论文：Loy, G., & Zelinsky, A. (2002). A fast radial symmetry transform for detecting points of interest. Computer Vision, ECCV 2002.
代码： https://github.com/Xonxt/frst
注意：这份开源代码中的gradx和grady算反了
1. 图像梯度理解
对灰度图像I(x,y) ，梯度（Gradient）定义为
，梯度变化反应灰度图像的明暗走向。
表示左右方向梯度变化，表示上下方向梯度变化。
梯度幅值（Magnitude ）：
梯度方向（Orientation） ：
对比度高的区域梯度大：例如一个黑色物体放在白色背景上，边缘非常清晰，像素值从0（黑）瞬间跳变为255（白），梯度变化很大，类似悬崖的坡度。
模糊区域梯度小：物体边缘有阴影过渡，像素值不是瞬间变化的，而是慢慢变的，类似平缓的坡道。
关于噪声的梯度：
- 普通背景噪声（梯度小）：来源于相机的热噪声或者光照不均，例如原本是纯黑区域（0），实际上像素值是乱跳如2，5，3，4，1。相邻像素的梯度只有2-3左右，但真正物体的边缘梯度可能在50甚至100以上。
- 椒盐噪声/坏点（梯度大）：假如相机有一个坏点，纯黑背景上出现一个亮点。0->255->0导致梯度很大，比正常物体的边缘还要大。
2. FRST思想
直觉：对于每一个径向对称的物体，其边缘上的每一点，梯度方向都会指向圆心（亮中心）或者背离圆心（暗中心）。
做法：遍历图像中每一个像素，沿着梯度方向延伸一段距离n（半径），落脚点很可能就是圆心。如果大量像素的梯度延长线都交汇与一点，那么这一点就是对称中心。
对于图像上任意一个像素p，沿着梯度方向、距离为n的位置认为是亮圆圆心（正向投票），相反方向距离为n的位置认为是暗圆圆心（负向投票）
表示梯度方向，则表示偏移量，由于像素是整数，四舍五入取整后即得到与p像素梯度方向距离为n的最近的点的像素位置。
遍历完全图会生成两张图像用于投票：方向投影图、幅度投影图。
- 对于：图像初始状态全为0，遍历时，对于每一个像素p，计算出和，然后在图像中位置的矩阵值就+1，位置的矩阵值就-1，所以类似计数器，表示有多少个像素指向这个位置。
- 对于：图像初始状态全为0，遍历时，对于每一个像素p，计算出和，然后在图像中位置的矩阵值就+p的梯度幅值，位置的矩阵值就-p的梯度幅值，所以也是累计图，表示指向这个位置的梯度总强度是多大。
直觉上，图像最大正值的位置最可能是亮圆中心，最小负值位置最可能是暗圆中心。但是图像的噪声会导致梯度随机波动，随机梯度有概率在某些点偶然交汇，这些噪点并不具备真实的几何对称性，但这些噪点平等的参与投票，一个微弱的噪声边缘（梯度很小）和一个强烈的物体边缘（梯度很大），贡献都是1，这其实是不公平的，仅用很大概率会投出错误的圆心。仅用更不行，只关注梯度强度，梯度很大，确认是对比度高的边缘，但这个边缘可能不是圆。
所以将和结合起来，理论上可以找到梯度大的对称区域，就是融合两者的方法。
对于公式
，是未经平滑的原始的对称响应图，是一个二维高斯卷积核，用来平滑图像。
不仅通过乘法操作融合和，并且通过指数加权α抑制噪声，放大真正的结果。如果只有票数没有强度，那么乘法的得分低，如果只有强度没有票数，乘法的得分也低，只有两者都大，乘法结果才巨大。假设α=2，噪点位置有2个像素指向它（=2）则指数加权后的结果是4，真圆心位置有50个像素指向它（=50）则指数加权后的结果是2500，通过α指数，可以瞬间拉开目标特征与噪声之间的得分距离。当然公式中并不是用直接进行指数加权的，而是进行归一化后再进行加权。和表示对和中绝对值最大的，则和被归一化到[-1, 1]，再进行指数加权。
标准数学符号里，通常表示绝对值或者范数，结果是正的。在这篇论文中定义了一种特殊的运算符号：，表示先取绝对值做α次方，再把原来的正负号乘回去。如果不保留符号，所有暗圆经过平方（如果α=2）后都变成正的，就分不清暗圆和亮圆了。
在计算出后用进行卷积的主要原因是：1）解决离散化误差；2）进一步抑制噪声。在做梯度投影时使用了round，但如果真正的圆心在（50.5，50.5），投影结果会一部分落在（50，50），一部分落在（51，51），会导致图中的能量被撕裂了，高斯卷积可以把（50，50）和（51，51）这两个相邻的峰值合并成一个位于（50.5，50.5）附近的单一波峰。另外，尽管α参数已经抑制了很多噪声，但图中可能还是会有孤立的、高频的随机响应。高斯平滑会压低孤立尖峰，保留成片有结构支撑的响应区域。
半径为n（n∈N）的所有都将会被叠加到一张图上，核心动机是为了解决尺度未知的问题。假如只计算了（半径为5），如果图像中的圆刚好半径是5，可以得到一个极强的亮点，这没有问题，但如果图像中的圆半径是5.5或者4.5，由于算法中的投票机制非常精确，半径稍微对不上，票数就会急剧下降，导致漏检或者低响应。求和可以检测半径大小在N范围内的所有圆，假如图像中圆的半径是5.2，这个圆在中有较高的响应，在中也有不错的响应，如果计算，这个圆心的位置就会获得叠加的能量，在重叠的地方，形成一个非常显著的峰值。
3. FRST应用
图(c)n=1,3,5效果与图(b)n=1,2,3,4,5近似逼近，但计算量减小了。N范围小的时候计算量减小的不明显，N范围大计算量就有优势。如果知道圆的先验半径，只需要确定适当范围即可高效检测该特征。如图(d)，瞳孔半径为5像素，已经能够检测出来。
单个梯度元素g(p)的贡献度
对于高斯核的选取。高斯核的核心作用是根据距离n的远近，扩散受正负影响像素的辐射范围。选择二维高斯核是因为其具有径向对称性，能对所有梯度方向产生统一影响，同时具备可分离性，使得卷积运算效率更高。通过将标准差与距离n进行线性比例调整，定义了覆盖所有受影响像素的辐射弧。该辐射弧的宽度由An的标准差与n的比值决定。
是一个大小为nxn、标准差σ=0.25n的高斯核。没有的话，对于位置p的边缘像素，投票结果只是两个孤零零的像素点，会非常尖锐离散。加上后，这两个点会在正梯度方向形成亮斑，在负梯度方向形成暗斑。高斯模糊表达了一种不确定性，圆心大概在这个区域，离中心越近概率越大，离得远也有可能。作者设定σ=0.25n以及kernel size为10，是用于尺度自适应。如果找n=2的小圆，σ=0.5，模糊范围很小，要求精度很高。如果找n=100的大圆，σ=25，模糊范围很大，大圆的边缘通常比较长，更容易变形或者受噪声影响，则需要更大宽容度让周围的票汇聚在一起。
参数α的选取。较高的α值会消除非径向对称特征（如线条），α=2的选择适用于大多数应用场景。α值越高，对关键点的衰减越明显，而α值过低则会过度强调非径向对称特征。但若将α值设为1，则可最小化方程中的计算量。
引入梯度阈值参数β。梯度元素的幅值较小时，其方向可靠性较低，更容易受到噪声干扰，且往往对应于人眼难以直接察觉的特征。由于变换的目的是提取图像中的关键点，因此在计算过程中忽略此类元素是合理的。当计算图像和时，所有幅值低于 β 的梯度元素均被忽略。
非零 β 的主要优势在于提升算法速度，因为需要处理的梯度元素减少，从而降低受噪声影响的像素数量。该变换可调谐以仅检测对称性中的暗区或亮区。若仅需检测暗区，确定和时只需考虑受噪声负面影响的像素（调整前面的公式）。同理，若仅需检测亮区对称性，则只需考虑受噪声正向影响的像素。
4. FRST性能表现
在测试图像中展现出与传统方法相当甚至更优的性能，同时显著降低了计算成本和实现复杂度。