引言
因为有 GraphRAG 的需求，其中涉及到了社区检测，因此也稍微看看这一领域中常用的 Louvain 算法和 Leiden 算法。本文内容主要是对论文 From Louvain to Leiden: guaranteeing well-connected communities 的简单分析解读，其中所提到的实验数据也是来源于此论文。
在复杂网络分析中，社区检测是理解网络结构的关键手段。在许多复杂网络中，节点会聚集并形成相对密集的群体------通常被称为社区。这种模块化结构通常事先是未知的。因此，检测网络中的社区是一个重要的问题。那么，如何评判社区检测结果好坏，因此需要一种衡量网络特定划分质量的标准，一般这个标准称为质量函数（quality function） ，**模块度（Modularity）和恒定波茨模型（Constant Potts Model，CPM）**是常用的社区质量评估函数。
理解质量函数
Modularity
社区检测中最著名的方法之一是模块化，其所使用的质量函数就是 Modularity，定义如下：
H = 1 2 m ∑ c ( e c − γ K c 2 2 m ) \mathcal{H}=\frac{1}{2 m} \sum_{c}\left(e_{c}-\gamma \frac{K_{c}^{2}}{2 m}\right) H=2m1c∑(ec−γ2mKc2)
其核心是通过"实际边数与随机情况下期望边数的差异"量化社区结构的优劣，用来评估一个网络划分成若干社区后，其内部连接是否显著强于随机预期。
核心参数定义
| 参数 | 数学含义 | 物理网络解释 |
|---|---|---|
| H \mathcal{H} H | Modularity值（模块化得分） | 衡量网络社区划分质量的指标，取值范围通常为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]，值越接近1，社区结构越显著。模块化方法的目标就是最大化这个值。 |
| m m m | 网络中总边数 | 描述网络整体的连接密度，是归一化因子，避免网络规模对得分的干扰 |
| c c c | 单个社区 | 网络中被划分出的一个"节点集群"，所有社区构成网络的完整分区（无重叠、无遗漏） |
| e c e_c ec | 社区 c c c 内部的实际边数 | 反映社区内部的连接紧密程度， e c e_c ec 越大，社区内部越稠密 |
| K c K_c Kc | 社区 c c c 中所有节点的度数之和 | 描述社区 c c c 的"总连接能力"，包含社区内部与外部的所有连接（如节点 v v v 的度数=其内部边数+外部边数） |
| γ \gamma γ | 分辨率参数（ γ > 0 \gamma>0 γ>0） | 控制社区划分的精细度： γ \gamma γ 越大（高分辨率），倾向于拆分出更多小社区； γ \gamma γ 越小（低分辨率），倾向于合并为更少大社区 |
关键计算项简单说明
这里只是简单说明下公式中的几个计算项，没有深入研究细节及其推导。
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期望边数项 K c 2 2 m \frac{K_{c}^{2}}{2m} 2mKc2 ：
基于"配置模型"（Configuration Model）计算------假设网络节点度数固定，边随机连接时，社区 c c c 内部"理论上应存在的边数"。
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社区贡献项 ( e c − γ K c 2 2 m ) \left(e_{c}-\gamma \frac{K_{c}^{2}}{2m}\right) (ec−γ2mKc2) ：
单个社区 c c c 对整体模块化得分的"贡献值"。若 e c > γ K c 2 2 m e_c > \gamma \frac{K_c^2}{2m} ec>γ2mKc2，说明社区 c c c 内部实际边数超过随机期望，该社区的"结构显著性"为正；反之则为负（可能是划分不合理的社区）。
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全局归一化 1 2 m \frac{1}{2m} 2m1 ：
将所有社区的贡献项求和后进行归一化，确保模块化得分在统一尺度下可比，不受网络规模影响。
物理网络视角的本质意义
从网络结构的物理含义出发，Modularity本质是**"社区内部稠密连接"与"社区间稀疏连接"的量化差异**，核心作用是判断"某一分区是否真实反映了网络的内在社区结构"，具体可从3个维度理解：
1. 区分"真实社区"与"随机集群"
在无真实社区结构的随机网络中，任意划分的"社区"内部边数 e c e_c ec 会接近期望边数 K c 2 2 m \frac{K_c^2}{2m} 2mKc2，此时 Modularity 值接近0；而在存在真实社区的网络中（如社交网络的"兴趣群组"、引文网络的"研究主题集群"），社区内部边数远多于随机期望，Modularity值会显著大于0，得分越高说明划分越贴合真实结构，越能体现社区性。
2. 平衡"社区粒度"与"结构显著性"
分辨率参数 γ \gamma γ 的物理意义是"社区密度阈值"：
- 当 γ \gamma γ 较小时（如 γ = 0.1 \gamma=0.1 γ=0.1），低阈值允许更多节点被划入同一社区，即使社区内部密度较低（但仍高于随机期望），适合检测"宏观大社区"（如整个社交网络中的"地区群组"）；
- 当 γ \gamma γ 较大时（如 γ = 1 \gamma=1 γ=1），高阈值要求社区内部密度极高，仅允许紧密连接的节点构成社区，适合检测"微观小社区"（如地区群组中的"家庭子群"）。
3. 规避"规模依赖"的公平对比
通过 1 2 m \frac{1}{2m} 2m1 的归一化，Modularity可在不同规模的网络间公平比较社区结构质量。例如：
- 小网络（如100节点、200条边）与大网络（如10000节点、20000条边）的Modularity得分可直接对比，无需担心"大网络边数多导致得分偏高"的问题；
- 同一网络的不同分区方案（如A方案分5个社区，B方案分10个社区），可通过Modularity值判断哪种方案更优。
Constant Potts Model
使用模块度作为质量函数时会有所谓的分辨率限制问题。由于分辨率限制，也就是 Modularity 中的期望边数 K c 2 2 m \frac{K_{c}^{2}}{2m} 2mKc2 依赖网络总边数 m m m，当社区规模远小于网络整体规模时，即使该社区内部连接极稠密，其对 Modularity 总分的 "贡献" 也可能被 "大社区的贡献" 淹没，导致算法无法识别出小社区。换句话说，模块化可能会"隐藏"较小的社区，而产生包含重要子结构的社区。
CPM 通过使用不同的参考基准避免了这个问题，其定义如下：
H = ∑ c [ e c − γ ( n c 2 ) ] \mathcal{H}=\sum_{c}\left[e_{c}-\gamma \binom{n_c}{2}\right] H=c∑[ec−γ(2nc)]
其中， n c n_{c} nc 是社区 c c c 中的节点数量。分辨率参数 γ \gamma γ 起到一种阈值的作用：社区的密度应至少为 γ \gamma γ，而社区之间的密度应低于 γ \gamma γ。与模块化的分辨率参数类似，较高的分辨率会产生更多的社区，较低的分辨率则会产生更少的社区。
可以看到，CPM 的参考基准是"社区自身的最大可能边数 ( n c 2 ) \binom{n_c}{2} (2nc)"，与网络整体规模（总节点数、总边数）无关，仅依赖社区内部节点数 n c n_c nc。因此，无论社区规模大小，只要内部密度 ≥ γ ≥ \gamma ≥γ，就能被识别为有效社区，避免了 Modularity"漏检小社区"的问题。
Louvain 算法
直接优化模块度或 CPM 等质量函数是NP难问题，因此人们提出了许多启发式算法，在这些算法中，最受欢迎的算法之一就是所谓的Louvain算法，其名称来源于作者所在的地点。在对比分析中，该算法被发现是速度最快、性能最佳的算法之一，并且是社区检测文献中被引用次数最多的研究成果之一。
核心流程
Louvain 算法非常简单巧妙，其通过 "节点的局部移动 - 网络聚合" 的两阶段迭代来优化质量函数，流程如下：
- 初始状态：每个节点为独立社区（单点分区）；
- 局部移动阶段：逐个移动节点到能使质量函数获得最大增幅的社区中，直至无节点可优化移动；
- 网络聚合阶段：基于局部移动阶段得到的分区创建一个聚合网络，分区中的每个社区作为聚合网络中的一个节点；
- 迭代终止：重复 "局部移动 - 聚合"，直至质量函数无法提升。
整体算法流程图和伪代码（来自原论文）如下所示：
算法缺陷
虽然 Louvain 算法简单优雅，但其却存在严重缺陷：
- 社区连通性差：可能产生任意程度的连通性不佳的社区，极端情况下甚至出现完全不连通的社区（部分节点需通过社区外路径才能连通）。分析显示，Louvain 发现的社区中，高达 25% 的社区连接不良，多达 16% 实际上是断开的。
- 迭代加剧问题：迭代运行时，虽能提升质量函数值，但会进一步恶化社区连通性。这是因为算法仅考虑单个节点移动，可能移除社区 "桥节点" 导致社区离散，且无修复机制。
- 与分辨率限制无关：该缺陷独立于模块化的分辨率限制问题，即使使用无分辨率限制的 CPM 函数，问题仍存在。
比如，像下图所示的情况，0～6 节点在同一个社区中（红色表示），1～3 节点和 4～6 节点仅靠 0 节点连通，而 Louvain 算法运行，移动网络中其余部分中的节点。可能在某个时刻，算法发现，将节点 0 移动到其他社区是最优的选择，然后将节点 0 从红色社区中移除掉后，就形成了右图所示的情况，也就是得到了一个内部不连通的社区。
Leiden 算法
Leiden 算法正是为了解决 Louvain 算法的缺陷而提出来的一种改进的算法，其能保证社区具有良好的连通性。
核心流程
Leiden 算法的核心流程可分为以下三个阶段，以及各阶段与 Louvain 算法的比较：
| 阶段 | 核心操作 | 与Louvain算法的差异 |
|---|---|---|
| 1. 节点局部移动 | 采用"快速局部移动"策略：用队列维护需访问的节点，仅重新访问邻居结构变化的节点，避免重复访问无变化节点 | Louvain 每一次均需遍历所有节点直至无优化空间，效率低；Leiden减少无效访问，速度更快 |
| 2. 分区细化 | 基于阶段1的分区 P P P，生成细化分区 P r e f i n e d P_{refined} Prefined： 1. 初始为单节点分区； 2. 仅在 P P P 的社区内部合并节点，且合并需满足"与原社区充分连通"； 3. 随机选择合并目标（ 使用变量 θ \theta θ 控制随机性），合并目标需为质量提升大于 0 的社区 | Louvain无细化阶段，直接基于 P P P 聚合网络，可能保留连通性差的社区 |
| 3. 网络聚合 | 基于 P r e f i n e d P_{refined} Prefined 构建聚合网络，且聚合网络的初始分区仍基于 P P P | Louvain直接基于 P P P 聚合，无法修复已有缺陷 |
整体算法流程图和伪代码如下所示：
算法性能保证
Leiden算法提供了多层级的理论保证，显著优于Louvain算法，具体对比如下：
γ \gamma γ 指的是待优化质量函数中的分辨率参数，该质量函数可以是模块化函数或CPM。
| 保证类型 | Louvain算法 | Leiden算法 |
|---|---|---|
| 每轮迭代 | ✅ γ \gamma γ-分离（无社区可合并） | ✅ γ \gamma γ-分离； ✅ γ \gamma γ-连通（社区保证连通，强于普通连通性） |
| 稳定迭代（分区无变化） | ✅ 节点最优（无单个节点可优化移动） | ✅ 节点最优； ✅ 子分区 γ \gamma γ-稠密（社区可拆分为连通子部分，且子部分无法与原社区分离） |
| 渐近收敛（迭代至无优化空间） | ❌ 无额外保证（稳定后无法进一步优化） | ✅ 均匀 γ \gamma γ-稠密（社区任意子集均无法与原社区分离，质量接近最优）； ✅ 子集最优（社区所有子集均无法优化移动，最强保证） |
实验验证结果
研究在6个真实网络（DBLP、Amazon、IMDB等）和基准网络上验证算法性能，核心结论如下：
1. 连通性改善
- Louvain算法：迭代次数增加后，离散社区比例显著上升（如DBLP网络迭代后离散社区达16%，Amazon网络25%社区连通性差）。
- Leiden算法：
- 保证所有社区连通；
- 迭代次数增加时，连通性差的社区比例持续下降，最终收敛到无连通性问题的分区。
2. 速度提升
- 基准网络：节点数越多、社区划分难度越大（ μ \mu μ 越大， μ \mu μ 为边在社区间的概率），Leiden优势越明显。例如 μ = 0.9 \mu=0.9 μ=0.9（最难划分）、节点数 n = 10 7 n=10^7 n=107 时，Louvain需2.5天，Leiden仅需10分钟。
- 真实网络：Leiden比Louvain快2-20倍，大型网络（如Web UK）速度差距达20倍。
3. 分区质量优化
- 基准网络： μ \mu μ 较大时，Leiden生成的分区质量更高（CPM质量函数值更高）。
- 真实网络：所有网络中，Leiden的模块度均高于Louvain（如Amazon网络Louvain 模块度 0.9301，Leiden 达 0.9341），且迭代中持续优化，而Louvain快速收敛到次优解。
总结
总的来说，Leiden 算法通过几个关键操作，避免了 Louvain 算法的社区内连通性缺陷，并且极大地提升了算法效率：
- 采用"快速局部移动"策略，仅需重新访问被移动节点的相关邻居节点，避免重复访问无变化节点，从而提高了分区优化效率；
- 对快速局部移动节点得到的分区进行细分，如果原分区的社区内有连通性差的部分，则会原社区会分裂为多个社区；
- 网络聚合是基于细分后的分区进行的，而聚合后的网络的初始分区还是快速局部移动得到的分区，这样既保证当前迭代的最优分区，又使得社区内的不连通子社区（聚合网络中的节点）能有重新被移动的机会，从而确保社区连通性。