c++分治算法 - 技术栈

分治算法的策略

简单来说，分治算法的基本思想就是:

把规模大的问题不断分解为子问题，使得问题规模减小到可以直接求解为止。

分治算法

基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。

求出子问题的解，就可得到原问题的解。

即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。

分治思想的经典应用

-二分查找

-归并排序

-快速排序

-大整数乘法

-Strassen矩阵乘法

二分查找

二分查找的定义

-二分查找（Binary Search）是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法

-核心思想：每次将查找范围缩小一半，直到找到目标元素或确定目标元素不存在
二分查找的前提条件

-数组必须是有序的（升序或降序）

-数组元素支持随机访问（如数组，而不是链表）
二分查找的优势

-时间复杂度为O（log n），远优于线性查找的O（n）

-空间复杂度低，迭代实现为O（1）.递归实现为O（log n）

二分查找算法原理

算法步骤

1.初始化查找范围：左边界left=0，右边界right=数组长度-1

2.当left ≤ right时，执行以下操作：

-计算中间位置mid = left +（right - left）/ 2（避免整数溢出）

-如果arr $mid$ == 目标值，返回mid

-如果arr $mid$ < 目标值，说明目标值在右半部分，更新left = mid + 1

-如果arr $mid$ > 目标值，说明目标值在左半部分，更新right = mid - 1

3.如果循环结束仍未找到目标值，返回-1表示不存在

迭代实现

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1000];
int n;
int bfind(int,int,int);
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+0,a+n);
    int x;
    cin>>x;
    cout<<bfind(x,0,n-1);
	return 0;
}
int bfind(int x,int l,int r)
{
    while(l<=r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        if(a[mid] == x) return mid;
        else if(a[mid]<x) l = mid+1;
        else if(a[mid]>x) r = mid-1;
    }
    return -1;
}

递归实现

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1000];
int n;
int bfind(int,int,int);
int bfind2(int,int,int);
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+0,a+n);
    int x;
    cin>>x;
    cout<<bfind2(x,0,n-1);
	return 0;
}
int bfind(int x,int l,int r)
{
    while(l<=r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        if(a[mid] == x) return mid;
        else if(a[mid]<x) l = mid+1;
        else if(a[mid]>x) r = mid-1;
    }
    return -1;
}
int bfind2(int x,int l,int r)
{
    if(l>r) return -1;
    int mid = l + (r-l)/2;
    if(a[mid] == x) return mid;
    else if(a[mid]>x) return bfind2(x,l,mid-1);
    else if(a[mid]<x) return bfind2(x,mid+1,r);
}

练习题

查找最后一个出现的target

题目描述

给你有序一个数组，级一个target，数据量很大，请你使用二分查找法，查找最后一个出现的target所在的位置（数组索引）
输入格式

2行

第一行一个整数n，数组长度

第二行n个整数，数组元素，空格隔开

第三行---个整数target
输出格式

输出一个整数，最后一个出现的target所在的位置（数组索引），如果没有，输出-1
提示

找到以后，继续向右查找

用例输入

5

1 2 2 3 4

2
用例输出

2

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1000];
int n;
int bfind(int,int,int);
int bfind2(int,int,int);
int bfind3(int,int,int);
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+0,a+n);
    int x;
    cin>>x;
    cout<<bfind2(x,0,n-1);
	return 0;
}
int bfind(int x,int l,int r)
{
    while(l<=r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        if(a[mid] == x) return mid;
        else if(a[mid]<x) l = mid+1;
        else if(a[mid]>x) r = mid-1;
    }
    return -1;
}
int bfind2(int x,int l,int r)
{
    if(l>r) return -1;
    int mid = l + (r-l)/2;
    if(a[mid] == x) return mid;
    else if(a[mid]>x) return bfind2(x,l,mid-1);
    else if(a[mid]<x) return bfind2(x,mid+1,r);
}
int bfind3(int x,int l,int r)
{
    int result = -1;
    while(l<=r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        if(a[mid]>x) r = mid-1;
        else if(a[mid]<x) l = mid+1;
        else if(a[mid]==x) 
        {
            if(a[mid-1]!=x) return mid;
            else l = mid+1;
        }
    }
    return result;
}

查找第一个大于等于target的数据

题目描述

给你有序一个数组，级一个target，数据量很大，请你使用二分查找法，查找第一个大于等于目标值的元素的索引
输入格式

2行

第一行一个整数n，数组长度

第二行n个整数，数组元素，空格隔开

第三行一个整数target
输出格式

输出一个整数，第一个大于等于目标值的元素的索引，如果没有，输出-1

用例输入

5

1 2 2 3 4

2
用例输出

1

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1000];
int n;
int bfind(int,int,int);
int bfind2(int,int,int);
int bfind3(int,int,int);
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+0,a+n);
    int x;
    cin>>x;
    cout<<bfind3(x,0,n-1);
	return 0;
}
int bfind(int x,int l,int r)
{
    while(l<=r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        if(a[mid] == x) return mid;
        else if(a[mid]<x) l = mid+1;
        else if(a[mid]>x) r = mid-1;
    }
    return -1;
}
int bfind2(int x,int l,int r)
{
    if(l>r) return -1;
    int mid = l + (r-l)/2;
    if(a[mid] == x) return mid;
    else if(a[mid]>x) return bfind2(x,l,mid-1);
    else if(a[mid]<x) return bfind2(x,mid+1,r);
}
int bfind3(int x,int l,int r)
{
    int result = -1;
    while(l<=r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        if(a[mid]>x) r = mid-1;
        else if(a[mid]<x) l = mid+1;
        else if(a[mid]==x) 
        {
            if(a[mid-1]>=x) return mid;
            else l = mid+1;
        }
    }
    return result;
}

查找最后一个小于等于target的数据

题目描述

给你有序一个数组，级一个target，数据量很大，请你使用二分查找法，查找最后一个小于等于目标值的元素的索引
输入格式

2行

第一行一个整数n，数组长度

第二行n个整数，数组元素，空格隔开

第三行一个整数target
输出格式

输出一个整数，最后一个小于等于目标值的元素的索引，如果没有，输出-1

用例输入

5

1 2 2 3 4

2
用例输出

2

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1000];
int n;
int bfind(int,int,int);
int bfind2(int,int,int);
int bfind3(int,int,int);
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+0,a+n);
    int x;
    cin>>x;
    cout<<bfind2(x,0,n-1);
	return 0;
}
int bfind(int x,int l,int r)
{
    while(l<=r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        if(a[mid] == x) return mid;
        else if(a[mid]<x) l = mid+1;
        else if(a[mid]>x) r = mid-1;
    }
    return -1;
}
int bfind2(int x,int l,int r)
{
    if(l>r) return -1;
    int mid = l + (r-l)/2;
    if(a[mid] <= x) return mid;
    else if(a[mid]>x) return bfind2(x,l,mid-1);
    else if(a[mid]<x) return bfind2(x,mid+1,r);
}
int bfind3(int x,int l,int r)
{
    int result = -1;
    while(l<=r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        if(a[mid]>x) r = mid-1;
        else if(a[mid]<x) l = mid+1;
        else if(a[mid]==x) 
        {
            if(a[mid-1]>=x) return mid;
            else l = mid+1;
        }
    }
    return result;
}