常用周期函数的傅里叶级数

结合电子工程（如电源PWM波、EMI滤波、信号处理）的实际应用场景，以下整理6种最常用周期函数 的傅里叶级数展开式、谐波特性及工程应用要点，全部基于周期 TTT（角频率 ω0=2π/T\omega_0 = 2\pi/Tω0=2π/T）、幅值 AAA 的标准波形，公式可直接用于工程计算。

一、傅里叶级数核心形式（回顾）

周期函数 ( f(t) ) 满足狄利克雷条件时，展开式有两种核心形式：

三角形式 （工程最常用，直观反映谐波分量）：
f(t)=a0+∑n=1∞(ancos⁡(nω0t)+bnsin⁡(nω0t)) f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t) \right) f(t)=a0+n=1∑∞(ancos(nω0t)+bnsin(nω0t))
- a0a_0a0：直流分量（平均值）；an、bna_n、b_nan、bn：n次谐波的余弦/正弦系数。
幅值-相位形式 （便于分析谐波幅值和相位差）：
f(t)=A0+∑n=1∞Ancos⁡(nω0t−φn) f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n\cos(n\omega_0 t - \varphi_n) f(t)=A0+n=1∑∞Ancos(nω0t−φn)
- 关系：A0=a0A_0 = a_0A0=a0，An=an2+bn2A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}An=an2+bn2 （n次谐波幅值），φn=arctan⁡(bn/an)\varphi_n = \arctan(b_n/a_n)φn=arctan(bn/an)（相位）。

二、6种常用周期函数的傅里叶级数（工程实用版）

函数类型	波形核心特征	傅里叶级数展开式	谐波特性（工程关键）	典型应用场景
1. 方波（占空比50%）	周期 TTT，幅值 ±A\pm A±A（对称），无过渡区（理想方波）	f(t)=4Aπ∑k=0∞12k+1sin⁡((2k+1)ω0t)f(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1} \sin\left((2k+1)\omega_0 t\right)f(t)=π4Ak=0∑∞2k+11sin((2k+1)ω0t)	- 无直流、无偶次谐波，仅含奇次正弦谐波； - 谐波幅值与次数成反比（An∝1/nA_n \propto 1/nAn∝1/n），衰减慢。	逆变器输出、数字逻辑信号、方波振荡器
2. 方波（占空比 DDD）	周期 TTT，高电平 AAA、低电平 000，占空比 D=t高/TD = t_{高}/TD=t高/T（0<D<10<D<10<D<1）	f(t)=AD+2Aπ∑n=1∞sin⁡(nπD)ncos⁡(nω0t−nπD)f(t) = AD + \frac{2A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi D)}{n} \cos\left(n\omega_0 t - n\pi D\right)f(t)=AD+π2An=1∑∞nsin(nπD)cos(nω0t−nπD)	- 含直流分量 ADADAD，偶次/奇次谐波均存在； - 占空比 D=50%D=50\%D=50% 时退化为对称方波（偶次谐波抵消）。	PWM调制信号（开关电源核心）
3. 三角波（对称）	周期 TTT，幅值 AAA，线性上升/下降（无突变），正负半周对称	f(t)=A2+4Aπ2∑k=0∞(−1)k(2k+1)2cos⁡((2k+1)ω0t)f(t) = \frac{A}{2} + \frac{4A}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} \cos\left((2k+1)\omega_0 t\right)f(t)=2A+π24Ak=0∑∞(2k+1)2(−1)kcos((2k+1)ω0t)	- 含直流分量，仅含奇次余弦谐波； - 谐波幅值与次数平方成反比（An∝1/n2A_n \propto 1/n^2An∝1/n2），衰减极快。	低谐波信号源、函数发生器输出
4. 锯齿波（上升沿线性）	周期 TTT，幅值AAA，线性上升至 AAA 后突变归零	f(t)=A2−Aπ∑n=1∞1nsin⁡(nω0t)f(t) = \frac{A}{2} - \frac{A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(n\omega_0 t\right)f(t)=2A−πAn=1∑∞n1sin(nω0t)	- 含直流分量，含所有整数次正弦谐波； - 谐波幅值与次数成反比（An∝1/nA_n \propto 1/nAn∝1/n），衰减慢。	时序控制信号、ADC/DAC参考信号
5. 半波整流波（正弦）	周期 TTT，仅保留正弦波正半周（幅值 AAA），负半周为 000	f(t)=Aπ+A2sin⁡ω0t−2Aπ∑k=1∞cos⁡(2kω0t)4k2−1f(t) = \frac{A}{\pi} + \frac{A}{2}\sin\omega_0 t - \frac{2A}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k\omega_0 t)}{4k^2 - 1}f(t)=πA+2Asinω0t−π2Ak=1∑∞4k2−1cos(2kω0t)	- 含直流分量，含基波、偶次余弦谐波； - 谐波幅值衰减较快（An∝1/n2A_n \propto 1/n^2An∝1/n2）。	未滤波的半波整流电源输出
6. 全波整流波（正弦）	周期 T/2T/2T/2（原正弦波周期的1/2），正负半周均整流为正（幅值 AAA）	f(t)=2Aπ−4Aπ∑k=1∞cos⁡(2kω0t)4k2−1f(t) = \frac{2A}{\pi} - \frac{4A}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k\omega_0 t)}{4k^2 - 1}f(t)=π2A−π4Ak=1∑∞4k2−1cos(2kω0t)	- 含直流分量，无基波（原基波变为新基波的2倍），仅含偶次谐波； - 谐波衰减快，波形更接近直流。	全波整流电源输出（如桥堆整流）

三、工程应用关键结论（直接指导设计）

谐波衰减速度决定滤波难度：
- 三角波、全波整流波：谐波衰减快（1/n21/n^21/n2），只需简单RC/LC滤波即可获得平稳信号；
- 方波、锯齿波：谐波衰减慢（1/n1/n1/n），需多级滤波或高阶滤波器（如π型滤波）抑制高次谐波（如开关电源的EMI滤波）。
对称性简化设计：
- 偶函数（如三角波、对称方波）：仅含直流和余弦谐波（bn=0b_n=0bn=0）；
- 奇函数（如50%占空比对称方波）：仅含正弦谐波（a0=an=0a_0=a_n=0a0=an=0）；
- 奇谐对称（f(t+T/2)=−f(t)f(t+T/2) = -f(t)f(t+T/2)=−f(t)）：无偶次谐波（如50%占空比方波）。
PWM波的特殊处理：
- 开关电源中PWM波是"变占空比方波"，其谐波幅值与占空比 DDD 相关：D=50%D=50\%D=50% 时谐波最少，DDD 偏离50%越多，偶次谐波越显著；
- 工程中可通过调整占空比（如接近50%）或增加开关频率（ω0\omega_0ω0 增大），降低滤波难度。
高次谐波的取舍原则：
- 实际计算中，当谐波幅值低于基波幅值的1%~5%时，可忽略该次及更高次谐波（工程精度足够）；
- 例：方波的7次谐波幅值仅为基波的1/7≈14%，11次谐波约9%，需保留至15次以上才能保证波形近似度。

四、快速计算工具（工程捷径）

直流分量 a0a_0a0：直接等于函数在一个周期内的平均值（无需积分）；
- 例：50%占空比方波（±A\pm A±A）的平均值为0，故 a0=0a_0=0a0=0；
- 例：占空比 D=30%D=30\%D=30% 的方波（高电平 AAA），平均值为 0.3A0.3A0.3A，故 a0=0.3Aa_0=0.3Aa0=0.3A。
系数速查：若已知函数对称性，可直接排除部分系数（如奇函数 a0=an=0a_0=a_n=0a0=an=0），仅计算剩余系数。

五、周期为奇函数和偶函数的傅里叶级数

核心结论

偶函数 ：其傅里叶级数只包含余弦项（包括直流项 a₀） 。
- 数学表达：f(t) = a₀ + Σ [aₙ · cos(nω₁t)] （n从1到∞）
奇函数 ：其傅里叶级数只包含正弦项 。
- 数学表达：f(t) = Σ [bₙ · sin(nω₁t)] （n从1到∞）

这个特性极大地简化了计算过程，因为只需要计算一半的系数即可。

详细推导与解释

我们回顾一下傅里叶系数的通用计算公式（周期 T，基波角频率 ω₁ = 2π/T）：

直流分量 (a₀) ：a₀ = (1/T) ∫ f(t) dt （积分区间为一个完整周期）
余弦系数 (aₙ) ：aₙ = (2/T) ∫ f(t) · cos(nω₁t) dt
正弦系数 (bₙ) ：bₙ = (2/T) ∫ f(t) · sin(nω₁t) dt

1. 偶函数的傅里叶级数

定义：如果对于所有 t，都满足 f(-t) = f(t)，则函数 f(t) 是偶函数。其波形关于 y 轴对称。

特性推导：

对于 a₀ ：由于 f(t) 在一个对称区间 [-T/2, T/2] 上的积分为正，所以 a₀ ≠ 0。
对于 aₙ ：被积函数是 f(t) · cos(nω₁t)。
- f(t) 是偶函数。
- cos(nω₁t) 也是偶函数（因为 cos(-θ) = cos(θ)）。
- 偶函数 × 偶函数 = 偶函数。
- 偶函数在对称区间 [-T/2, T/2] 上的积分等于它在 [0, T/2] 上积分的两倍。这使得计算更简单。
对于 bₙ ：被积函数是 f(t) · sin(nω₁t)。
- f(t) 是偶函数。
- sin(nω₁t) 是奇函数（因为 sin(-θ) = -sin(θ)）。
- 偶函数 × 奇函数 = 奇函数。
- 奇函数在对称区间 [-T/2, T/2] 上的积分恒等于 0。
- 因此，bₙ = 0。

结论：偶函数的傅里叶级数中所有 bₙ 都为零，只剩下直流项和余弦项。

示例：f(t) = |sin(t)|（周期为 π）

这是一个偶函数。
它的傅里叶级数只包含直流项和余弦项：f(t) = (2/π) - (4/π) · [cos(2t)/3 + cos(4t)/15 + ...]

2. 奇函数的傅里叶级数

定义：如果对于所有 t，都满足 f(-t) = -f(t)，则函数 f(t) 是奇函数。其波形关于原点对称（原点是拐点）。

特性推导：

对于 a₀ ：由于 f(t) 在一个对称区间 [-T/2, T/2] 上的正负面积相互抵消，所以 a₀ = 0。
对于 aₙ ：被积函数是 f(t) · cos(nω₁t)。
- f(t) 是奇函数。
- cos(nω₁t) 是偶函数。
- 奇函数 × 偶函数 = 奇函数。
- 奇函数在对称区间上的积分为零。
- 因此，aₙ = 0。
对于 bₙ ：被积函数是 f(t) · sin(nω₁t)。
- f(t) 是奇函数。
- sin(nω₁t) 也是奇函数。
- 奇函数 × 奇函数 = 偶函数。
- 偶函数在对称区间上的积分可以简化为两倍的正半轴积分。

结论：奇函数的傅里叶级数中所有 a₀ 和 aₙ 都为零，只剩下正弦项。

示例：f(t) = sin(t)

这是一个标准的奇函数。
它的傅里叶级数就是它本身：f(t) = sin(t)，即 b₁ = 1，其他 bₙ = 0。

总结与对比表格

特性	偶函数	奇函数
定义	`f(-t) = f(t)`	`f(-t) = -f(t)`
波形对称性	关于 y 轴对称	关于原点对称
傅里叶级数形式	`a₀ + Σ aₙ cos(nω₁t)`	`Σ bₙ sin(nω₁t)`
直流分量 (a₀)	不为零	恒为零
余弦系数 (aₙ)	不为零	恒为零
正弦系数 (bₙ)	恒为零	不为零
计算简化	只需计算 `a₀` 和 `aₙ`，积分区间可减半为 `[0, T/2]`	只需计算 `bₙ`，积分区间可减半为 `[0, T/2]`

重要补充：非奇非偶函数的处理技巧

如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，但具有某种对称性，我们可以通过函数变换将其转化为奇函数或偶函数，从而简化计算。

分解为奇偶部分 ：任何函数都可以唯一地分解成一个偶函数和一个奇函数的和。
f(t) = [f(t) + f(-t)]/2 + [f(t) - f(-t)]/2

第一部分是偶函数，第二部分是奇函数。
可以分别对这两部分进行傅里叶展开，然后相加。

时移操作 ：如果函数关于某个垂直线 t = t₀ 对称，可以通过时移 τ = t - t₀ 将其变为偶函数或奇函数。

例如，一个周期为 T 的方波，如果它在 [0, T/2] 为高电平，在 [T/2, T] 为低电平，它关于点 (T/4, 0.5) 中心对称，但既不是奇也不是偶。如果我们将其向左移动 T/4，它就变成了一个标准的奇函数，此时就可以用奇函数的公式进行计算。

掌握奇偶函数的傅里叶级数特性，是进行频谱分析和信号处理的一项基本技能，可以避免大量不必要的计算。