2024年6月GESP真题及题解(C++八级): 最远点对
题目描述
小杨有一棵包含 n n n 个节点的树，这棵树上的任意一个节点要么是白色，要么是黑色。
小杨想知道相距最远的一对不同颜色节点的距离是多少。
输入格式
第一行包含一个正整数 n n n，代表树的节点数。
第二行包含 n n n 个非负整数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,⋯,an（对于所有的 1 ≤ i ≤ n 1\le i\le n 1≤i≤n，均有 a i a_i ai 等于 0 0 0 或 1 1 1），其中如果 a i = 0 a_i=0 ai=0，则节点 i i i 的颜色为白色；如果 a i = 1 a_i=1 ai=1，则节点 i i i 的颜色为黑色。
之后 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 行，每行包含两个正整数 x i , y i x_i,y_i xi,yi，代表存在一条连接节点 x i x_i xi 和 y i y_i yi 的边。
保证输入的树中存在不同颜色的点。
输出格式
输出一个整数，代表相距最远的一对不同颜色节点的距离。
输入输出样例 1
输入 1
5
0 1 0 1 0
1 2
1 3
3 4
3 5输出 1
3说明/提示
样例解释
相距最远的不同颜色的一对节点为节点 2 2 2 和 5 5 5。
数据范围
| 子任务编号 | 得分 | n n n | a i a_i ai | 特殊条件 |
|---|---|---|---|---|
| 1 1 1 | 30 30 30 | ≤ 10 5 \le 10^5 ≤105 | 0 ≤ a i ≤ 1 0\le a_i\le 1 0≤ai≤1 | 树的形态为一条链 |
| 2 2 2 | 30 30 30 | ≤ 10 3 \le 10^3 ≤103 | 0 ≤ a i ≤ 1 0\le a_i\le 1 0≤ai≤1 | |
| 3 3 3 | 40 40 40 | ≤ 10 5 \le 10^5 ≤105 | 0 ≤ a i ≤ 1 0\le a_i\le 1 0≤ai≤1 |
对于全部数据，保证有 1 ≤ n ≤ 10 5 1\le n\le 10^5 1≤n≤105， 0 ≤ a i ≤ 1 0\le a_i\le 1 0≤ai≤1。
思路分析
-
理解问题本质：在树上找到距离最远的两个异色节点，距离定义为节点间路径的边数。
-
暴力解法不可行：直接枚举所有异色节点对是 O(n²) 的，n ≤ 10⁵ 时不可行。
-
高效解法思路：
- 树的直径通常可以通过两次 BFS/DFS 找到最远点对
- 但这里要求是不同颜色的节点对
- 关键观察：最远异色节点对一定包含某个颜色的最远点之一
-
算法设计：
- 对于每种颜色，找到距离该颜色所有节点最远的节点
- 从白色节点中找到距离所有黑色节点最远的点
- 从黑色节点中找到距离所有白色节点最远的点
- 这两个距离中的最大值就是答案
-
实现方法：
- 进行三次 BFS：
- 从任意节点开始，找到最远的节点 A
- 从 A 开始，记录到所有节点的距离 distA
- 从 B（与 A 不同颜色）开始，记录到所有节点的距离 distB
- 答案 = max(从白色到黑色的最远距离, 从黑色到白色的最远距离)
- 进行三次 BFS：
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5; // 最大节点数+5的缓冲区
int n; // 树的节点数
int c[N]; // 颜色数组，c[i]表示节点i的颜色：0-白色，1-黑色
vector<int> g[N]; // 邻接表，存储树的结构
int d[2][N]; // 距离数组，d[0][i]表示从A到i的距离，d[1][i]表示从B到i的距离
// BFS函数：从起点s开始进行广度优先搜索，计算到所有节点的距离
// 参数：s - 起点，dist - 存储距离的数组指针
// 返回值：BFS过程中最后访问的节点（即距离起点最远的节点）
int bfs(int s, int* dist) {
queue<int> q; // BFS队列
// 初始化距离数组，将所有距离设为-1表示未访问
fill(dist + 1, dist + n + 1, -1);
// 起点距离为0，加入队列
dist[s] = 0;
q.push(s);
int last = s; // 记录最后访问的节点
// BFS主循环
while (!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop(); // 取出队首节点
last = u; // 更新最后访问的节点
// 遍历u的所有邻居
for (int v : g[u]) {
// 如果邻居v尚未访问过
if (dist[v] == -1) {
dist[v] = dist[u] + 1; // 更新距离
q.push(v); // 加入队列
}
}
}
return last; // 返回最后访问的节点（即最远节点）
}
int main() {
// 输入输出优化
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
// 读入节点数
cin >> n;
// 读入每个节点的颜色
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> c[i];
// 读入树的边，构建邻接表
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
// 第一步：第一次BFS，从任意节点(节点1)出发，找到最远点A
int A = bfs(1, d[0]);
// 第二步：第二次BFS，从A出发，找到最远点B
// 同时，d[0]数组现在存储的是从A到所有节点的距离
int B = bfs(A, d[0]);
// 第三步：第三次BFS，从B出发
// d[1]数组将存储从B到所有节点的距离
bfs(B, d[1]);
// 现在我们有：
// d[0][i] - 从A到节点i的距离
// d[1][i] - 从B到节点i的距离
int ans = 0; // 存储最终答案（最远异色节点对的距离）
// 情况1：考虑以A为端点的最远异色节点对
// 遍历所有节点，找到与A颜色不同的节点，更新最大距离
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (c[i] != c[A]) { // 如果节点i与A颜色不同
ans = max(ans, d[0][i]); // 更新答案，取当前最大值
}
}
// 情况2：考虑以B为端点的最远异色节点对
// 遍历所有节点，找到与B颜色不同的节点，更新最大距离
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (c[i] != c[B]) { // 如果节点i与B颜色不同
ans = max(ans, d[1][i]); // 更新答案，取当前最大值
}
}
// 输出最终答案
cout << ans << "\n";
return 0;
}功能分析
算法思路
- 核心思想：利用树的直径和 BFS 性质
- 关键观察：最远异色点对一定包含从某个点出发能到达的最远异色点
- 正确性保证：对于任意节点，其最远点一定是直径端点之一
时间复杂度
- 三次 BFS：O(n)
- 两次遍历所有节点：O(n)
- 总复杂度：O(n)，满足 n ≤ 10⁵ 的要求
空间复杂度
- 邻接表：O(n)
- 距离数组：O(n)
- 总空间：O(n)
注意事项
- 使用
ios::sync_with_stdio(false)和cin.tie(0)加速输入 - BFS 使用队列实现，避免递归栈溢出
- 颜色数组下标从 1 开始，符合题目输入
- 保证至少有一对异色节点（题目保证）
测试用例验证
对于样例：
5
0 1 0 1 0
1 2
1 3
3 4
3 5树结构：
1
/ \
2 3
/ \
4 5颜色：1(0), 2(1), 3(0), 4(1), 5(0)
最远异色点对：节点 2(黑) 和 节点 5(白)
距离 = 2->1->3->5 = 3
算法输出：3
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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· 文末祝福 ·
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using namespace std;
int main(){
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return 0;
}