2026-01-05期末复习-计算机图形学计算题

计算题试题

分辨率 1024×7681024\times 7681024×768，总像素数先算清楚：

1024×768=786,4321024\times 768 = 786{,}4321024×768=786,432 个像素。

可显示色彩 102410241024 色 ⇒ 每个像素需要的位数是
log⁡2(1024)=10\log_2(1024)=10log2(1024)=10 bit/像素（因为 1024=2101024=2^{10}1024=210）。

所以帧缓冲大小：

总比特数 ：786,432×10=7,864,320786{,}432 \times 10 = 7{,}864{,}320786,432×10=7,864,320 bit
换算成字节 ：7,864,320/8=983,0407{,}864{,}320 / 8 = 983{,}0407,864,320/8=983,040 Byte
换算成 KiB / MiB ：
983,040/1024=960983{,}040 / 1024 = 960983,040/1024=960 KiB
960/1024=0.9375960 / 1024 = 0.9375960/1024=0.9375 MiB

答案：帧缓冲至少需要 983,040 B = 960 KiB ≈ 0.94 MiB。

（现实硬件里通常会按 16 bit/像素对齐存储，那就会更大，但题目按理论最小值就是上面这个。）

该问题可视为绕点 (2,6)(2,6)(2,6) 的非均匀缩放变换。该变换可通过平移与缩放的复合实现，即先将该点平移至原点，执行缩放变换，再将坐标系平移回原位置。

相应的齐次坐标变换矩阵可表示为

M=T(2,6) S T(−2,−6), M = T(2,6)\, S \, T(-2,-6), M=T(2,6)ST(−2,−6),

其中

T(−2,−6)=[10−201−6001],S=[20000.20001],T(2,6)=[102016001]. T(-2,-6)= \begin{bmatrix} 1&0&-2\\ 0&1&-6\\ 0&0&1 \end{bmatrix},\quad S= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&0.2&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix},\quad T(2,6)= \begin{bmatrix} 1&0&2\\ 0&1&6\\ 0&0&1 \end{bmatrix}. T(−2,−6)= 100010−2−61 ,S= 20000.20001 ,T(2,6)= 100010261 .

为快速得到等效单矩阵，可利用二维仿射变换在齐次坐标下的分块形式

Mi=[Aiti01], M_i= \begin{bmatrix} A_i & \mathbf t_i\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, Mi=[Ai0ti1],

其中 Ai∈R2×2A_i\in\mathbb R^{2\times2}Ai∈R2×2 为线性部分，ti∈R2\mathbf t_i\in\mathbb R^{2}ti∈R2 为平移部分。由分块矩阵乘法可得复合规则

A3t301\]\[A2t201\]\[A1t101\]=\[A3t301\]\[A2A1A2t1+t201\]=\[A3A2A1A3A2t1+A3t2+t301\]. \\begin{aligned} \\begin{bmatrix} A_3 \& \\mathbf t_3\\\\ 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} A_2 \& \\mathbf t_2\\\\ 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} A_1 \& \\mathbf t_1\\\\ 0 \& 1 \\end{bmatrix} \&= \\begin{bmatrix} A_3 \& \\mathbf t_3\\\\ 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} A_2A_1 \& A_2\\mathbf t_1+\\mathbf t_2\\\\ 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\\\ \&= \\begin{bmatrix} A_3A_2A_1 \& A_3A_2\\mathbf t_1 + A_3\\mathbf t_2 + \\mathbf t_3\\\\ 0 \& 1 \\end{bmatrix}. \\end{aligned} \[A30t31\]\[A20t21\]\[A10t11\]=\[A30t31\]\[A2A10A2t1+t21\]=\[A3A2A10A3A2t1+A3t2+t31\]. 将 T(2,6)T(2,6)T(2,6)、SSS、T(−2,−6)T(-2,-6)T(−2,−6) 分别写成分块形式，有 T(2,6): A1=I, t1=\[26\],S: A2=\[2000.2\], t2=0,T(−2,−6): A3=I, t3=\[−2−6\]. T(2,6):\\ A_1=I,\\ \\mathbf t_1=\\begin{bmatrix}2\\\\6\\end{bmatrix},\\qquad S:\\ A_2=\\begin{bmatrix}2\&0\\\\0\&0.2\\end{bmatrix},\\ \\mathbf t_2=\\mathbf 0,\\qquad T(-2,-6):\\ A_3=I,\\ \\mathbf t_3=\\begin{bmatrix}-2\\\\-6\\end{bmatrix}. T(2,6): A1=I, t1=\[26\],S: A2=\[2000.2\], t2=0,T(−2,−6): A3=I, t3=\[−2−6\]. 因此总体线性部分为 A=A1A2A3=I⋅\[2000.2\]⋅I=\[2000.2\], A=A_1A_2A_3 = I\\cdot \\begin{bmatrix}2\&0\\\\0\&0.2\\end{bmatrix}\\cdot I = \\begin{bmatrix}2\&0\\\\0\&0.2\\end{bmatrix}, A=A1A2A3=I⋅\[2000.2\]⋅I=\[2000.2\], 总体平移部分为 t=A1A2t3+A1t2+t1=\[2000.2\]\[−2−6\]+\[26\]=\[−4−1.2\]+\[26\]=\[−24.8\]. \\mathbf t = A_1A_2\\mathbf t_3 + A_1\\mathbf t_2 + \\mathbf t_1 = \\begin{bmatrix}2\&0\\\\0\&0.2\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}-2\\\\-6\\end{bmatrix} +\\begin{bmatrix}2\\\\6\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}-4\\\\-1.2\\end{bmatrix} +\\begin{bmatrix}2\\\\6\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}-2\\\\4.8\\end{bmatrix}. t=A1A2t3+A1t2+t1=\[2000.2\]\[−2−6\]+\[26\]=\[−4−1.2\]+\[26\]=\[−24.8\]. 从而得到等效单矩阵 M=\[At01\]=\[20−200.24.8001\]. M= \\begin{bmatrix} A \& \\mathbf t\\\\ 0 \& 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2\&0\&-2\\\\ 0\&0.2\&4.8\\\\ 0\&0\&1 \\end{bmatrix}. M=\[A0t1\]= 20000.20−24.81 . 上述结果采用的是列向量表示下的左乘矩阵形式，即点坐标表示为列向量，几何变换通过矩阵左乘实现。在该表示下，复合变换的顺序与矩阵乘法顺序相反。若采用行向量表示，则变换矩阵需置于坐标向量右侧，相应的复合顺序与几何变换顺序一致，此时矩阵形式可由左乘矩阵取转置得到，两种表示方式在几何效果上是等价的。 *** ** * ** *** ![1767863801550.png](https://i-blog.csdnimg.cn/img_convert/236627d8ade5a43dfabc685bd822215d.png) 先将旋转中心平移至原点，执行逆时针旋转 π/4\\pi/4π/4，再将坐标系平移回原位置。 相应的齐次坐标变换矩阵可表示为 M=T(3,2) R(π/4) T(−3,−2), M = T(3,2)\\, R(\\pi/4)\\, T(-3,-2), M=T(3,2)R(π/4)T(−3,−2), 其中 T(−3,−2)=\[10−301−2001\],R(π/4)=\[cos⁡π4−sin⁡π40sin⁡π4cos⁡π40001\],T(3,2)=\[103012001\]. T(-3,-2)= \\begin{bmatrix} 1\&0\&-3\\\\ 0\&1\&-2\\\\ 0\&0\&1 \\end{bmatrix},\\quad R(\\pi/4)= \\begin{bmatrix} \\cos\\frac{\\pi}{4}\&-\\sin\\frac{\\pi}{4}\&0\\\\ \\sin\\frac{\\pi}{4}\&\\cos\\frac{\\pi}{4}\&0\\\\ 0\&0\&1 \\end{bmatrix},\\quad T(3,2)= \\begin{bmatrix} 1\&0\&3\\\\ 0\&1\&2\\\\ 0\&0\&1 \\end{bmatrix}. T(−3,−2)= 100010−3−21 ,R(π/4)= cos4πsin4π0−sin4πcos4π0001 ,T(3,2)= 100010321 . 代入 cos⁡π4=sin⁡π4=22\\cos\\frac{\\pi}{4}=\\sin\\frac{\\pi}{4}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}cos4π=sin4π=22 ，并对上述矩阵进行乘法运算，可得最终的复合变换矩阵 M=\[22−223−2222222−522001\]. M= \\begin{bmatrix} \\frac{\\sqrt{2}}{2} \& -\\frac{\\sqrt{2}}{2} \& 3-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\[4pt\] \\frac{\\sqrt{2}}{2} \& \\frac{\\sqrt{2}}{2} \& 2-\\frac{5\\sqrt{2}}{2}\\\\\[4pt\] 0\&0\&1 \\end{bmatrix}. M= 22 22 0−22 22 03−22 2−252 1 . 该矩阵实现了以点 (3,2)(3,2)(3,2) 为不动点的逆时针 π/4\\pi/4π/4 旋转变换。 ![1767864803525.png](https://i-blog.csdnimg.cn/img_convert/7cd65f5f27e329dc1009d1fc248a6264.png) ![1767864848497.png](https://i-blog.csdnimg.cn/img_convert/36cc038422bfc4418ecd3e21719b9c60.png) 假设从种子设置为(5,4) 取种子点 s=(5,4)\\mathbf{s}=(5,4)s=(5,4)。算法以栈 SSS 维护待处理像素：初始化 S=\[(5,4)\]S=\[(5,4)\]S=\[(5,4)\]；每轮从栈顶弹出像素 p\\mathbf{p}p，将其着色，并按"右、上、左、下"依次检查四邻域像素 q\\mathbf{q}q。若 q∉B\\mathbf{q}\\notin \\mathcal{B}q∈/B 且尚未着色（并且未在栈内），则将 q\\mathbf{q}q 入栈。栈空时算法终止。由此可得到从 (5,4)(5,4)(5,4) 出发、在四连通意义下与之连通且不跨越边界 B\\mathcal{B}B 的所有内部像素被依次填充。 为记录"试填写堆栈的变化过程"，下面给出每次**出栈并完成邻域检查后的栈内容**（表示为"左底、右顶"）以及该步出栈像素： * 初始：S=\[(5,4)\]S=\[(5,4)\]S=\[(5,4)

出栈 (5,4)(5,4)(5,4)，入栈 (5,5)(5,5)(5,5)；S=[(5,5)]S=[(5,5)]S=[(5,5)]
出栈 (5,5)(5,5)(5,5)，依序入栈 (6,5),(5,6),(4,5)(6,5),(5,6),(4,5)(6,5),(5,6),(4,5)；S=[(6,5),(5,6),(4,5)]S=[(6,5),(5,6),(4,5)]S=[(6,5),(5,6),(4,5)]
出栈 (4,5)(4,5)(4,5)，入栈 (4,6),(3,5)(4,6),(3,5)(4,6),(3,5)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,5)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,5)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,5)]
出栈 (3,5)(3,5)(3,5)，入栈 (3,6),(3,4)(3,6),(3,4)(3,6),(3,4)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(3,4)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(3,4)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(3,4)]
出栈 (3,4)(3,4)(3,4)，入栈 (3,3)(3,3)(3,3)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(3,3)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(3,3)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(3,3)]
出栈 (3,3)(3,3)(3,3)，入栈 (3,2)(3,2)(3,2)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(3,2)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(3,2)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(3,2)]
出栈 (3,2)(3,2)(3,2)，入栈 (4,2)(4,2)(4,2)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(4,2)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(4,2)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(4,2)]
出栈 (4,2)(4,2)(4,2)，入栈 (5,2)(5,2)(5,2)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(5,2)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(5,2)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(5,2)]
出栈 (5,2)(5,2)(5,2)，入栈 (6,2)(6,2)(6,2)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(6,2)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(6,2)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(6,2)]
出栈 (6,2)(6,2)(6,2)，入栈 (6,3)(6,3)(6,3)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(6,3)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(6,3)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(6,3)]
出栈 (6,3)(6,3)(6,3)，入栈 (7,3)(7,3)(7,3)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(7,3)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(7,3)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(7,3)]
出栈 (7,3)(7,3)(7,3)，依序入栈 (8,3),(7,4)(8,3),(7,4)(8,3),(7,4)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(8,3),(7,4)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(8,3),(7,4)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(8,3),(7,4)]
出栈 (7,4)(7,4)(7,4)，入栈 (7,5)(7,5)(7,5)；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(8,3),(7,5)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(8,3),(7,5)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(8,3),(7,5)]
出栈 (7,5)(7,5)(7,5)，无新入栈；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(8,3)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(8,3)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6),(8,3)]
出栈 (8,3)(8,3)(8,3)，无新入栈；S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6)]S=[(6,5),(5,6),(4,6),(3,6)]
出栈 (3,6)(3,6)(3,6)，无新入栈；S=[(6,5),(5,6),(4,6)]S=[(6,5),(5,6),(4,6)]S=[(6,5),(5,6),(4,6)]
出栈 (4,6)(4,6)(4,6)，无新入栈；S=[(6,5),(5,6)]S=[(6,5),(5,6)]S=[(6,5),(5,6)]
出栈 (5,6)(5,6)(5,6)，入栈 (6,6)(6,6)(6,6)；S=[(6,5),(6,6)]S=[(6,5),(6,6)]S=[(6,5),(6,6)]
出栈 (6,6)(6,6)(6,6)，无新入栈；S=[(6,5)]S=[(6,5)]S=[(6,5)]
出栈 (6,5)(6,5)(6,5)，无新入栈；S=[]S=[]S=[]（终止）

由上述过程可见，填充在有限步内终止（栈为空），并覆盖了所有与种子点 (5,4)(5,4)(5,4) 四连通可达且不穿越边界 B\mathcal{B}B 的内部像素。若实现中允许重复入栈（仅在出栈时判"是否已填充"），则最终填充区域不变，但堆栈序列会出现冗余项，记录表也会更长,可以采用扫描线种子填充算法解决这个问题

该多边形为三角形，其顶点可由图读出为

V1(1,1),V2(1,3),V3(3,2). V_1(1,1),\quad V_2(1,3),\quad V_3(3,2). V1(1,1),V2(1,3),V3(3,2).

采用扫描线填充的 ET/AET 构造约定：忽略水平边；每条边在 ET 中以 (ymax⁡,xymin⁡,Δx/Δy)(y_{\max},x_{y_{\min}},\Delta x/\Delta y)(ymax,xymin,Δx/Δy) 记录，并按 ymin⁡y_{\min}ymin 归入对应桶；AET 在每条扫描线 yyy 处先删除满足 y=ymax⁡y=y_{\max}y=ymax 的边，再插入 ET[y]，并按当前交点 xxx 升序维护；处理完该扫描线后令 x←x+Δx/Δyx\leftarrow x+\Delta x/\Delta yx←x+Δx/Δy 以用于下一条扫描线。

三条边分别为：

e12:(1,1)→(1,3)e_{12}: (1,1)\to(1,3)e12:(1,1)→(1,3)，ymin⁡=1,ymax⁡=3y_{\min}=1,y_{\max}=3ymin=1,ymax=3，xymin⁡=1x_{y_{\min}}=1xymin=1，Δx/Δy=0\Delta x/\Delta y=0Δx/Δy=0；
e23:(3,2)→(1,3)e_{23}: (3,2)\to(1,3)e23:(3,2)→(1,3)，ymin⁡=2,ymax⁡=3y_{\min}=2,y_{\max}=3ymin=2,ymax=3，xymin⁡=3x_{y_{\min}}=3xymin=3，Δx/Δy=−2\Delta x/\Delta y=-2Δx/Δy=−2；
e31:(1,1)→(3,2)e_{31}: (1,1)\to(3,2)e31:(1,1)→(3,2)，ymin⁡=1,ymax⁡=2y_{\min}=1,y_{\max}=2ymin=1,ymax=2，xymin⁡=1x_{y_{\min}}=1xymin=1，Δx/Δy=2\Delta x/\Delta y=2Δx/Δy=2。

因此边表 ET（按桶 y=ymin⁡y=y_{\min}y=ymin）为：

ET[1]: {(ymax⁡=3, x=1, Δx/Δy=0), (ymax⁡=2, x=1, Δx/Δy=2)}\mathrm{ET}[1]:\ \{(y_{\max}=3,\ x=1,\ \Delta x/\Delta y=0),\ (y_{\max}=2,\ x=1,\ \Delta x/\Delta y=2)\}ET[1]: {(ymax=3, x=1, Δx/Δy=0), (ymax=2, x=1, Δx/Δy=2)}
ET[2]: {(ymax⁡=3, x=3, Δx/Δy=−2)}\mathrm{ET}[2]:\ \{(y_{\max}=3,\ x=3,\ \Delta x/\Delta y=-2)\}ET[2]: {(ymax=3, x=3, Δx/Δy=−2)}
ET[3]: ∅\mathrm{ET}[3]:\ \varnothingET[3]: ∅

活动边表 AET 的演化（给出每条扫描线开始时的 AET，及该线结束后的 xxx 更新结果）如下：

扫描线 y=1y=1y=1：插入 ET[1]\mathrm{ET}[1]ET[1]，
AET(y=1)=[(3,1,0),(2,1,2)] \mathrm{AET}(y{=}1)=\big[(3,1,0),(2,1,2)\big] AET(y=1)=[(3,1,0),(2,1,2)]
更新到下一线（y=2y=2y=2）的交点：x:1→1x:1\to1x:1→1（第一条），x:1→3x:1\to3x:1→3（第二条）。
扫描线 y=2y=2y=2：先删除 ymax⁡=2y_{\max}=2ymax=2 的边（即 (2,3,2)(2,3,2)(2,3,2) 对应那条），再插入 ET[2]\mathrm{ET}[2]ET[2]，
AET(y=2)=[(3,1,0),(3,3,−2)] \mathrm{AET}(y{=}2)=\big[(3,1,0),(3,3,-2)\big] AET(y=2)=[(3,1,0),(3,3,−2)]
更新到下一线（y=3y=3y=3）的交点：x:1→1x:1\to1x:1→1，x:3→1x:3\to1x:3→1。
扫描线 y=3y=3y=3：删除 ymax⁡=3y_{\max}=3ymax=3 的边后 AET=∅\mathrm{AET}=\varnothingAET=∅，算法结束。