树的基本结构

树的概念及结构

1.1 树的概念

树 （Tree）是一种非线性的数据结构 ，它是由 n （（（ n \\geq 0 ）个有限结点组成的一个具有层次关系的集合。

• 把它叫做"树"，是因为其结构形似一棵倒挂的树 ：根朝上，叶朝下。
• 根结点 （Root）：树中一个特殊的结点，没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 每棵子树的根结点有且只有一个前驱 （即父结点），但可以有 0 个或多个后继（即子结点）。

树是递归定义的 。

注意：树形结构中，任意两棵子树之间不能有交集，否则就不是树。

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1.2 树的相关概念

术语	定义	示例（假设图中根为 A）
结点的度	一个结点所含子树的个数	A 的度为 6
叶结点 / 终端结点	度为 0 的结点	B、C、H、I 等
非终端结点 / 分支结点	度不为 0 的结点	D、E、F、G 等
父结点 / 双亲结点	若结点 X 有子结点 Y，则 X 是 Y 的父结点	A 是 B 的父结点
子结点 / 孩子结点	若结点 X 有子树，其根即为 X 的子结点	B 是 A 的孩子结点
兄弟结点	具有相同父结点的结点互为兄弟	B 和 C 是兄弟结点
树的度	树中所有结点的度的最大值	树的度为 6
结点的层次	从根开始定义：根为第 1 层 ，其子为第 2 层，依此类推	A:1层，B/C:2层，......
树的高度 / 深度	树中结点的最大层次数	高度为 4
堂兄弟结点	父结点在同一层的结点互为堂兄弟	H 和 I 的父结点（如 E 和 F）若在同一层，则 H 与 I 为堂兄弟
祖先	从根到该结点路径上的所有结点	A 是所有结点的祖先
子孙	以某结点为根的子树中的所有结点	所有结点都是 A 的子孙
森林	由 m （（（ m \> 0 ）棵互不相交的树组成的集合	多棵树 ⇒ 森林

注：

• "堂兄弟"强调的是父结点处于同一层，而非是否相邻；
• 森林可看作是"去掉了根结点的树"------一棵树去掉根后，其各子树构成森林。
• 树的度与离散数学中图的度有一定区别

1.3 树的表示

树结构比线性表更复杂，不仅要存储结点的数据（值域） ，还要保存结点之间的层次与关联关系 。

因此，树有多种存储表示方法，常见的包括：

• 双亲表示法：每个结点记录其父结点的位置；
• 孩子表示法：每个结点记录其所有子结点；
• 孩子双亲表示法：同时记录父结点和子结点；
• 孩子兄弟表示法 （二叉树表示法）：每个结点只记录第一个孩子 和下一个兄弟。

在实际应用中，孩子兄弟表示法最为常用，尤其在将普通树转化为二叉树进行处理时非常高效。

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孩子兄弟表示法（Left-Child Right-Sibling Representation）

核心思想：

将任意一棵树 转换为二叉树形式表示：

• 每个结点有两个指针：
  • firstChild（或 left）：指向第一个孩子；
  • nextSibling（或 right）：指向紧邻的下一个兄弟。

结点结构定义（C语言示例）：

typedef int DataType;

typedef struct TreeNode {
    DataType data;               // 结点数据
    struct TreeNode* firstChild; // 指向第一个孩子
    struct TreeNode* nextBrother; // 指向下一个兄弟
} TreeNode;

如图，使用孩子指针储存子节点，兄弟指针储存同级节点，实现树状存储。

二叉树概念及结构

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树 （Binary Tree）是结点的一个有限集合，该集合满足以下两个条件之一：

1. 空集合（即空树）；
2. 由一个根结点 （root），其中：
   • 左子树和右子树本身也是二叉树；
   • 左、右子树有严格顺序之分 ，即使某子树为空，其位置仍有意义。
     

关键特性：

• 每个结点最多有两个子结点；
• 子结点分为左孩子 （left child）和右孩子 （right child），顺序不可交换 。
  （例如：左子树为空、右子树非空 ≠ 右子树为空、左子树非空）

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2.3 特殊的二叉树

1. 满二叉树（Full Binary Tree / Perfect Binary Tree）

• 定义 ：一棵深度为 K 的二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，则称为满二叉树。

• 第 i 层最多有 2^(i-1) 个结点（根为第 1 层）；

• 深度为 K 的满二叉树的总结点数为：

  n = 2^K - 1

• 特点：

  • 所有叶子结点都在最底层；
  • 除叶子外，每个非叶结点都有两个孩子；
  • 结构完全对称、紧凑。

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2. 完全二叉树（Complete Binary Tree）

• 定义 ：对于深度为k节点数数是 n个结点的二叉树，若其每个结点的位置都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 到 n 的结点一一对应，则称为完全二叉树。

  • 编号按层序遍历（从上到下、从左到右）进行。

• 直观理解：

  • 除最后一层外，其他层都是满的；
  • 最后一层的结点全部靠左排列，不能有"空洞"。

• 关键性质：

  • 叶子结点只可能出现在最后两层；
  • 若存在度为 1 的结点，则只能有一个 ，且是左孩子；
  • 满二叉树是完全二叉树的特例（当 n = 2^K - 1 时）。

• 为什么重要？

  • 完全二叉树可以高效地用数组存储（无空间浪费）；
  • 是堆（Heap）等高效数据结构的基础；
  • 支持 O(1) 时间通过下标计算父子关系。

满二叉树 vs 完全二叉树 对比

特性	满二叉树	完全二叉树
是否每层都满？	是	最后一层可不满
最后一层是否靠左？	---（已满）	必须靠左
是否一定是完全二叉树？	是	不一定（如右偏树就不是）
能否用数组高效存储？	能	能（且更通用）

2.5 二叉树的存储结构

二叉树的存储方式主要有两种：顺序存储 和 链式存储。它们各有适用场景和优缺点。

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1. 顺序存储（数组实现）

• 实现方式 ：使用数组 按层序遍历的顺序存储结点。
• 适用条件 ：仅适合完全二叉树 （或接近完全的二叉树）。
  • 原因：非完全二叉树在数组中会产生大量空洞 （用无效值如 null 填充），造成空间浪费。
• 父子关系通过下标计算 （根结点位于下标 0）：
  • 父结点：parent = (i - 1) / 2
  • 左孩子：left = 2 * i + 1
  • 右孩子：right = 2 * i + 2
    

对于非完全二叉树，也可以使用数组顺序储存，但是需要补齐空的子节点，会造成大量空间浪费

典型应用 ：堆 （Heap）------因其本质是完全二叉树，故广泛采用数组顺序存储。
一般二叉树不推荐使用顺序存储。

• 特点 ：
  • 物理结构：连续的数组；
  • 逻辑结构：仍是一棵二叉树；
  • 优点：空间紧凑（对完全二叉树）、缓存友好、支持 O(1) 随机访问；
  • 缺点：对普通二叉树空间效率极低。

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2. 链式存储（指针/引用实现）

• 实现方式 ：使用链表结构 ，每个结点包含：
  • 数据域（存储结点值）；
  • 左指针域（指向左孩子）；
  • 右指针域（指向右孩子）。

typedef struct BinaryTreeNode {
    DataType data;
    struct BinaryTreeNode* left;   // 指向左子树
    struct BinaryTreeNode* right;  // 指向右子树
} BTNode;

优点：结构简单，适用于绝大多数二叉树操作（遍历、构建、删除等）；

应用场景：二叉搜索树（BST）、普通二叉树、表达式树等。