《P3200 [HNOI2009] 有趣的数列》

Jasmine_llq2026-01-08 9:49

题目描述

我们称一个长度为 2n 的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

它是从 1∼2n 共 2n 个整数的一个排列 {an}n=12n；
所有的奇数项满足 a1<a3<⋯<a2n−1，所有的偶数项满足 a2<a4<⋯<a2n；
任意相邻的两项 a2i−1 与 a2i 满足：a2i−1<a2i。

对于给定的 n，请求出有多少个不同的长度为 2n 的有趣的数列。

因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案对 p 取模。

输入格式

一行两个正整数 n,p。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1复制

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3 10

输出 #1复制

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说明/提示

【数据范围】

对于 50% 的数据，1≤n≤1000；

对于 100% 的数据，1≤n≤106，1≤p≤109。

【样例解释】

对应的 5 个有趣的数列分别为(1,2,3,4,5,6),(1,2,3,5,4,6),(1,3,2,4,5,6),(1,3,2,5,4,6),(1,4,2,5,3,6)。

代码实现：

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#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 2e6 + 5;
int v[N], pr[N], c = 0;

// 补充快速读入函数
inline int read() {
    int x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

// 补充快速输出函数
inline void writeln(int x) {
    if (x == 0) { putchar('0'); putchar('\n'); return; }
    char s[10]; int len = 0;
    while (x) s[len++] = x % 10 + '0', x /= 10;
    for (int i = len - 1; i >= 0; i--) putchar(s[i]);
    putchar('\n');
}

inline void sieve(int n) {
    v[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!v[i]) pr[++c] = i, v[i] = i;
        for (int j = 1; j <= c && pr[j] * i <= n; j++) {
            v[pr[j] * i] = pr[j];
            if (i % pr[j] == 0) break;
        }
    }
}

inline int qp(int a, int b, int mod) {
    int res = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
        if (b & 1) res = 1ll * res * a % mod;
    return res;
}

inline int cnt_p(int n, int p) {
    int res = 0;
    while (n) {
        res += n / p;
        n /= p;
    }
    return res;
}

int n, r[N], p, ans = 1;

signed main(void) {
    n = read(), p = read();
    sieve(2 * n);
    
    for (int i = 1; i <= c; i++)
        r[i] = cnt_p(2 * n, pr[i]) - cnt_p(n, pr[i]) - cnt_p(n + 1, pr[i]);
    
    for (int i = 1; i <= c; i++) 
        ans = 1ll * ans * qp(pr[i], r[i], p) % p;
    
    writeln(ans);
    return 0;
}