）

对任意连续可导函数f(x)f(x)f(x)，δ(x)\delta(x)δ(x)的导数δ′(x)\delta'(x)δ′(x)（一阶导数）满足：
∫−∞+∞f(x)δ′(x−a)dx=−f′(a) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta'(x - a) dx = -f'(a) ∫−∞+∞f(x)δ′(x−a)dx=−f′(a)

证明：利用分部积分法（u=f(x)u = f(x)u=f(x)，dv=δ′(x−a)dxdv = \delta'(x-a) dxdv=δ′(x−a)dx），得：
∫−∞+∞f(x)δ′(x−a)dx=f(x)δ(x−a)∣−∞+∞−∫−∞+∞f′(x)δ(x−a)dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta'(x-a) dx = f(x) \delta(x-a) \bigg|{-\infty}^{+\infty} - \int{-\infty}^{+\infty} f'(x) \delta(x-a) dx ∫−∞+∞f(x)δ′(x−a)dx=f(x)δ(x−a) −∞+∞−∫−∞+∞f′(x)δ(x−a)dx
第一项中，f(x)δ(x−a)f(x) \delta(x-a)f(x)δ(x−a)在x→±∞x \to \pm\inftyx→±∞时为0（因δ(x−a)\delta(x-a)δ(x−a)仅在x=ax=ax=a处非零），故第一项为0；第二项为−f′(a)-f'(a)−f′(a)（筛选性）。
高阶导数：对nnn阶导数δ(n)(x)\delta^{(n)}(x)δ(n)(x)，有：
∫−∞+∞f(x)δ(n)(x−a)dx=(−1)nf(n)(a) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta^{(n)}(x - a) dx = (-1)^n f^{(n)}(a) ∫−∞+∞f(x)δ(n)(x−a)dx=(−1)nf(n)(a)
物理意义：描述点源的"变化率"（如瞬时冲激的导数对应"冲激力"的变化）。

5. 与阶跃函数的关系

狄拉克函数是赫维赛德函数（Heaviside step function，记为u(x)u(x)u(x)）的广义导数。赫维赛德函数定义为：
u(x)={1,x≥00,x<0 u(x) = \begin{cases} 1, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} u(x)={1,0,x≥0x<0

其导数（广义意义下）为：
du(x)dx=δ(x) \frac{du(x)}{dx} = \delta(x) dxdu(x)=δ(x)

证明：对任意连续函数f(x)f(x)f(x)，利用分部积分法：
∫−∞+∞f(x)du(x)dxdx=f(x)u(x)∣−∞+∞−∫−∞+∞f′(x)u(x)dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \frac{du(x)}{dx} dx = f(x) u(x) \bigg|{-\infty}^{+\infty} - \int{-\infty}^{+\infty} f'(x) u(x) dx ∫−∞+∞f(x)dxdu(x)dx=f(x)u(x) −∞+∞−∫−∞+∞f′(x)u(x)dx
第一项中，f(x)u(x)f(x) u(x)f(x)u(x)在x→−∞x \to -\inftyx→−∞时为0（u(x)=0u(x)=0u(x)=0），在x→+∞x \to +\inftyx→+∞时为f(+∞)f(+\infty)f(+∞)（但u(x)u(x)u(x)的导数仅在x=0x=0x=0处非零，故第一项实际为0）；第二项为−∫0+∞f′(x)dx=−[f(+∞)−f(0)]-\int_{0}^{+\infty} f'(x) dx = -[f(+\infty) - f(0)]−∫0+∞f′(x)dx=−[f(+∞)−f(0)]？不，等一下，正确的分部积分应该是：
正确的证明应基于广义函数的收敛性：对于任意测试函数ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)（光滑、紧支集），有：
⟨dudx,ϕ⟩=−⟨u,dϕdx⟩=−∫0+∞dϕdxdx=ϕ(0)=⟨δ,ϕ⟩ \langle \frac{du}{dx}, \phi \rangle = -\langle u, \frac{d\phi}{dx} \rangle = -\int_{0}^{+\infty} \frac{d\phi}{dx} dx = \phi(0) = \langle \delta, \phi \rangle ⟨dxdu,ϕ⟩=−⟨u,dxdϕ⟩=−∫0+∞dxdϕdx=ϕ(0)=⟨δ,ϕ⟩
故dudx=δ(x)\frac{du}{dx} = \delta(x)dxdu=δ(x)。
物理意义：阶跃函数描述"突然开启"的状态（如电路中的开关），其导数对应"瞬间变化的冲激"（如开关闭合时的电流冲激）。

6. 乘积性质

与普通函数的乘积：对任意连续函数f(x)f(x)f(x)，有：
f(x)δ(x−a)=f(a)δ(x−a) f(x) \delta(x - a) = f(a) \delta(x - a) f(x)δ(x−a)=f(a)δ(x−a)
- 证明：对任意连续函数g(x)g(x)g(x)，利用筛选性：
  ∫−∞+∞g(x)f(x)δ(x−a)dx=g(a)f(a)=∫−∞+∞g(x)f(a)δ(x−a)dx \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \delta(x - a) dx = g(a) f(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(a) \delta(x - a) dx ∫−∞+∞g(x)f(x)δ(x−a)dx=g(a)f(a)=∫−∞+∞g(x)f(a)δ(x−a)dx
  故f(x)δ(x−a)=f(a)δ(x−a)f(x) \delta(x - a) = f(a) \delta(x - a)f(x)δ(x−a)=f(a)δ(x−a)。
- 特例：当f(x)=xf(x) = xf(x)=x时，xδ(x)=0x \delta(x) = 0xδ(x)=0（因f(0)=0f(0) = 0f(0)=0）；当f(x)=x−af(x) = x - af(x)=x−a时，(x−a)δ(x−a)=0(x - a) \delta(x - a) = 0(x−a)δ(x−a)=0。
与δ(x)\delta(x)δ(x)的乘积：δ(x)δ(x−a)=0\delta(x) \delta(x - a) = 0δ(x)δ(x−a)=0（aeq0a eq 0aeq0），因两个尖峰无重叠；δ(x)2\delta(x)^2δ(x)2无定义（广义函数乘积不满足交换律，且δ(x)2\delta(x)^2δ(x)2的积分发散）。

7. 平移性质

δ(x−a)\delta(x - a)δ(x−a)是δ(x)\delta(x)δ(x)向右平移aaa个单位的结果，满足：
∫−∞+∞f(x)δ(x−a)dx=f(a) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - a) dx = f(a) ∫−∞+∞f(x)δ(x−a)dx=f(a)

物理意义：点源从原点移至x=ax=ax=a处（如点电荷从x=0x=0x=0移至x=ax=ax=a），其密度分布相应平移。

8. 奇函数性质（导数）

δ(x)\delta(x)δ(x)的奇数阶导数是奇函数，偶数阶导数是偶函数。例如：

一阶导数δ′(x)\delta'(x)δ′(x)：δ′(−x)=−δ′(x)\delta'(-x) = -\delta'(x)δ′(−x)=−δ′(x)（奇函数）；
二阶导数δ′′(x)\delta''(x)δ′′(x)：δ′′(−x)=δ′′(x)\delta''(-x) = \delta''(x)δ′′(−x)=δ′′(x)（偶函数）。
证明：利用对称性δ(−x)=δ(x)\delta(-x) = \delta(x)δ(−x)=δ(x)，对两边求导得：−δ′(−x)=δ′(x)-\delta'(-x) = \delta'(x)−δ′(−x)=δ′(x)，故δ′(−x)=−δ′(x)\delta'(-x) = -\delta'(x)δ′(−x)=−δ′(x)（奇函数）；同理，二阶导数满足δ′′(−x)=δ′′(x)\delta''(-x) = \delta''(x)δ′′(−x)=δ′′(x)（偶函数）。

三、基本运算法则

狄拉克函数的运算法则均基于其积分定义与性质，以下是最常用的法则：

1. 积分法则

筛选积分：对任意连续函数f(x)f(x)f(x)，有：
∫−∞+∞f(x)δ(x−a)dx=f(a) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - a) dx = f(a) ∫−∞+∞f(x)δ(x−a)dx=f(a)
（核心法则，所有积分运算均源于此）
区间积分：若a∈[b,c]a \in [b, c]a∈[b,c]，则：
∫bcf(x)δ(x−a)dx=f(a) \int_{b}^{c} f(x) \delta(x - a) dx = f(a) ∫bcf(x)δ(x−a)dx=f(a)
若a∉[b,c]a \notin [b, c]a∈/[b,c]，则积分值为0（因δ(x−a)\delta(x - a)δ(x−a)在区间外为0）。

2. 微分法则

与普通函数的乘积导数：对任意连续可导函数f(x)f(x)f(x)，有：
ddx[f(x)δ(x−a)]=f′(x)δ(x−a)+f(a)δ′(x−a) \frac{d}{dx} [f(x) \delta(x - a)] = f'(x) \delta(x - a) + f(a) \delta'(x - a) dxd[f(x)δ(x−a)]=f′(x)δ(x−a)+f(a)δ′(x−a)
（乘积法则，推广到高阶导数类似）
δ(x)\delta(x)δ(x)的导数积分：对任意连续可导函数f(x)f(x)f(x)，有：
∫−∞+∞f(x)δ′(x−a)dx=−f′(a) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta'(x - a) dx = -f'(a) ∫−∞+∞f(x)δ′(x−a)dx=−f′(a)
（筛选性推广，高阶导数为(−1)nf(n)(a)(-1)^n f^{(n)}(a)(−1)nf(n)(a)）

3. 卷积法则

狄拉克函数与任意函数f(x)f(x)f(x)的卷积（Convolution）等于f(x)f(x)f(x) ：
f(x)∗δ(x−a)=f(x−a) f(x) * \delta(x - a) = f(x - a) f(x)∗δ(x−a)=f(x−a)

其中卷积定义为：
(f∗g)(x)=∫−∞+∞f(τ)g(x−τ)dτ (f * g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) g(x - \tau) d\tau (f∗g)(x)=∫−∞+∞f(τ)g(x−τ)dτ

证明：代入g(x)=δ(x−a)g(x) = \delta(x - a)g(x)=δ(x−a)，得：
(f∗δ)(x)=∫−∞+∞f(τ)δ(x−τ−a)dτ=f(x−a) (f * \delta)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(x - \tau - a) d\tau = f(x - a) (f∗δ)(x)=∫−∞+∞f(τ)δ(x−τ−a)dτ=f(x−a)
（利用筛选性，令x−τ−a=0x - \tau - a = 0x−τ−a=0，得τ=x−a\tau = x - aτ=x−a）
物理意义：卷积描述"信号通过系统"的过程，δ(x)\delta(x)δ(x)作为"单位冲激"，其卷积等于原信号（系统的冲激响应为δ(x)\delta(x)δ(x)时，输出等于输入）。

4. 缩放法则

对任意非零实数kkk，有：
δ(kx)=1∣k∣δ(x) \delta(kx) = \frac{1}{|k|} \delta(x) δ(kx)=∣k∣1δ(x)

（性质3的推广，用于变量缩放）

5. 乘积法则

与普通函数的乘积：f(x)δ(x−a)=f(a)δ(x−a)f(x) \delta(x - a) = f(a) \delta(x - a)f(x)δ(x−a)=f(a)δ(x−a)（性质6的推广）；
与δ(x)\delta(x)δ(x)的乘积：δ(x)δ(x−a)=0\delta(x) \delta(x - a) = 0δ(x)δ(x−a)=0（a≠0a \neq 0a=0），δ(x)2\delta(x)^2δ(x)2无定义（广义函数乘积不满足交换律）。

sympy 计算

python 复制代码

from sympy import lambdify
from sympy import symbols as syms
# 定义测试函数 f(x) = x² + 1
x,y=syms("x,y")
f = (x**2 + 1)*DiracDelta(x)  # f=(x^2+1)*δ(x)
sol1=integrate(f,x) # 不定积分
sol2=integrate(f,(x,-1,1)) # [-1,1] 上的定积分
# 计算积分（解析）

print(sol1)
print(sol2)

【特殊函数】 狄拉克函数