蓝桥java求最大公约数

一. 什么是最大公约数（GCD）

最大公约数（Greatest Common Divisor）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。例如：

12 和 18 的公约数有 1, 2, 3, 6，其中最大的是 6
所以 gcd(12, 18) = 6

二. 方法一：辗转相除法（欧几里得算法）

1.这是最经典的求最大公约数的方法，基于以下原理：

两个数的最大公约数等于较大数除以较小数的余数 和较小数的最大公约数

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

其中 a % b 表示 a 除以 b 的余数。

2.举个例子：

求 gcd(12, 18)

gcd(12, 18) = gcd(18, 12) // 先确保第一个数大
18 ÷ 12 = 1 余 6
gcd(18, 12) = gcd(12, 6) // 应用公式
12 ÷ 6 = 2 余 0
gcd(12, 6) = gcd(6, 0)
当第二个数为0时，第一个数就是答案：6

三.现在看代码的详细解释

方法1.1：循环实现

java 复制代码

public static int gcd1(int a, int b) {
    // 确保a >= b
    if (a < b) {
        int temp = a;  // 临时变量保存a的值
        a = b;         // 把b的值赋给a
        b = temp;      // 把原来a的值赋给b
    }
    // 执行到这里，a一定是较大的数，b是较小的数
    
    // 辗转相除
    while (b != 0) {           // 当b不等于0时继续循环
        int remainder = a % b; // 求a除以b的余数
        a = b;                 // 把b的值赋给a
        b = remainder;         // 把余数赋给b
    }
    return a;                  // 当b=0时，a就是最大公约数
}

用例子走一遍：计算 gcd1(12, 18)

输入 a=12, b=18
因为 12 < 18，交换：a=18, b=12
进入while循环：
- 第一次循环：b=12≠0
  - remainder = 18 % 12 = 6
  - a = 12
  - b = 6
- 第二次循环：b=6≠0
  - remainder = 12 % 6 = 0
  - a = 6
  - b = 0
- 第三次：b=0，退出循环
返回 a=6

方法1.2：递归实现

java 复制代码

public static int gcd2(int a, int b) {
    if (b == 0) {          // 终止条件：当b=0时
        return a;          // a就是最大公约数
    }
    return gcd2(b, a % b); // 递归调用：用(b, a%b)继续计算
}

递归的思考方式：

把大问题分解成小问题
每次递归都让问题变小一点
直到遇到最简单的情况（b=0）

用例子走一遍：计算 gcd2(12, 18)

第一次调用：gcd2(12, 18)
- b=18≠0，不返回a
- 调用 gcd2(18, 12%18) 即 gcd2(18, 12)
第二次调用：gcd2(18, 12)
- b=12≠0
- 调用 gcd2(12, 18%12) 即 gcd2(12, 6)
第三次调用：gcd2(12, 6)
- b=6≠0
- 调用 gcd2(6, 12%6) 即 gcd2(6, 0)
第四次调用：gcd2(6, 0)
- b=0 ✓
- 返回 a=6
结果层层返回：6 ← 6 ← 6 ← 6

四.再看测试代码

java 复制代码

public static void main(String[] args) {
    int a = 12;
    int b = 18;
    
    // 测试两种方法
    System.out.println("gcd1(" + a + ", " + b + ") = " + gcd1(a, b));
    System.out.println("gcd2(" + a + ", " + b + ") = " + gcd2(a, b));
    
    // 更多测试
    System.out.println("\n更多测试：");
    System.out.println("gcd(24, 36) = " + gcd2(24, 36));  // 应该是12
    System.out.println("gcd(17, 13) = " + gcd2(17, 13));  // 两个质数，应该是1
    System.out.println("gcd(100, 0) = " + gcd2(100, 0));  // 一个数为0，应该是100
}

理解：

辗转相除法就像"以大换小"的游戏：

用大数除以小数，得到余数
原来的小数变成新的"大数"
余数变成新的"小数"
重复直到余数为0
最后的小数就是答案

用 gcd(12, 18) 来说：

开始：大=18, 小=12

18 ÷ 12 = 1 余 6 → 新大=12, 新小=6

12 ÷ 6 = 2 余 0 → 余数为0，停止

答案就是最后的小数：6