2024年6月GESP真题及题解(C++七级): 黑白翻转
题目描述
小杨有一棵包含 n n n 个节点的树，这棵树上的任意一个节点要么是白色，要么是黑色。小杨认为一棵树是美丽树当且仅当在删除所有白色节点之后，剩余节点仍然组成一棵树。
小杨每次操作可以选择一个白色节点将它的颜色变为黑色，他想知道自己最少要执行多少次操作可以使得这棵树变为美丽树。
输入格式
第一行包含一个正整数 n n n，代表树的节点数。
第二行包含 n n n 个非负整数 a 1 , a 2 , ... , a n a_1,a_2,\ldots,a_n a1,a2,...,an，其中如果 a i = 0 a_i=0 ai=0，则节点 i i i 的颜色为白色，否则为黑色。
之后 n − 1 n-1 n−1 行，每行包含两个正整数 x i , y i x_i,y_i xi,yi，代表存在一条连接节点 x i x_i xi 和 y i y_i yi 的边。
输出格式
输出一个整数，代表最少执行的操作次数。
输入输出样例 1
输入 1
5
0 1 0 1 0
1 2
1 3
3 4
3 5输出 1
2说明/提示
样例解释
将节点 1 1 1 和 3 3 3 变为黑色即可使这棵树变为美丽树，此时删除白色节点 5 5 5，剩余黑色节点仍然组成一棵树。
数据范围
| 子任务编号 | 数据点占比 | n n n | a i a_i ai | 特殊条件 |
|---|---|---|---|---|
| 1 1 1 | 30 % 30\% 30% | ≤ 10 5 \leq 10^5 ≤105 | 0 ≤ a i ≤ 1 0\leq a_i\leq 1 0≤ai≤1 | 树的形态为一条链 |
| 2 2 2 | 30 % 30\% 30% | ≤ 10 5 \leq 10^5 ≤105 | 0 ≤ a i ≤ 1 0\leq a_i\leq 1 0≤ai≤1 | 只有两个节点颜色为黑色 |
| 3 3 3 | 40 % 40\% 40% | ≤ 10 5 \leq 10^5 ≤105 | 0 ≤ a i ≤ 1 0\leq a_i\leq 1 0≤ai≤1 |
对于全部数据，保证有 1 ≤ n ≤ 10 5 1\leq n\leq 10^5 1≤n≤105， 0 ≤ a i ≤ 1 0\leq a_i\leq 1 0≤ai≤1。
思路分析
算法思路
- 问题转化：美丽树要求删除所有白色节点后，剩余黑色节点仍构成一棵树，即所有黑色节点必须连通。通过将白色节点变为黑色来连接黑色节点，需要找到最少的白色节点数，使得所有黑色节点连通。
- 核心观察：从任意一个黑色节点（如第一个黑色节点）作为根进行DFS，计算每个节点的子树中黑色节点的数量。若一个节点的子树中包含黑色节点，则该节点必须保留（如果是白色则需要变为黑色），否则删除该节点不会影响黑色节点的连通性。
- 计算最少操作：统计所有子树中包含黑色节点的节点数，减去初始黑色节点数，即为需要将白色变为黑色的节点数（最少操作次数）。
代码流程
- 初始化：读入节点颜色，记录黑色节点数并选择第一个黑色节点作为根。
- 建图：读入边，构建无向树。
- DFS计算 ：从根节点开始DFS，后序遍历累加子树中黑色节点数到父节点，使
vis[i]最终表示以i为根的子树中黑色节点的总数。 - 统计结果 ：遍历所有节点，若
vis[i] > 0则说明该节点的子树中有黑色节点，计数一次。最终ans为所有此类节点数，减去初始黑色节点数num1，得到需要操作的白色节点数。
时间复杂度
- DFS遍历所有节点和边，时间复杂度为O(n)。
- 空间复杂度为O(n)，用于存储树和图。
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200010; // 定义最大节点数，开两倍以防无向边存储
int n, a, b, ans, num, root; // n:节点数，a,b:临时边变量，ans:统计结果，num1:黑色节点数量，root:选定的根节点（第一个黑色节点）
int vis[N]; // vis[i]：初始表示节点i的颜色（黑色为1，白色为0），DFS后表示以i为根的子树中黑色节点的总数
vector<int> e[N]; // 邻接表存储树的边
// 深度优先搜索，计算每个节点的子树中黑色节点数量
// u: 当前节点，f: 父节点
void dfs(int u, int f) {
// 遍历当前节点的所有邻居
for (int v : e[u]) {
if (v == f) continue; // 跳过父节点，避免回环
dfs(v, u); // 递归处理子节点
vis[u] += vis[v]; // 将子节点的黑色节点数累加到当前节点
}
return;
}
int main() {
// 读入节点数
scanf("%d", &n);
int c;
// 读入每个节点的颜色，并初始化vis数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &c);
if (c == 1) { // 如果节点是黑色
vis[i] = 1; // 标记该节点为黑色（计数1）
num++; // 黑色节点计数加一
if (num == 1) root = i; // 记录第一个黑色节点作为根节点
}
// 白色节点vis[i]保持为0
}
// 读入n-1条边，构建树的无向图
for (int i = 1; i < n; i++) {
scanf("%d%d", &a, &b);
e[a].push_back(b);
e[b].push_back(a);
}
// 从根节点（第一个黑色节点）开始DFS，计算每个节点的子树中黑色节点数量
dfs(root, 0);
// 统计所有子树中包含黑色节点的节点数（即vis[i] > 0的节点）
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans += bool(vis[i]); // 如果vis[i] > 0则加1，否则加0
// 输出最少操作次数：需要变黑的白色节点数 = 包含黑色节点的节点数 - 初始黑色节点数
printf("%d\n", ans - num);
return 0;
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
}