环形数组上的滑动窗口，取模题型trick abc440_c C - Striped Horse

https://atcoder.jp/contests/abc440/tasks/abc440_c

思路：

1. 核心数学转化：从"下标"到"余数"

题目的涂色条件是：当 (i+x) mod 2W < W时，涂黑第 i 个方格。

我们可以将这个不等式理解为：对于一个固定的 x，凡是 i mod 2W 落在某个特定范围内的方格都会被涂黑。在一个周期 2W 内，满足条件的余数恰好有 W 个。由于 x 是可以自由选择的正整数，这 W 个余数在模 2W 的意义下是连续的。我们的目标是找到模 2W 的 2W 个余数中，连续的 W 个余数，使得这些余数对应的方格成本之和最小。

第一步：压缩（Mapping）

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vector<ll> a(n+1), vec(4*w);
rep(i,1,n) {
    cin>>a[i];
    vec[i%(2*w)]+=a[i]; // 将方格成本按余数分类累加
}

方格数量 N 可能很大，但余数只有 2W 个。vec[r] 存储了所有满足的方格之和。这一步将的空间复杂度压缩到了。

第二步：断环成链

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rep(i,2*w, 4*w-1) vec[i] = vec[i-2*w];

因为余数是环状的（例如的下一个余数是 0），为了方便处理"跨越边界"的连续区间，代码将 vec 数组复制了一份接在后面。这样，任何在环上连续的 W 个元素，在长度为 4W 的线性数组中都会表现为一段普通的连续区间。

第三步：滑动窗口

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ll ans=INF, tt=0;
ll l=0, r=-1;
while (r < 4*w) {
    while (r-l+1 < w) tt += vec[++r]; // 窗口不足 W，向右扩展
    ans = min(ans, tt);               // 更新当前窗口的最小和
    if (r == 4*w-1) break;
    tt -= vec[l++];                   // 窗口左端向右移，准备下一次滑动
}

这是一个标准的双指针滑动窗口。窗口长度始终保持为 W。tt 维护当前窗口内余数成本的总和。遍历过程中，ans 会记录下所有可能的 W 长度区间中的最小值。

完整ac代码：

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void solve() {
    ll n,w;cin>>n>>w;
    vector<ll>a(n+1),vec(4*w);
    rep(i,1,n) {
        cin>>a[i];
        vec[i%(2*w)]+=a[i];
    }
    rep(i,2*w,4*w-1)vec[i]=vec[i-2*w];
    ll ans=INF,tt=0;
    ll l=0,r=-1;
    while (r<4*w) {
        while (r-l+1<w)tt+=vec[++r];
        ans=min(ans,tt);
        if (r==4*w-1)break;
        tt-=vec[l++];
    }
    cout<<ans<<endl;
}