2025年3月GESP真题及题解(C++八级): 上学

2025年3月GESP真题及题解(C++八级): 上学

题目描述

C 城可以视为由 n n n 个结点与 m m m 条边组成的无向图。 这些结点依次以 1 , 2 , ... , n 1, 2, \ldots, n 1,2,...,n 标号，边依次以 1 ≤ i ≤ m 1 \leq i \leq m 1≤i≤m 连接边号为 u i u_i ui 与 v i v_i vi 的结点，长度为 l i l_i li 米。

小 A 的学校坐落在 C 城的编号为 s s s 的结点。小 A 的同学们共有 q q q 位，他们想在保证不迟到的前提下，每天尽可能晚地出门上学。但同学们并不会计算从家需要多久才能到学校，于是找到了聪明的小 A。第 i i i 位同学 ( 1 ≤ i ≤ q 1 \leq i \leq q 1≤i≤q) 告诉小 A，他的家位置于编号为 h i h_i hi 的结点，并且他每秒钟能行走 1 米。请你帮小 A 计算，每位同学从家出发需要多少秒才能到达学校呢？

输入格式

第一行，四个正整数 n , m , s , q n, m, s, q n,m,s,q，分别表示 C 城的结点数与边数，学校所在的结点编号，以及小 A 同学们的数量。

接下来 m m m 行，每行三个正整数 u i , v i , l i u_i, v_i, l_i ui,vi,li，表示 C 城中的一条无向边。

接下来 q q q 行，每行一个正整数 h i h_i hi，表示一位同学的情况。

输出格式

共 q q q 行，对于每位同学，输出一个整数，表示从家出发到学校的最短时间。

输入输出样例 1

输入 1

5 5 3 3
1 2 3
2 3 2
3 4 1
4 5 3
1 4 2
5
1
4

输出 1

4
3
1

说明/提示

对于 20 % 20\% 20% 的测试点，保证 q = 1 q = 1 q=1。

对于另外 20 % 20\% 20% 的测试点，保证 1 ≤ n ≤ 500 1 \leq n \leq 500 1≤n≤500， 1 ≤ m ≤ 500 1 \leq m \leq 500 1≤m≤500。

对于所有测试点，保证 1 ≤ n ≤ 2 × 10 5 1 \leq n \leq 2 \times 10^5 1≤n≤2×105， 1 ≤ m ≤ 2 × 10 5 1 \leq m \leq 2 \times 10^5 1≤m≤2×105， 1 ≤ q ≤ 2 × 10 5 1 \leq q \leq 2 \times 10^5 1≤q≤2×105， 1 ≤ u i , v i , s , h i ≤ n 1 \leq u_i, v_i, s, h_i \leq n 1≤ui,vi,s,hi≤n， 1 ≤ l i ≤ 10 6 1 \leq l_i \leq 10^6 1≤li≤106。

题目分析

本题要求计算从学校结点 s 到每个同学家结点 h i h_i hi 的最短路径长度（单位：米）。由于行走速度为1米/秒，所以最短路径长度即为所需时间（秒）。这是一个典型的单源最短路径问题，给定无向图、正权边，需要高效处理最多2e5个结点和边的规模。

算法思路

1. 建模 ：将城市抽象为无向图，结点数 n，边数 m，每条边有长度 l i l_i li（权值）。
2. 最短路径计算 ：使用 Dijkstra 算法 （堆优化版本），从源点 s 开始计算到所有结点的最短距离。复杂度为 O((n+m) log n)，可以处理2e5的数据规模。
3. 查询处理 ：预处理出所有最短距离后，对每个查询 h i h_i hi直接输出 d i s t [ h i ] dist[h_i] dist[hi]。

注意事项

• 边权最大1e6，边数最多2e5，总距离可能超过 int 范围，需使用 long long。
• 图可能不连通，但题目未明确说明。为安全起见，初始化距离为极大值（如1e18），不可达时输出该值（但根据题意通常连通）。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 200010;       // 最大结点数
const ll INF = 1e18;           // 表示无穷大的距离

int n, m, s, q;                // 结点数、边数、学校结点、查询数
vector<pair<int, ll>> graph[MAXN]; // 邻接表
ll dist[MAXN];                 // 从学校到各点的最短距离

// Dijkstra 算法，计算从起点 start 到所有点的最短距离
void dijkstra(int start) {
    // 初始化所有距离为无穷大
    for (int i = 1; i <= n; ++i) dist[i] = INF;
    dist[start] = 0;

    // 小顶优先队列，存储 (当前距离, 结点编号)
    priority_queue<pair<ll, int>, vector<pair<ll, int>>, greater<pair<ll, int>>> pq;
    pq.push({0, start});

    while (!pq.empty()) {
        // 取出当前距离最小的结点
        ll d = pq.top().first;
        int u = pq.top().second;
        pq.pop();

        // 如果这个距离已经大于记录的距离，说明是旧数据，跳过
        if (d > dist[u]) continue;

        // 遍历所有邻接点
        for (auto &edge : graph[u]) {
            int v = edge.first;
            ll w = edge.second;
            // 如果通过 u 到 v 的距离更短，则更新
            if (dist[u] + w < dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                pq.push({dist[v], v});
            }
        }
    }
}

int main() {
    // 读入基本数据
    scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &q);

    // 读入边信息，构建无向图
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        ll l;
        scanf("%d %d %lld", &u, &v, &l);
        graph[u].push_back({v, l});
        graph[v].push_back({u, l});   // 无向边，双向添加
    }

    // 运行 Dijkstra，计算从学校到所有点的最短距离
    dijkstra(s);

    // 处理每个查询，直接输出最短距离（即时间）
    while (q--) {
        int h;
        scanf("%d", &h);
        printf("%lld\n", dist[h]);
    }

    return 0;
}

功能分析

1. 图构建：使用邻接表存储无向图，每个边记录终点和权值。
2. 最短路径计算 ：
   • 初始化距离数组 dist，源点 s 距离为0。
   • 使用优先队列（最小堆）维护当前未确定最短距离的结点，每次取出距离最小的结点进行松弛操作。
   • 对每条边进行松弛，若找到更短路径则更新距离并加入队列。
3. 查询响应：由于已预处理所有最短距离，每个查询只需 O(1) 时间输出结果。
4. 时间复杂度：Dijkstra 算法 O((n+m) log n)。
5. 空间复杂度：O(n+m)，用于存储图和距离数组。

样例验证

输入：

5 5 3 3
1 2 3
2 3 2
3 4 1
4 5 3
1 4 2
5
1
4

计算过程：

• 从结点3出发，最短距离：
  • dist[3]=0
  • dist[2]=2
  • dist[4]=1
  • dist[1]=min(3→2→1=5, 3→4→1=3)=3
  • dist[5]=min(3→4→5=4, 其他路径更长)=4
• 查询输出：
  • h=5 → 4
  • h=1 → 3
  • h=4 → 1

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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