个人简介：
左奎军，西北工业大学航空学院2021级力学专业博士研究生，师从叶正寅教授、张伟伟教授、袁先旭研究员，主要研究方向为面向航空工程的机器学习流场预测。博士期间曾获优秀研究生、一等学业奖学金等荣誉。在读期间以第一作者在Aerospace Science and Technology、Expert Systems with Applications、Physics of Fluids等行业内知名期刊上共发表学术论文6篇，在投论文2篇，申请软著一项
论文题目：基于机器学习的复杂流场预测方法研究
答辩时间：2025年6月3日
毕业去向：香港理工大学博士后
论文简介：
在飞行器的气动分析以及优化设计中通常涉及到大量的数值模拟迭代过程，为了缩短设计周期，可采用机器学习方法来准确、快速地预测出翼型/机翼甚至飞行器周围的流场。虽然机器学习在流场预测中展现出了巨大潜力，但相关研究仍旧面临诸多挑战。如由小样本流场数据分布不均衡导致的优化问题以及缺乏理解机器学习模型预测机制的特征可视化手段已经成为制约机器学习在空气动力学中进一步发展的瓶颈；流场拓扑结构、分辨率的多样性以及流动问题的复杂性为构建空气动力学领域大模型带来了全新挑战；而在高超声速流动中，考虑如何针对具有多尺度流动结构与非平衡高频特性的高雷诺数时序湍流进行机器学习建模已经成为航空工程中亟待解决的难题。
本文以二维翼型、三维机翼以及HyTRV（Hypersonic Transition Research Vehicle）高超声速升力体标模为研究对象，构建了一系列基于机器学习/深度学习模型的智能流场预测网络架构。在人工智能与计算流体力学交叉领域，发展了机器学习模型与风雷求解器耦合的流场加速求解方法，并从多个维度系统剖析了模型架构、损失函数设计以及特征选择策略等核心要素对流场预测精度的影响。本文的主要研究内容为：
（1）提出了用于几何特征编码的翼型参数化网络架构以及用于解决流场数据分布不均衡问题的多专家神经网络模型。采用UIUC（University of Illinois Urbana-Champaign）翼型数据库训练的翼型几何参数化网络实现了对任意二维翼型的快速几何编码，其灵活性远远优于传统翼型几何参数化方法，预测坐标值与真实坐标值之间的相关系数可达0.9999以上。测试结果显示，构建的面向二维翼型流场预测的多专家神经网络模型相比于传统的全连接神经网络在训练集上的损失可降低两个数量级，同时对翼型边界层区域流场也能够实现精确捕捉。
（2）提出了基于视觉Transformer的翼型几何特征可视化方法以及基于注意力增强的卷积神经网络与风雷求解器耦合的流场加速求解策略。通过模拟人类视觉感知系统，采用Transformer神经网络架构成功实现了对翼型几何注意力特征的可视化，发现神经网络在翼型几何区域往往具有较高的注意力权重，这为流场结构分析与机器学习模型内部学习机制的探索提供了一个新颖的研究视角。其次，通过对比神经网络预测时间与CFD（Computational Fluid Dynamics）计算时间，发现在面对大规模流场计算任务时，神经网络具有显著的优势。粗、中、细三类网格被用于测试深度注意力网络的网格泛化性。发展了通道与空间注意力增强的卷积神经网络，通过将模型预测解作为风雷求解器的初始场，使CFD计算时间减少三倍以上，迭代次数减少五倍以上。
（3）提出了适用于大规模流场仿真的空气动力学大模型基础架构，解决了神经网络模型针对不同分辨率流场的适应性问题。探索了可变形卷积方法在流场预测问题中的应用，提出了记忆池分辨率存储策略保证了输入以及输出流场分辨率的一致性。发展了用于同一计算工况不同分辨率流场预测的CycleMLP++神经网络架构，经过测试发现该模型在UIUC数据集以及NACA0012-CST数据集上的预测精度均能达到99%以上。在此基础上进一步发展了面向宽速域二维翼型流场预测的神经网络模型，构建了Free-stream自由来流编码器保证了神经网络模型对不同计算工况流场的泛化性。分别利用亚声速以及跨声速翼型流场数据集对模型进行了测试，发现神经网络模型在测试数据集上的流场预测误差小于1%，即使测试翼型中存在分离流动，模型预测误差也可控制在3%以下。最后，提出了面向大规模三维机翼流场仿真的Flow3DNet神经网络，构建了分辨率与特征金字塔融合的记忆池模块。经测试发现，Flow3DNet针对具有不同几何外形的ONERA M6三维机翼，其压力场的预测精度在99.99%以上，预测速度比基于CPU的风雷求解器快四个数量级，同时对不同三维机翼流场的激波区域也能够实现精确捕捉。
（4）针对高超声速HyTRV升力体直接数值模拟时序湍流场的预测问题，构建了基于Koopman神经算子的高超声速时序湍流场预测网络。将Koopman神经算子网络分别与SwinLSTM神经网络以及傅里叶神经算子网络进行了对比，测试结果表明在相同硬件与训练数据下，Koopman算子网络具有更小的内存占用、易于训练且不会出现过拟合现象。在高超声速时序湍流场的长时预测过程中，Koopman算子网络对密度场的预测误差小于6%，对温度场的预测误差小于5%，而壁面摩阻以及壁面热流则对算子模型预测结果的微小误差均具有较强的敏感性。
博士论文答辩PPT
目前的科学研究基本遵循以上四类研究范式，以流体力学为例，在前计算机时代的研究主要以实验+理论推导为主；而随着计算机技术的发展，以CFD为代表的计算机流体仿真技术在各行各业均得到了广泛应用。另一方面，由于流体数据的剧增与人工智能技术的涌现，基于人工智能的流体快速仿真方法在最近几年取得了飞速发展。AI4S作为一类全新的科研范式正在赋能千行百业，如谷歌的Deepmind团队提出的用于预测蛋白质三维折叠结构的AlphaFold以及华为提出的用于全球中期天气预测的盘古气象大模型。特别是2024年的诺贝尔物理学奖以及化学奖使得人们对AI4S这一研究方向格外关注。基于学科背景，本研究主要探索人工智能在赋能飞行器设计尤其是流场仿真方面的应用。
为了获取飞行器周围的流场，传统的CFD仿真方法往往需要经过物理建模、网格生成、NS方程求解等步骤，而在飞行器气动优化设计中，任何几何外形的微小变化均需要重复上述步骤，这极大增加了飞行器设计中的计算消耗，为此可考虑利用在飞行器设计中所累积的海量的历史流场数据训练机器学习模型来加速飞行器周围流场的仿真速度。
针对定常流场建模，现有研究主要是利用CFD或者实验手段获取变几何外形或者变工况的流场数据集，然后基于此对机器学习/深度学习模型进行训练以及测试。而基于数据驱动的机器学习流场预测一般是利用端到端的建模方式来实现的，如常见的通过构建符号距离场与速度场以及压力场之间的映射关系来实现不同几何外形流场的快速预测。
针对非定常流场建模，由于非定常流动具有高度非线性以及多尺度特性，因此传统的降阶模型很难对其进行精确建模。虽然最近几年相关学者已经采用卷积神经网络以及长短时记忆网络等对非定常流场建模问题进行了研究，但针对高超声速湍流的强非线性以及混沌特性，如何利用机器学习模型对高超声速湍流进行精确的长时建模仍旧存在诸多问题。
虽然最近几年关于机器学习流场预测的研究层出不穷，但作为流体力学研究人员，更加迫切的想要了解深度学习作为一类端到端建模的黑箱模型，其流场预测过程是否具备可解释性，流场的预测结果是否具备可信度。另外，随着ChatGPT以及Deepseek等大语言模型的兴起，流体力学领域能否构建类似的流体力学大模型仍然是值得探索的一个科学问题。
本文以二维翼型、三维机翼以及HyTRV（Hypersonic Transition Research Vehicle）高超声速升力体标模为研究对象，构建了一系列基于机器学习/深度学习模型的智能流场预测网络架构。在人工智能与计算流体力学交叉领域，发展了机器学习模型与风雷求解器耦合的流场加速求解方法，并从多个维度系统剖析了模型架构、损失函数设计以及特征选择策略等核心要素对流场预测精度的影响。
为了有效表征具有不同外形翼型的几何特征，这里构建了一种基于卷积神经网络的翼型几何参数化网络用于替代传统翼型几何的CST参数化方法。由于CNN具有权值共享的属性，因此在执行翼型图像的计算任务时，其往往比全连接神经网络具有更大的优势。具有任意外形的高维翼型图像经过该网络后可将其降维为低维的几何特征。
考虑较少的实验样本会导致模型训练数据分布不均衡甚至缺失，特别是对于多任务学习而言，不同流场的数据分布不均衡使得神经网络在流场预测过程中会产生跷跷板问题，即一个物理量预测精度的提升往往是以另一个预测物理参数的精度损失为代价的。基于此，首先采用基于卷积神经网络的翼型几何参数化方法提取翼型的几何特征，并使用翼型坐标对神经网络进行监督学习训练；其次，设计了面向多任务学习的多专家网络用于二维翼型速度场以及压力场的预测。
经过对实验结果进行对比发现，对于小样本流场，MHP可以取得比MLP更好的流场预测效果。这是因为在多变量的流场预测任务中，具有不同数据分布的流场在预测过程中会相互干扰，特别是在模型训练的反向传播过程中这种干扰会更加显著。而MHP神经网络通过对不同变量的反向传播过程进行解耦从而增强了神经网络模型的预测精度与泛化性。
本章工作的相关代码已经开源，而佐治亚理工学院的相关学者也同时follow了我们的工作。只不过与我们工作不同的是，在流场预测环节其主要建立了攻角+几何特征与流场低维流形之间的映射关系。
当观察不同场景下的图像时，人类大脑往往会关注主要信息而忽略次要信息，这就是大脑的注意力机制。受Vision Transformer在图像识别以及图像分割等领域成功应用的启发，本节主要讨论如何使用基于自注意力架构的Transformer编码器提取翼型的几何信息。对于翼型而言，只有几何信息才是我们需要关注的，而其他位置的信息都被认为是冗余的。本质上，自注意力机制是从大量信息中筛选出少量重要信息，将注意力集中于重要信息的处理，忽略掉大部分不重要的信息，计算得到的权重则代表了不同信息的重要性。从注意力图中可以看出，在翼型几何边缘区域往往具有较大的注意力权重，这与我们人眼识别的结果是一致的，该方法极大提升了研究人员对神经网络这类黑箱模型特征提取过程的理解。
基于上述工作，进一步给出了用于翼型流场预测的深度注意力网络。神经网络的输入为Transformer几何特征编码器提取的10个几何特征，流场坐标、雷诺数、攻角以及壁面距离等信息，预测输出分别为速度场以及压力场。
当流场预测涉及多个物理参数时（即多任务学习，Multi-task Learning, MTL），数据或者标签的不平衡（长尾分布问题）会影响神经网络的预测精度，甚至会导致跷跷板问题。如上图所示，在MTL问题中，共测试了三种不同的流场预测网络架构，即MLP、MHP以及MMOE（Multi Gate Mixture of Experts）。期望通过测试找到最优的MTL流场预测网络，以保证所构建的神经网络在面对多物理参数预测时仍能取得较好的预测精度和泛化性。
本节共设计了两类翼型流场数据集来测试三类神经网络的流场预测能力。第一类数据集为UIUC翼型数据集，该数据集主要测试神经网络在面向变几何、变雷诺数以及攻角的工况时是否仍旧较好的流场预测能力；而第二类数据集为通过对CST参数扰动得到的500组具有不同几何外形翼型流场，该数据集主要测试神经网络在对面亚声速的变几何工况时的预测预测能力。
利用构建的流场数据集对三类神经网络模型进行训练，从上表中可以发现，本文所构建的深度注意力网络无论是在训练集还是交叉验证集上均能取得较小的损失，且在训练集上的MSE损失比MMOE最大能减小大约3个数量级。
从上述训练结果中可以发现，一般来讲，仅采用部分流场数据对深度学习模型进行训练能有效提升模型的预测精度。因为我们更加关注的是流场近壁面的信息，而远场数据则认为是干扰模型预测结果的脏数据。
利用测试数据集也进一步验证了上述猜想，采用感兴趣区域训练的深度学习模型能够取得比采用全场流场数据训练的神经网络更高的预测精度，预测得到的流场等值线呈光滑分布。
压力系数误差分布散点图显示采用全流场数据进行模型训练其误差分布存在明显的震荡现象，而采用感兴趣区域流场进行建模则误差数值分布更加集中；与采用全流场建模相比，采用感兴趣区域流场进行建模其最大绝对误差能够降低大约41.5%。
另外，测试结果不仅展现了DAN能够获得与CFD高度一致的仿真结果，且该模型能够在一定程度上实现对具有不同几何外形、雷诺数以及攻角翼型流场的泛化。
进一步构建了三种不同分辨率的网格来测试深度注意力网络的网格泛化性。
第一类与第二类网格除了与训练数据集中的网格分辨率不同外，也同时存在几何外形以及雷诺数的改变；从测试结果来看，随着网格分辨率的增加，DAN模型同样得到了与CFD高度一致的仿真结果。
第三类测试网格的分辨率大约是训练数据集网格分辨率的5倍，且同时存在雷诺数、攻角的变化。此时虽然该模型同样得到了与CFD类似的仿真结果，但从误差云图中也可发现，与其他区域相比，翼型前缘以及尾缘处存在明显误差较大的情况，针对这一问题在后续章节也做了一定研究，这里就不再赘述。
从图中可以发现随着计算算例数目的增加，CFD计算时间呈线性增长。相反，对于DAN模型，其花费的时间包括了CFD计算时间（数据集准备时间）、神经网络训练时间以及测试时间。在初始时刻，大约需要花费52.011小时来完成数据准备、模型训练以及单个流场预测等过程。但随着测试算例数目的增加，DAN所用时间增长缓慢，当测试算例数目大于1692时，DAN模型总耗时要小于CFD计算耗时。但当测试算例小于1692时，CFD计算耗时要小于DAN模型的准备时间。因此可知，当涉及的流场计算算例数量较小时，CFD仿真方法耗时较少；但当涉及的算例较多时，在保证泛化性以及预测精度的前提下，深度学习方法较传统的CFD方法仍具有较大优势。
为了解决上述章节提到的翼型前缘以及尾缘预测误差较大的问题，首先给出了速度以及压力的梯度图，可以发现流场梯度较大的区域往往是翼型的前缘以及尾缘位置，这也是数据驱动建模方法较难学习的区域，为此考虑将速度以及压力的梯度信息作为优化目标来增强模型的预测精度；其次，考虑翼型网格一般具有近密远疏的特性，因此通过设计一个新的特征M来对流场坐标进行人工添加标签，使其越是靠近流场壁面的位置则其占有的权重越高。
为了提升模型的训练效率，这里采用了一个基于空间注意力与通道注意力增强的卷积神经网络用于流场预测，为了匹配模型的输入数据格式，这里采用网格坐标变化技术将流场数据从笛卡尔坐标系转换到曲线坐标系。为了加速机器学习流场预测的工程应用，进一步将神经网络得到的预测流场解嵌入到PHengLEI求解器中求解NS方程直到收敛，此时，若NS方程收敛则有效说明了采用深度学习模型预测得到的流场也是符合NS物理方程的，这一做法一方面提升了模型预测解的可信度；其次通过预先设定初始场的方式也进一步提高了传统NS方程求解器的求解效率。
测试结果显示，采用新的模型训练策略极大减小了流场预测解的前缘以及尾缘处的误差。
另外，数据分布直方图显示深度学习模型能够得到与CFD高度重合的流场仿真结果，且误差均小于e-3。
进一步通过流场等值线对比图以及不同站位点处的速度型曲线以及近壁面处的压力系数曲线也同步验证了深度学习模型在该测试算例中取得了较高的预测精度。
通过将深度学习模型的预测值作为风雷求解器的初始场进行仿真求解，从上述测试结果可以发现，该策略与传统的CFD求解方法相比，能够使得迭代次数降低3.5倍，迭代时间降低5.8倍；其次，从升力与阻力收敛曲线来看，该方法几乎在迭代初期升力与阻力就已经处于稳定收敛状态。而下图则提供了更多测试算例的计算结果，进一步验证了本文所提出方法的有效性。
通过上述研究可知，人工智能被认为是加速流场模拟的有效手段，然而目前的深度学习方法很难在保证计算效率的同时实现对流场分辨率的泛化，这限制了深度学习在空气动力学领域的进一步发展，特别是若要构建空气动力学领域大模型，首要的任务就是要保证模型能够接受任何分辨率流场的输入以及任意分辨率流场的输出。本章介绍了一种用于宽速域、任意分辨率以及二维流场的空气动力学快速仿真框架。通过大量的实验验证发现，在数据集重充足的情况下，该模型具有进一步泛化到机翼、全机甚至汽车以及风力机等多类研究对象的潜力。
通过对现有流场预测建模方法进行调研发现：点云、图神经网络以及全连接神经网络虽然能够做到对流场分辨率的泛化，但就点云与全连接神经网络而言其主要是在固定位置上沿着通道维度来提取流场特征，其忽略了流场的空间特征与流场网格点的邻居信息。而图神经网络则需要单独维护一个邻接矩阵，这无疑增加了内存消耗。而卷积神经网络与Transformer神经网络则表现出对流场分辨率的敏感性。为此，本文以CycleMLP作为基础组件开发了一种全新的神经网络架构用于任意分辨率二维以及三维流场的预测。
上图左侧展示的是点云神经网络的特征提取过程，其主要是在固定位置上沿通道维度进行特征提取，而右侧的卷积神经网络其主要是在给定的特征图上通过滑动固定的卷积核来提取流场特征。而中间的神经网络则展示了可变形卷积的特征提取过程，其在特征提取过程中主要是通过对不同空间位置的特征进行聚合来增强模型的预测精度与泛化性，当然该模型的一个显著优势则是其可以做到对任意分辨率流场的泛化。
如上图所示，以上述提到的可变形卷积作为基础组件，构建了CycleMLP模块，并基于此发展了一种用于任意分辨率亚声速/跨声速二维翼型流场预测的神经网络框架。该神经网络框架分别由4个上采样模块以及4个下采样模块组成，而为了保证输入模型以及输出模型流场分辨率的一致性，设计了一种记忆池模块用于存储每个下采样阶段的流场分辨率，而在上采样阶段则依次从记忆池中取出对应阶段的流场分辨率。其次，为了使该模型同时具备对不同速域流场的泛化性，设计了一种free-stream编码器用于在高维的隐式空间中将升维的流动特征与下采样阶段的高维空间特征进行融合，经测试发现该编码器的融入能够极大提高流场仿真精度。
上图分别展示了CycleMLP组件以及Free-stream编码器的详细网络架构，Free-stream编码器为线性编码层，用于将马赫数、雷诺数以及攻角三个参数从低维空间映射到高维空间。
本文分别构建了三类流场数据集用于测试神经网络的流场预测精度与泛化性。
这里神经网络的输入以及预测输出与之前构建的神经网络类似，但与之不同的是，由于涉及了亚声速以及跨声速算例，而雷诺数这一参数的维度跨度较大，常见的数据归一化手段此时是无效的。为了便于模型训练，借鉴确定第一层网格高度的计算方法，从上图也可看出，网格第一层高度与壁面摩擦系数是息息相关的，因此这里考虑将雷诺数转换为摩擦系数用于后续神经网络的训练以及测试任务。
上图分别展示了四种不同神经网络训练策略的损失函数变化曲线。可以发现，对于Model B而言，当对Re不做参数转换时，模型无论是在训练集还是在交叉验证集上的损失都是最大的，其数值分别为4.86e-4和5.06e-4。对于模型C而言，当其不采用Free-stream编码器对Ma，Re以及AOA进行编码时，损失函数的误差仍然是较大的，在训练集上的损失为1.48e-4，在交叉验证集上的损失为1.62e-4。对于模型D而言，可以发现，通过在模型中加入Free-stream编码器以及应用雷诺数转换策略与ModelC相比在训练集上的MSE降低了大约95.5%，在交叉验证集上的MSE降低了大约95.2%。对Model A而言, 其在Model D的基础上在损失函数中进一步添加了速度以及压力的梯度约束，可以发现与ModelD相比，其在训练集上的MSE降低了大约49.9%，在交叉验证集上的MSE大约降低了59.4%。因此本文采用Model A神经网络架构用于后续翼型流场的预测任务。
首先利用NACA0012-CST测试数据集对模型进行测试，可以发现该模型针对变外形的亚声速算例取得了较高的预测精度，通过一系列的改进措施极大提升了翼型前缘以及尾缘区域的预测精度。
其次，利用UIUC数据库中的测试数据对模型进行测试，从结果来看，即使面对具有分离流动的亚声速测试算例，本文提出的模型仍旧取得了与CFD高度相似的仿真结果。
最后，利用RAE2822-CST测试数据集对模型进行测试，从测试结果来看，即使在面对具有激波的跨声速流场时，模型依旧取得了较高的预测精度，且较难预测的激波区域也同样能够取得不错的预测效果，上述测试结果表明，本章节提出的模型能够同时实现对具有分流流、激波现象的亚声速以及跨声速翼型流场的预测。
进一步对测试算例进行定量分析可以发现：NACA0012-CTS数据集的预测精度是最高的，达到了99.9%以上，这主要是由于该数据集几何外形变化较小，且不存在分离流以及激波等复杂流动问题；对于RAE2822-CST这类含有激波的数据集而言，其预测精度保持在99.7%以上；而对于UIUC数据集而言，可以发现，当翼型流场中存在分离流时，其预测误差是最大的，但预测精度依然保持在97.7%以上；但是对于无分离流的翼型，其预测精度依然保持在99.7%以上。综上所述，本节所提出的神经网络架构除了能够实现对任意分辨率流场的预测，另外，即使在面对分离流以及激波等复杂流动现象时也能得到较为精确的预测结果，流场预测速度基本能够比CFD求解器快2个数量级以上。
通过进一步的分析可以发现，即使在零样本状态下，该模型能够进一步实现对不同马赫数、雷诺数以及攻角翼型流场的泛化，这为后续空气动力学大模型的发展奠定了基础。
进一步将该方法拓展到三维流场的预测场景中，但用于三维流场预测的神经网络架构与用于二维流场预测的神经网络模型不同，除了采用3D Patch Embedding模块来对输入的三维流场进行降维外，为了保证神经网络模型对任意分辨率流场的泛化性，这里考虑将下采样阶段每个Stage模块中的特征分辨率存储在Resolution and Feature Memory Pool数据库中。另外，受UNet神经网络中skip connection的启发，进一步将下采样每个阶段提取的特征存储在Resolution and Feature Memory Pool数据库中，并将其与来自上采样阶段的特征进行融合，该措施不仅能够有效缓解模型过深导致的梯度消失问题，其次也能有效增加模型对不同阶段特征的语义理解，提升神经网络模型的预测精度。
采用变几何的跨声速三维机翼流场算例用于神经网络模型的训练以及测试任务
从测试结果来看，即使在面对变几何的三维机翼，本文所提出的神经网络架构依然取得了与CFD仿真高度一致的预测结果。
在航空工程领域普遍对机翼附面层的流场较为关注，流场仿真结果可以用于辅助三维机翼的几何外形优化。如上图所示，为了更加精确地对Flow3DNet的三维流场预测结果进行评估，在三维机翼表面依次选择四个不同的站位点用于测试CFD计算值与Flow3DNet预测值之间的曲线拟合效果。从结果来看，无论是对于速度U，V，W还是压力P，CFD与Flow3DNet两者之间的曲线均实现了较为精确的拟合效果。
在跨声速流动中，识别和分析机翼上的激波位置对于飞行器设计至关重要。激波区域一般是梯度较大的位置，这也是机器学习流场预测问题中最具挑战性的预测区域。因此，本文主要使用高斯梯度幅值滤波器对激波区域进行捕捉来对模型的激波预测能力进行评估。上述测试结果表明，Flow3DNet能够实现对不同几何外形三维机翼流场的激波区域进行精确捕捉，这项工作突出了其在未来工程应用中的巨大潜力。
从上述测试结果来看，该模型同样也具备对不同分辨率三维机翼流场的泛化性。
进一步对模型的测试结果进行定量分析，可以发现，采用深度学习模型能够实现对三维机翼流场的秒级生成，对于压力而言，其预测精度能够达到99.99%以上。因此总体来看，本文所提出的Flow3DNet神经网络模型能够实现对具有不同几何外形三维机翼流场的准确预测，具有重要的工程价值。
在航空航天领域，高超声速湍流边界层的研究一直备受关注。而目前采用直接数值模拟的研究手段往往需要消耗巨大的计算成本，特别是对于高雷诺数湍流而言，由于其多尺度、非线性的混沌特性以及高度不平衡的高频特性，这进一步加剧了时序湍流场的预测难度。经典的LSTM神经网络模型在时序预测方面得到了广泛应用，但其作为一类端到端的黑箱模型缺乏一定的数学可解释性。而最近发展起来的算子网络由于其严谨的数学证明使其建模过程更加具有可解释性。与DeepONet与FNO相比，Koopman算子网络在网格分辨率无关性与长时预测方面展现出了优异的预测性能。为此本章主要基于Koopman神经算子网络完成对高超声速时序湍流场的预测。
用于高超声速湍流预测的Koopman算子网络主要由以下几部分组成：
1）第一部分是变换层，代表了Koopman理论中的观测函数。对于给定的输入，通过一个编码器（这里采用一个线性的MLP神经网络实现）可将其转换为
空间中的
。
2）第二部分是傅里叶变换层。借鉴傅里叶算子网络中分频的思想，这里采用傅里叶变换滤掉流场中的高频信息，保留低频信息，在傅里叶空间中学习湍流场的低频信息。通过滤除高频模态，仅在低频模态上学习Koopman算子，可以降低数据驱动建模策略对Koopman算子逼近的难度，使网络可以长时捕捉湍流中的微小变化的流动信息。
3）为了确保Hankel矩阵张成的空间能够成功逼近目标Koopman算子的不变子空间，这里采用一个O 维的线性层 学习Koopman算子的r次幂。这里r为KNO中的超参数。在本文中，将可学习的线性层以及的维度分布设置为64以及10。基于学习到的算子即可基于当前的观测
去预测系统的未来状态
。
4）对于第三部分预测的输出状态，通过傅里叶逆变换将其从傅里叶空间转变到
，即
。
5）在傅里叶空间中主要利用湍流的低频信息学习流动特征，而为了在算子网络最终的输出中嵌入缺失的高频信息，采用卷积神经网络对经过第一部分编码层后输出的特征图进行卷积。
6）第六部分主要是将第四部分输出的低频信息以及第五部分输出的高频信息
进行合并：
，这里
主要用于控制低频信息和高频信息的相对权重。将合并的高低频特征利用一个非线性的解码器进行观测函数的逆变换。
采用中国空气动力研究与发展中心计算的HyTRV高超声速升力体DNS数据用于算子模型的训练与测试任务，该升力体计算总网格量为60亿。而受硬件条件的限制，这里仅在HyTRV1250mm截面处获得共计5460个物理时间步的流场数据用于后续算子模型的测试。而为了进一步减小计算量，仅选择迎风区域部分湍流数据（密度、速度以及温度）用于后续流场预测任务，此时构建的流场数据集大小为。这里，第二个参数为通道数，后两个参数为流场分辨率，单个流场网格量为433840。
上图左侧首先给出了SwinLSTM模型的训练结果。这里经过实际测试发现，当采用单块RTX3090 GPU进行模型训练时，SwinLSTM花费了约4.9天对模型进行训练但仅迭代了18步，SwinLSTM作为深度学习端到端时序建模中的典型代表，虽然由于注意力机制的加入使其比LSTM以及ConvLSTM等传统深度学习模型具有更优的预测性能，但是也由此带来了巨大的计算开销，使其在DNS时序湍流场建模中需要更多的内存以及训练时间。
上图中间则给出了傅里叶神经算子网络在训练过程中，模型在训练集以及测试集上的损失函数变化曲线。可以发现，在训练初期，模型在训练集以及测试集中的L1损失逐步下降，但是当迭代次数超过10时，模型在测试集上的L1损失随着迭代次数的增加反而越来越大，并出现了过拟合现象。说明随着迭代次数的递增，累积误差会导致FNO模型在测试集上的L1损失越来越大。上述测试结果也进一步说明了FNO在面对DNS高超声速时序湍流这类具有高度非线性以及高频脉动的预测对象时仍旧存在诸多困难。
最后，上图右侧给出了KNO神经算子的训练结果。经过测试发现，在相同的硬件条件下，KNO能够顺利完成模型训练且并没有出现过拟合问题。最终，模型在训练集上的L1损失为3.06e-2，在测试集上的L1损失为2.94e-2。
这里选择测试集中的高超声速时序湍流场用于KNO模型的测试任务。可以发现在第一个时间步，KNO能够精确地对高超声速湍流场进行预测且能够捕捉到小尺度的流动细节。通过进一步分析可以发现，与T1时刻的预测结果不同，在T10时刻KNO虽然得到了与CFD计算结果类似的湍流场，但是湍流的小尺度结构并没有被很好地捕捉，这可能与KNO模型的预测精度有关，但总体的数据分布此时还是呈现出一定的相关性。进一步，随着时间的推移，当在T50时刻时，湍流中的小尺度结构很难被精确捕捉，KNO仅能够预测大尺度的流动细节。这里的主要问题是KNO作为一类数据驱动的建模方法，数据的好坏在很大程度上制约了模型的预测性能，在模型训练中，我们似乎总是期望所有的数据都是均衡分布的，这样训练的模型能达到较高的预测精度，但事与愿违，在实际工程中，流场的数据分布总是呈现跷跷板问题，为此数量越多的样本可能会获得较大的关注度，而数据较少的样本则在模型预测时可能会得到较大的误差值，因此，数据量较少且外推的流场样本此时会有较大的预测误差。
进一步对壁面摩阻以及热流的预测结果进行分析，从对比曲线中可以发现，在T1以及T2时刻，无论是对于壁面摩阻还是热流，KNO预测曲线与DNS计算曲线基本能够实现较好的拟合效果；但随着迭代时间步的增加，由于误差的累积以及高超声速湍流的高频特性，KNO的预测曲线仅能预测摩阻以及热流的宏观趋势，特别是对于热流来讲，在T10以及T50步时，两者之间的曲线已较难拟合，这也反映了时序湍流预测中的一个共性问题，即迭代步的误差累积使得KNO对湍流高频特性的捕捉变得越发困难。
攻读博士期间发表学术论文情况：
1 Zuo K, Bu S, Zhang W, et al. Fast sparse flow field prediction around airfoils via multi-head perceptron based deep learning architecture J. Aerospace Science and Technology, 2022, 130: 107942.
2 Zuo K, Ye Z, Zhang W, et al. Fast aerodynamics prediction of laminar airfoils based on deep attention network J. Physics of Fluids, 2023, 35(3).
3 Zuo K, Ye Z, Bu S, et al. Fast simulation of airfoil flow field via deep neural network J. Aerospace Science and Technology, 2024, 150: 109207.
AST | 西工大左奎军、张伟伟等：深度神经网络与风雷求解器耦合建模的流场加速求解方法
4 Zuo K, Ye Z, Zhu L, et al. CycleMLP++: An efficient and flexible modeling framework for subsonic airfoils J. Expert Systems with Applications, 2025, 260: 125455.
Expert Syst. Appl | 西工大左奎军、张伟伟等：CycleMLP++: 一种高效、灵活的用于亚声速翼型的建模框架
5 Zuo K, Ye Z, Yuan X, et al. Flow3DNet: A deep learning framework for efficient simulation of three-dimensional wing flow fields J. Aerospace Science and Technology, 2025: 109991.
6 Zuo K, Yuan X, Zhang W, et al. Intelligent reconstruction method of airfoil flow field based on deep attention network C. 34th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences, ICAS, 2024.
7 Xiang J, Song S, Cao W, Zuo K, Zhang W. Physics-constrained graph neural networks for solving adjoint equations J. Acta Mechanica Sinica, 2025.
8 Zhang Q, Zuo K, Zhang W, et al. Prediction of transonic buffet aerodynamic noise using multi-expert feature fusion network J AIAA Journal, 2025.
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