2025年3月GESP真题及题解(C++七级): 等价消除
题目描述
小 A 有一个仅包含小写英文字母的字符串 S S S。
对于一个字符串，如果能通过每次删去其中两个相同字符的方式，将这个字符串变为空串，那么称这个字符串是可以被等价消除的。
小 A 想知道 S S S 有多少子串是可以被等价消除的。
一个字符串 S ′ S' S′ 是 S S S 的子串，当且仅当删去 S S S 的某个可以为空的前缀和某个可以为空的后缀之后，可以得到 S ′ S' S′。
输入格式
第一行，一个正整数 ∣ S ∣ |S| ∣S∣，表示字符串 S S S 的长度。
第二行，一个仅包含小写英文字母的字符串 S S S。
输出格式
一行，一个整数，表示答案。
输入输出样例 1
输入 1
7
aaaaabb输出 1
9输入输出样例 2
输入 2
9
babacabab输出 2
2说明/提示
对于 20 % 20\% 20% 的测试点，保证 S S S 中仅包含 a a a 和 b b b 两种字符。
对于另外 20 % 20\% 20% 的测试点，保证 1 ≤ ∣ S ∣ ≤ 2000 1 \leq |S| \leq 2000 1≤∣S∣≤2000。
对于所有测试点，保证 1 ≤ ∣ S ∣ ≤ 2 × 10 5 1 \leq |S| \leq 2 \times 10^5 1≤∣S∣≤2×105。
题目分析
核心思路
题目要求找出字符串 S S S 中所有可以被"等价消除"的子串。根据定义，一个字符串能被等价消除，当且仅当其中每个字符的出现次数都是偶数。
因此，问题转化为：找出 S S S 中所有子串，使得每个字符的出现次数都是偶数。
关键观察
-
奇偶性状态压缩：因为只有小写字母（26种），可以用一个 26 位的二进制数表示每个字符出现次数的奇偶性（0表示偶数次，1表示奇数次）。
-
前缀异或思想：
- 定义
prefix[i]表示前 i 个字符的奇偶性状态 - 子串
[l, r]的状态 =prefix[r] ^ prefix[l-1] - 子串满足条件 ⇔
prefix[r] ^ prefix[l-1] = 0⇔prefix[r] = prefix[l-1]
- 定义
-
转化为计数问题 ：对于每个位置 r，统计有多少个 l (0 ≤ l < r) 使得
prefix[l] = prefix[r]。 -
高效实现：使用哈希表记录每个状态出现的次数。
算法步骤
- 初始化状态为 0，表示空字符串的奇偶性（所有字符出现0次，都是偶数）
- 遍历字符串的每个字符：
- 更新当前奇偶性状态（异或对应字符的位）
- 当前状态的出现次数 = 该状态之前出现的次数
- 这些次数就是新增的满足条件的子串数量
- 更新该状态的计数
- 累加所有满足条件的子串数量
时间复杂度
- O(n)，其中 n 是字符串长度
- 使用哈希表实现状态计数的 O(1) 访问
空间复杂度
- O(min(n, 2²⁶))，最多存储 n+1 个不同的状态
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n;
string s;
cin >> n >> s;
// 状态压缩：用int的低26位表示26个字母的奇偶性
int state = 0; // 当前前缀的奇偶性状态
// 哈希表：记录每个状态出现的次数
unordered_map<int, long long> cnt;
cnt[0] = 1; // 空前缀的状态出现1次
long long ans = 0; // 结果可能很大，用long long
// 遍历字符串
for (char c : s) {
// 更新状态：异或对应字符的位
int bit = c - 'a';
state ^= (1 << bit);
// 当前状态之前出现的次数 = 新增的满足条件的子串数
ans += cnt[state];
// 更新该状态的计数
cnt[state]++;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}功能分析
核心功能
- 状态表示：使用整数的二进制位表示26个字母的奇偶性
- 前缀计算：通过异或运算高效更新状态
- 计数统计：使用哈希表记录状态出现次数
- 子串计数：通过状态匹配计算满足条件的子串数
正确性证明
- 必要性：如果子串能被等价消除，则每个字符出现偶数次，所以子串状态为0
- 充分性：如果子串状态为0，可以通过配对删除所有字符
- 计数正确 ：
prefix[r] = prefix[l]等价于子串[l+1, r]状态为0
示例分析
示例1：
输入：7
aaaaabb
处理过程：
位置0: state=0, cnt[0]=1, ans+=1 → ans=1, cnt[0]=2
位置1: state=1(a), cnt[1]=0, ans+=0 → ans=1, cnt[1]=1
位置2: state=0, cnt[0]=2, ans+=2 → ans=3, cnt[0]=3
位置3: state=1, cnt[1]=1, ans+=1 → ans=4, cnt[1]=2
位置4: state=0, cnt[0]=3, ans+=3 → ans=7, cnt[0]=4
位置5: state=3(a,b), cnt[3]=0, ans+=0 → ans=7, cnt[3]=1
位置6: state=1, cnt[1]=2, ans+=2 → ans=9, cnt[1]=3
输出：9示例2：
输入：9
babacabab
处理过程类似，最终输出2各种学习资料，助力大家一站式学习和提升！！！
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
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· 文末祝福 ·
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<" 成就更好的自己！ ";
cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}